1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 七十六 证明不等式的基本方法 (45分钟 60 分 ) 1.(10分 )已知 a0,b0,求证 : + + . 【证明】 因为 -( + ) = + = + = = 0, 所以原不等式成立 . 【 一题多解】 由于 ( + ) = = = -1 -1=1. 又 a0,b0, 0. 所以 + + . 2.(10分 )已知 a,b,c是全不相等的正实数 ,求 证 : + + 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解题指南】 根据 a,b,c全不相等 ,推断出 与 , 与 , 与 全不相等 ,然后利用基本不等式求得+ 2, + 2, + 2,三式相
2、加整理求得 + + 3,原式得证 . 【证明】 因为 a,b,c全不相等 , 所以 与 , 与 , 与 全不相等 , 所以 + 2, + 2, + 2,三式相加得 , + + + + + 6, 所以 + + 3, 即 + + 3. 【 变式备选】 (2018南阳模拟 )已知 函数 f(x)=k-|x-3|,k R,且 f(x+3) 0的解集为 -1,1. (1)求 k的值 . (2)若 a,b,c是正实数 ,且 + + =1,求证 :a+2b+3c 9. 【解 析】 (1)因为 f(x)=k-|x-3|, 所以 f(x+3) 0等价于 |x| k, 由 |x| k有解 ,得 k 0,且解集为
3、-k,k. 因为 f(x+3) 0的解集为 -1,1.因此 k=1. (2)由 (1)知 + + =1,因为 a,b,c为正实数 . 所以 a+2b+3c=(a+2b+3c)( + + )=3+ + + + + + =3+ + + 3+2 +2 +2 =9. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 a=2b=3c时 ,等号成立 . 因此 a+2b+3c 9. 3.(10分 )已知 x0,y0,且 x+y=1, 求证 : 9. 【解题指南 】 可 将所证不等式左边展开 ,运用已知和基本不 等式可得证 ,也可以用 x+y取代“ 1” ,化简左边 ,然后再用基本不等式 . 【证明】 因为 x0,
4、y0, 所以 1=x+y 2 .所以 xy . 所以 =1+ + + =1+ + =1+ 1+8=9. 当且仅当 x=y= 时 ,等号成立 . 【 一题多解】 因为 x+y=1,x0,y0, 所以 = = =5+2 5+2 2=9. 当且仅当 x=y= 时 , 等号成立 . 4.(10分 )某同学在一 次研究性学习中发现 ,以下 5个不等关系式子 -12- ; 2 - - ; - -2; -2 - ; - 2 - . (1)上述五个式子有相同的不等关系 ,根据其结构特点 ,请你再写出一个类似的不等式 . (2)请写出一个更一般的不等式 ,使以上不等式为它的特殊情况 ,并证明 . =【 ;精品教
5、育资源文库 】 = 【解析】 (1) -2 -3(答案不唯一 ). (2) - - . 证明 :要证原不等式 ,只需证 + + , 因为不等式两边都大于 0, 只需证 2a+3+2 2a+3+2 , 只需证 , 只需证 a2+3a+2a2+3a, 只需证 20,显然成立 ,所以原不等式成立 . 5.(10分 )已知 (0,), 求证 :2sin 2 . 【证明】 2sin 2 - =4sin cos - = =- , 因为 (0, ),所以 sin 0,1-cos 0, 又 (2cos -1)2 0,所以 2sin 2 - 0, 所以 2sin 2 . 6.(10分 )(2018泉州模拟 )设 a,b为正实数 ,且 + =2 . (1)求 a2+b2的最小值 . (2)若 (a-b)2 4(ab)3,求 ab 的值 . 【解析】 (1)由 2 = + 2 得 ab ,当 a=b= 时取等号 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 a2+b2 2ab 1,当 a=b= 时取等号 . 所以 a2+b2的最小值是 1,当且仅当 a=b= 时取得最小值 . (2)由 (a-b)2 4(ab)3得 4ab. 即 - 4ab,从而 ab+ 2. 又 ab+ 2,当且仅当 ab=1时取等号 . 所以 ab=1.
