1、第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组行列式是线性代数的一个重要组成部分成部分. .它是研究矩阵、线性方程组、它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具特征多项式的重要工具. .本章介绍了本章介绍了n n阶行列式的定义、性质及计算方法，阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用最后给出了它的一个简单应用克克莱姆法则莱姆法则. .2第第1 1章章 行列式行列式n n阶行列式的定义阶行列式的定义行列式的性质行列式的性质行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开克莱姆法则克莱姆法则行列式的一个简单应用行列式的一个简单应用数学实验数学实验3第第1.1节节 n阶行列式的定义阶行列
2、式的定义 本节从二、三阶行列式出发，给本节从二、三阶行列式出发，给出出n阶阶行列式的概念行列式的概念. .基本内容：基本内容：二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式排列及其逆序数排列及其逆序数n阶行列式定义阶行列式定义转置行列式转置行列式返回4即即2112221122211211aaaaaaaa 称其为称其为二阶行列式二阶行列式 .22211211aaaa记号：记号：21122211aaaa它表示数：它表示数：称为它的元素。（数)2 , 1,jiaij排称为行，今后对任何行列式，横,竖竖排排称称为为列列, 称称为为列列标标称称为为行行标标中中jiaijija,列元素行第表示第ji左上角到右下角表示左
3、上角到右下角表示主对角线主对角线，例2315 例设,132 D(1)当 为何值时，(2)当 为何值时 , 0 D. 0 D解132 D032 ，0 3 或25 31 )(13 23右上角到左下角表示右上角到左下角表示次对角线次对角线，例3 求二阶行列式21ba7(2)三阶行列式三阶行列式322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa记号记号333231232221131211aaaaaaaaa 即即 称为称为三阶行列式三阶行列式. 它表示数它表示数8322311332112312213322113312312332211333231
4、232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 可以用可以用对角线法则对角线法则来记忆如下来记忆如下.9322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa主对角线法主对角线法10例例4 计算三阶行列式计算三阶行列式解解:由主对角线法，有由主对角线法，有14 243122421 D411)2()2(2)3(2)4(4)2()4()3(12)2(21 D48243264 例5601504321 301120101 26 321 )1(10 601 )1(5
5、2 043 051 642 )1(03 4810 58 101 001 )1(21 300 8 例6,Rba 满足什么条件时有10100abba 10100abba 解由题可得，即使, 022 baba,Rba . 0 ba0 ba即时，给定的行列式为零0 2a2b例71140101aa的充分必要条件是什么？解1140101aa012a1 a1 a或01140101 aa1 a或1 a0 2a1练习练习：计算下列行列式14005310111122xxxx11122xxxx解)1(2 xx)1(x12x13x2x1400531011517431151.排列及其逆序数排列及其逆序数(1)排列排列
6、由自然数由自然数1,2,n,组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in称为一个称为一个n级排列级排列.如：由如：由1,2,3可组成的三级排列有可组成的三级排列有3！=6个：个：123 132 213 231 312 321（总数为（总数为 n!个）个）注意注意:上述排列中只有第一个为自然顺序上述排列中只有第一个为自然顺序(小小大大),其其他则或多或少地破坏了自然顺序他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相元素大小与位置相反反)构成构成逆序逆序.1.2 n1.2 n阶行列式阶行列式16(2)排列的逆序数排列的逆序数定义：定义： 在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前
7、中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数，称为它的逆序数，记为记为N (i1i2in).=3 =2例例1 N (2413) N(312)17(2)排列的逆序数排列的逆序数定义：定义： 在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数，称为它的逆序数，记为记为N (i1i2in
8、).n奇偶排列奇偶排列: 若排列若排列i1i2in的逆序数为的逆序数为奇（偶）数，奇（偶）数，称它为称它为奇（偶）排列奇（偶）排列.=3 =2例例1 N (2413) N(312)逆序数的计算方法逆序数的计算方法)(21nii iN 1 nt 1t 即nt的的自自然然数数，至至不不妨妨设设元元素素为为n1并并规规定定从从小小到到大大的逆序数，逆序之和就是nii i 21为为标标准准次次序序。级排列。为一个设nii in 21),2 , 1(niij 考虑元素个，的逆序是那么jitj个，前面的元素有jjti大，且排在如果比ji全全体体元元素素njjt1例例2 N(n(n-1)321) N(135
9、(2n-1)(2n)(2n-2) 42) =0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)19证明：证明：对换：对换： 对换在一个排列对换在一个排列i1isit in中，若其中某中，若其中某两数两数is和和it互换位置互换位置, 其余各数位置不变得到另一其余各数位置不变得到另一排列排列i1itis in,这种变换称为一个对换这种变换称为一个对换, 记为记为( is it).例例3)43(12430125NNNN)31(3421)42(14231234定理定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。任一排列经过一个对换后奇偶性改变。20对换在相邻两数间发生对换在相
10、邻两数间发生，即，即设排列设排列 jk (1) 经经j,k对换变成对换变成 kj (2) 此时，排列此时，排列(1)、(2)中中j,k与其他数与其他数是否构成逆序的情形未是否构成逆序的情形未发生变化；而发生变化；而j与与k两数两数构成逆序的情形有变化：构成逆序的情形有变化： 若若(1)中中jk构成逆序构成逆序,则则(2)中不构成逆序中不构成逆序(逆序数减少逆序数减少1) 若若(1)中中jk不构成逆序不构成逆序,则则(2)中构成逆序中构成逆序(逆序数增加逆序数增加1)一般情形一般情形设排列设排列 ji1isk (3) 经经j,k对换变成对换变成 k i1is j (4) 易知，易知，(4)可由可
11、由(3)经一系列相邻对换得到：经一系列相邻对换得到： k经经s+1次相邻对换成为次相邻对换成为 kj i1is j经经s次相邻对换成为次相邻对换成为 ki1is j 即经即经2s+1次相邻对换后次相邻对换后(3) 成为成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. |定理定理1.21.2个个排排列列，个个数数码码共共有有 !nn,一一半半其其中中奇奇偶偶排排列列各各占占.2!n各各为为22思考练习思考练习（排列的逆序数详解）（排列的逆序数详解）方法方法1 在排列在排列x1x2xn中，任取两数中，任取两数
12、xs和和xt(st),则它们必在排列则它们必在排列x1x2xn或或xnxn-1x1中构成逆序，中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列又在排列x1x2xn中取两数的方法共有中取两数的方法共有 依题意，有依题意，有2)1()!2( ! 2!2 nnnnCn故排列故排列 x1x2xn 与与 xnxn-1x1 中逆序之和为中逆序之和为2)1( nn. I2) 1()(11nnxxxNnn此即此即 23方法方法2 n个数中比个数中比i大的数有大的数有n- - i个个(i=1,2,n),若在排列若在排列x1x2xn中对中对i构成的逆序为构成的逆序为li个个,
13、则在则在xnxn-1x1中对中对i构构成的逆序为成的逆序为(n- - i)- -li,于是两排列中对于是两排列中对i构成的逆序之和构成的逆序之和为为li+(n-in-i)- -li= n- -i (i=1,2,n)2) 1(12)2() 1()()(1121nnnnxxxNxxxNnnn从而此即此即 . I2) 1()(11nnxxxNnn24（二）（二）n阶行列式定义阶行列式定义分析：分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为符号为32231133211231221332211
14、3312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 321321jjjaaa“+” 123 231 312 （偶排列）（偶排列） “- -” 321 213 132 （奇排列）（奇排列）)(321) 1(jjjN(iii)项数为项数为 3！=6321321321)() 1(jjjjjjNaaa333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa 322311332112312213aaaaaaaaa 231123213312013232123121321321jjjaaa
15、)()(3211jjjN 321jjj取遍所有的取遍所有的三级排列三级排列22211211aaaa21122211aaaa 1221012121jjaa )()(211jjN 21jj12取取21和和n推广之推广之，有如下，有如下n 阶行列式定义阶行列式定义26定义：定义： 是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积个元素的乘积nnjjjaaa2121并冠以符号并冠以符号 的项的和的项的和. )(21) 1(njjjNnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnjjjjjjNaaa212121)() 1()(ijaDet记(i) 是是取自不同行、不同列的
16、取自不同行、不同列的n个元素的乘积；个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；决定每一项的符号；(iii) 表示对所有的表示对所有的 构成的构成的n！个排列求和个排列求和.nnjjjaaa2121njjj21)(21njjjN2( ,1,2, )ijnai jnn个元素排成的 阶行列式 27例例1 证明证明下三角行列式下三角行列式证：证： 由定义由定义nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD2211321333231222111000000 时时，1, 2, 1,121 jjnjnjnn和式中和式中,只有当只有当nnnj
17、jjjjjNaaaD212121)() 1(02121 nnjjjaaannnnnNaaaaaaD22112211)123() 1(所以所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .Dnnnnnaaaaaaaaaa 000000333223221131211nnaaaa 000000000000332211nnaaa 22110iia), 2 , 1(ni nnaaa 2211其中其中:特殊情况特殊情况对角形行列式对角形行列式同理可得同理可得上三角形行列式上三角形行列式29例例2 计算计算000000000000121nnD 解解11,21)3
18、21)1()1(nnnnnNaaaDnnn 212)1()1( 由行列式定义由行列式定义,时时，1, 2, 1,121 nnjjnjnj02121 nnjjjaaa和式中仅当和式中仅当 nnnjjjjjjaaaD212121)()1( 注：2)1() 1(nnnnnnnjjnjjjjjjNaaaa121121121)()1( 000000112111222211111211 nnnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111122121000000 1121nnnaaa 类似可得类似可得例3用行列式的定义来计算行列式ija)4 , 3 , 2 , 1,
19、(ji解1100001001011010设1100001001011010 级级排排列列所所有有的的取取遍遍44321)(432143214321)1(jjjjjjjjjjjjNaaaa43a14a32a21a)4123()1(N)1(3110100111010100111练习： 级排列级排列所有所有取遍取遍443214321432143211jjjjjjjjjjjjNaaaa)()(34a1 11aija43a)1243()1(N 22a4311aa32a24a)1423()1(N 1 0 kji,例例4ija4213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa应为何值应为何
20、值，符号是什么？此时该项的此时该项的,3j解此时5,1ki1,5ki或(1), 5, 1, 3kij)52314()14325(NN若则9取负号(2)若, 1, 5, 3kij则)52314()54321(NN16取正号若若是五阶行列式是五阶行列式的一项，则的一项，则例例5用行列式定义计算xxxxx111123111212中中的的系系数数，并并说说明明理理由由与与中中34xx解：)()(12341N xxx 1xxxx )(242x )()(21341N 3x 34 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换个元素的顺序可以任意
21、交换.一般，可以证明一般，可以证明定理定理1.3: n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的项可以写为的项可以写为nnnnjijijijjjNiiiNaaa22112121)()() 1(niiiiiiNnnaaaD21)(2121) 1(其中其中i1i2in和和j1 j2 jn都是都是n级排列级排列 .nnnnjijijijjjNiiiNaaaD22112121)()() 1(或或另一定义形式另一定义形式另一定义形式另一定义形式n推论推论:n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的值为的值为354.转置行列式转置行列式则则,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD .2
22、12221212111nnnnnnTaaaaaaaaaD n定义：定义：如果将行列式如果将行列式D的行换为同序数的列，得的行换为同序数的列，得到的新行列式称为到的新行列式称为D的的转置行列式转置行列式，记为，记为DT. .即若即若36 用定义计算用定义计算000000000. 2000100002000010. 15544332222211111bababaedcbaedcbann 0. 2!)1(21)1(. 11)123( DnnDnn 思考练习思考练习 （n阶行列式定义）阶行列式定义）答答案案371.3 行列式的性质行列式的性质 对多对多“0 0”的或是阶数较低的或是阶数较低( (二、三
23、阶二、三阶) )的的行列式利用定义计算较为容易行列式利用定义计算较为容易, , 但对一般但对一般的、高阶的（的、高阶的（n n 4 4）行列式而言）行列式而言, ,直接利用直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的定义计算很困难或几乎是不可能的 . . 因而因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算需要讨论行列式的性质，用以简化计算. .返回返回38性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：证：事实上事实上,若记若记 DT=Det(bij),则则), 2 , 1,(njiabjiij nnnjjjjjjTbbbD212121)()1( Daaaniiiiiinn
24、 21)(2121)1( .00021222111nnnnaaaaaaD nnnnnnTaaaaaaaaaDD221122212111000 解解例例1 计算行列式计算行列式39性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(rirj)或列或列(cicj)，行列，行列式的值变号式的值变号 .推论推论 若行列式若行列式D的两行（列）完全相同的两行（列）完全相同,则则D=0 .性质性质31112111121112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaDkakakak aaakDaaaaaa推论推论 (1) D中行列式某一行（列）的所有元素的因中行列式某一行（列）的所有元素的因子
25、可以提到行列式符号的外面，子可以提到行列式符号的外面， (2) D的两行的两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则D=0.),(列列乘乘以以行行列列式式的的某某一一行行用用数数kk等等于于数数乘乘以以行行列列式式。40性质性质4 若行列式若行列式 某一行某一行(列列)的所有元素都是两个数的所有元素都是两个数的和的和,则此行列式等于两个行列式的和则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列这两个行列式的这一行式的这一行(列列)的元素分别为对应的两个加数之一，的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行其余各行(列列)的元素与原行列式相同的元素与原行列式相同 .即即证证nnnniniinnnnn
26、iniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211 niinnjijijjjjjjabaaaD)()1(212121)( ninninnjijjjjjjnjijjjjjjabaaaaaa2121212121)(21)()1()1( 21DD 41性质性质5 行列式行列式D的某一行的某一行(列列)的所有元素都乘以数的所有元素都乘以数 k加到另一行加到另一行(列列)的相应元素上的相应元素上,行列式的值不变行列式的值不变,即即nnnnjninjijinkrrnnnniniinaaakaakaaka
27、aaaaaaaaaaaaaji21221111211212111211 )(DDjikrr :1性质性质.,DDT 即即行列式的值不变行列式的值不变将行列式转置将行列式转置:推论推论:2性质性质.),(行行列列式式的的值值变变号号列列交交换换行行列列式式的的两两行行,)(对对应应元元素素相相同同列列如如果果行行列列式式中中有有两两行行.则则此此行行列列式式的的值值为为零零:3性质性质kk等等于于数数列列乘乘以以行行列列式式的的某某一一行行用用数数),(.乘乘以以行行列列式式:1推推论论,)(所所有有元元素素有有公公因因子子列列如如果果行行列列式式某某行行.式式的的外外面面则则公公因因子子可可以
28、以提提到到行行列列:2推论推论,)(的的对对应应元元素素成成比比例例列列如如果果行行列列式式有有两两行行.则则行行列列式式的的值值为为零零:4性性质质的的每每一一个个元元素素列列行行如如果果将将行行列列式式中中的的某某一一)(个行列式个行列式则此行列式可以写成两则此行列式可以写成两都写成两个数的和都写成两个数的和,)(列列别别以以这这两两个个数数为为所所在在行行的的和和，这这两两个个行行列列式式分分.对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同43例例2 计算行列式计算行列式3111131111311113)3(5240432323214232)2(415132321)1( DD解解 4151
29、32321)1( D1190510321121325 rrrr3400510321239 rr3434) 1(1 44解解5240432323214232)2( D37300062580088102321232484 rrrr524043234232232121 rr5240268088102321121323 rrrr2914300062580088102321345830 rr2862914358)1(1 45解解3111131111311113)3( D3111131111316666421 iirr31111311113111116 2000020000201111614,3,2rri
30、i 48)2221 (6 6/1/20223:例.:值值为为零零奇奇数数阶阶反反对对称称行行列列式式的的证证明明:注注,时时当当ji :反反对对称称行行列列式式为为), 2 , 1,(njiaajiij :,如如果果它它的的元元素素满满足足阶阶行行列列式式一一个个n则则称称其其为为反反.对对称称行行列列式式0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa ), 2 , 1(0niaii 6/1/2022证明：证明：0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa :3由性质由性质1由由性性质质0000321323132231211
31、312nnnnnnaaaaaaaaaaaaD 6/1/20220000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa n)( 1 ,为奇数为奇数当当n0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa Dn)( 1 DD 0 DDn)1( D即6/1/20224例例333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa设设解：解：33323123222113121153531026aaaaaaaaa 求求, 1 33323123222113121153531026aaaaaaaaa 3
32、332312322211312115353532aaaaaaaaa 5)3()2( 30 5例 ：dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba 3610363234232计算计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba 3610363234232解解：)( 1 )( 1 )( 1 )( 2 )( 3 cbabaacbabaacbabaadcba3610363023423200 6/1/2022cbabaacbabaacbabaadcba3610363023423200 )( 2 )( 3 baabaacbabaadcba373002000 a
33、baacbabaadcba0002000 4a )( 3 52例例6 6 计算计算n n阶行列式阶行列式), 2 , 1, 0(111111111)3()2() 1 (21212121niaaaaDxaaaaxaaaaxaDxaaaxaaaxDinnnnnnn 解(2)解(3)解(1)53解解(1) 注意到行列式各行注意到行列式各行(列列)元素之和等于元素之和等于x+(n-1)a,有有1)()1( naxanx12,3,(1)(1)(1)iccinxnaaaxnaxaxnaaxaxaxaaanxrrnii 00001)1(1, 3, 2xaaxaaanx111)1( 返回nxaaaxaDaax
34、54解解(2)(2)注意到行列式各行元素之和等于注意到行列式各行元素之和等于11)( nniixaxnniinniinniiccninaxaaxaaxaxaaaxDi 212121, 3 , 21xxaaaxnniirrnii00001)(21,3,21 nnnniiaxaaaxaaax 2221111)(,1 niiax有有返回55解解 (3)(3)1112132,3,11111000000irrinnaaaaaaanniicaacniaaaaaii00001112211,3,211 nniiaaaaa2211)1 ( niinaaaa121)11 (返回箭形行列式箭形行列式12111111
35、(3)111nnaaDannnaaaaaaa 1100010000011000110001122117例例计计算算行行列列式式:解解nnnaaaaaaa 1100010000011000110001122116/1/2022nnnaaaaa 1100010000010000100001121nnnaaaaaa 11000100000110001000011221再再将将第第三三行行加加到到, 第第四四行行，行行加加到到直直到到第第 n,行行上上第第1 n得得6/1/2022 100001000001000010000121 naaa1 2022-6-1阜阳师范学院数学与计算科学学院解方程解方程
36、8例例0,1121 aaaan且且为为互互不不相相同同的的常常数数其其中中013211232113221132111321 nnnnnnnnnnnaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaa0 xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn 113211232113221132111321)( 1 )( 1 )( 1 )( 1 xaxaxaxaaaaaannnn 122113210000000000000000 111niixaa)(iax 1, 2 , 1 ni61例例9 证明证明证证 0)3()2() 1()3()2() 1()
37、3()2() 1()3()2() 1()2(4) 1(2222222222222222 ddddccccbbbbaaaaabcdefefcfbfdecdbdaeacab111111111)1( abcdef左边左边20002011132 abcdefrr0202001111213 abcdefrrrr右边右边 abcdef462证证12222222222222222,3,422222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469icciaaaaaaaabbbbbbbbccccccccdddddddd右右边边 062126
38、212621262122222232324 ddccbbaacccc=（2）左边632.证明证明1.计算行列式计算行列式)2(212121)2(2164729541732152) 1 (222111 nnaaanaaanaaaDDnnnn2221112222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 思考练习思考练习 （行列式的性质）行列式的性质）6493)3(1130000300311022513300030031102251021061203110225102103110612022512461759243712251) 1.(1342324321312143
39、122,4 rrrrrrrrrrrrrrccD 2, 02,111111111)2(2121,3,21nnaanananaDnccnini当当当当思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案） 6522222211111122222211111112. 2acacbaacacbaacacbaaccbbaaccbbaaccbbacc 左左边边22222111112222211111222223cacbacacbacacbacacbacacbacacbacc 2121322221112222111122cccccccabcabcabcabacabacaba 2221112cbacbacba=
40、右边右边思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案） 66第第1.3 节节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列，余下的元素按列，余下的元素按原来的顺序构成的原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素aij的的余子余子式，记作式，记作Mij；nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 而而Aij=(-1)i+jMij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式.返回返回返回.降降阶
41、阶法法行行列列式式计计算算将将高高阶阶行行列列式式降降为为低低阶阶 67例例1 求出行列式求出行列式解解23322013156.Da中，元素的余子式及代数余子式的值13)1(,13215512323322323 MAM6/1/2022333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa 131312121111MaMaMa 322113312312332211aaaaaaaaa 322311332112312213aaaaaaaaa )(3123332112aaaaa )(3122322113aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaa
42、aa 11M12M13M)(3223332211aaaaa 引例：引例：的余子式的余子式ijijaM 133113122112111111)1()1()1(MaMaMa 6/1/2022333231232221131211aaaaaaaaa133113122112111111)1()1()1(MaMaMa ijjiM )1( ijA的的代代数数余余子子式式ija 1212Aa1111Aa1313Aa70定理定理1.4 1.4 行列式按一行（列）展开定行列式按一行（列）展开定理理n阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代
43、数余等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即子式的乘积之和，即), 2 , 1(), 2 , 1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或71证证 (i)D的第一行只有元素的第一行只有元素a11 0，其余元素均为零其余元素均为零,即即nnnnnaaaaaaaD21222211100 上上式式中中第第二二项项得得零零）由由定定义义() 1() 1() 1()(2)(11121)(121)(32221212112121 nnnnnnnjjjnjjjjjnjjjjjjjnjjjjjjaaaaaaaaa 1111Ma 而而 A1
44、1=(-1)1+1M11=M11 ,故故D= a11A11 ; 72(ii)当当D的第的第i行只有元素行只有元素aij 0时，即时，即 nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 将将D中第中第i行依次与前行依次与前i-1行对调行对调,调换调换i-1次后位于第次后位于第1行行 D中第中第j列依次与前列依次与前j-1列对调列对调,调换调换j-1次后位于第次后位于第1列列经经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后次对调后, aij 位于第位于第1行、第行、第1列列,即即(iii) 一般地一般地ijijijijjiijijjiAaMaMaD )1()1(2由由 (i)73nnnninii
45、naaaaaaaaaD212111211000000 nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000 ininiiiiAaAaAa 2211由由(ii)njnjjjjjAaAaAaD 2211同同理理有有74定理定理1.5 n阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即代数余子式的乘积之和为零，即)(0)(022112211tjAaAaAasiAaAaAant
46、njtjtjsninsisi 或或75证证考虑辅助行列式考虑辅助行列式).2211tjAaAaAantnjtjtjt （列列展展开开按按第第0= nnjnjnnjjnjjaaaaaaaaaaaaD2122221111111 t列j列76例例2 2 计算行列式计算行列式132020321 D解解132020321 D1312111321AAA 行行展展开开按按第第)4(30221 132020321 D2322212020AAA 行行展展开开按按第第3220)1(31200)1(21302)1(1312111 1231)1(222 法法1法法2选取选取“0”多多的行或列的行或列)5(2 1010
47、 6/1/2022:3例例5021011321014321 D求求:1解解242322212101AAAAD 2423212AAA 化化为为仅仅有有一一个个非非零零元元列列先先将将行行列列式式中中某某一一行行解解)(:22423212MMM 5021011321014321 D)1( 9300502101132101 021113101300 )3( 按按第第二二行行展展开开将将D5310 133A 5213131013 5021311311010300 133M )8(3 24 仅仅有有一一个个非非零零元元；列列用用性性质质化化此此行行列列选选择择某某行行)()(2,)(. 1依依此此类类推
48、推化化成成低低一一阶阶行行列列式式展展开开列列按按一一行行的方法：的方法：利用展开式计算行列式利用展开式计算行列式注注：.,二二阶阶直直至至三三阶阶.)(，依此类推，依此类推展开化为低一阶行列式展开化为低一阶行列式列列而后按此行而后按此行79例例4 讨论当讨论当 为何值时，为何值时，11001100002002kDkk解解12kk 且时k21110011001100200202002kkrrkkDkk按第一列展开所以当论所以当论 ， 2(1)(4)kk0D 80例例5 求证求证证明：证明：首先从第首先从第1行起，每行减去下一行，然行起，每行减去下一行，然后按第后按第1列展开，之后又从第列展开，
49、之后又从第1行起每行减去行起每行减去下一行，化为下三角行列式即得结果，即下一行，化为下三角行列式即得结果，即.) 1(11311221113211432121nnnxxxxnxxnxnnD8112,0111101111001110001111iininrrxxDxxxx 1111111111111011111( 1)001111000011000011nxxxx按第1列展开821122,1000001000001000( 1)10010000000000011iinninxxxxxrrxxxxx n+1（）83例例6 已知已知4阶行列式阶行列式.32.521534120813171113121
50、144342414的代数余子式的代数余子式为为其中其中的值的值及及求求ijijaAAAAAAAAD 解解法法1.,)4 , 3 , 2 , 1(4然然后后相相加加（略略）的的值值直直接接计计算算 iAi法2利用行列式的按列展开定理，简化计算利用行列式的按列展开定理，简化计算.0121514121813171111114434241444342414 AAAAAAAA84.4933132556515131302556051113900155139310501551390310500150032152153412081303213213122131211 rrrrAAA85例例7 证明范得蒙行列式
