1、第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程解的性质一、线性微分方程解的性质二、二阶常系数齐次线性微分方程的解二、二阶常系数齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解一、二阶线性微分方程解的性质一、二阶线性微分方程解的性质(一一)定义：定义：:( )( )( )(1)( ), ( ),( )yp x yq x yf xp x q xf xx形形如如方方程程( (其其中中均均为为的的已已知知函函数数) )，称称为为二二阶阶线线性性微微分分方方程程( )0f x 当当时时，方方程程(1)(1)变变为为：( )( )0(
2、2)yp x yq x y二二阶阶线线性性其其称称为为次次微微分分方方程程. .( )f x否否则则，称称为为二二阶阶线线性性微微分分方方非非程程，且且称称为为齐齐次次非非齐齐次次项项。(二二)性质：性质：(2)(1)二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程解解的的性性质质二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程解解的的性性质质（一）二阶线性齐次方程解的性质（一）二阶线性齐次方程解的性质解的叠加性解的叠加性的解。的解。也是方程也是方程为任意常数）为任意常数），（，（的两个解，则的两个解，则是齐次方程是齐次方程与与若函数若函数：性质性质)2(,)()(0)()(:)2()()(121221121CCxyCx
3、yCyyxqyxpyxyxy 1122( )( )( )y xc y xc yx是是否否是是方方程程（2 2）问问题题1 1：的的通通解解？121122112212221222()( )()yyykkykyyy xc yc yc kyc yc kcyc y当当方方程程（2 2）的的两两个个解解与与成成比比例例，即即未未必必：时时为为常常数数 ，有有：此时，此时， 中只含一个任意常数，因此，叠加起来的解不是方程中只含一个任意常数，因此，叠加起来的解不是方程（2）的通解。）的通解。( )y x1122( )( )( )y xc y xc yx何何时时是是方方程程（2 2）问问题题2 2：的的通通解
4、解？1122().yyykky当当方方程程（2 2）的的两两个个解解与与不不成成比比例例， 即即时时为为常常数数1222( ),( )( ),( )11yyxyxyxyxy若若函函数数满满足足常常数数，则则称称是是，否否则则称称为为线线性性无无关关的的线线性性相相关关。2( ),( )( )221yxyx若若是是方方程程的的两两个个线线性性无无关关的的性性质质特特解解，则则112212( )( )( )y xc y xc yxcc是是方方程程（2 2）的的通通解解，其其中中 ， 为为 常常数数。（二）二阶线性非齐次微分方程解的性质（二）二阶线性非齐次微分方程解的性质*(1)( )( )3yY
5、xyY xyx若若是是二二阶阶线线性性非非其其次次微微分分方方程程(1)(1)的的一一个个特特解解，( )( )是是与与对对应应的的齐齐次次方方程程(2)(2)得得通通解解，则则就就是是二二阶阶线线性性非非其其次次微微分分方方程程(1)(1)性性质质的的通通解解。2)4(1yxyx若若与与分分性性质质别别是是方方程程：1( )( )( )yp x yq x yf x12( )( )( )y xy xyx则则注注：性质：性质4说明，若非齐次方程的非齐次项由若干说明，若非齐次方程的非齐次项由若干 项和组成，那项和组成，那么求解时，可将每个函数作为非齐次项求解，然后将解相加即可。么求解时，可将每个函
6、数作为非齐次项求解，然后将解相加即可。的的特特解解，与与)()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解就是方程就是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy 二、二阶常系数齐次线性方程的解二、二阶常系数齐次线性方程的解:0()(3)ypyqypq二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的一一般般形形式式为为、 为为常常数数 由性质由性质2知，求方程的知，求方程的(3)的通解，关键在于找到它的两的通解，关键在于找到它的两个线性无关的特解。个线性无关的特解。 由于方程由于方程(3)关于关于 具有线性和常系数的特点具有线性和常系数的特点 ， 因此，所找的函数也应具备这一特点。因此，
7、所找的函数也应具备这一特点。 ,yyy2,ln ,ln,xxxxyaa yaayayaya设设因因为为与与仅仅相相差差一一个个常常数数，适适当当选选取取可可使使满满足足方方程程（3 3）。xya将将代代入入方方程程(3)(3)得得：2(lnln)0 xaapaq2ln ,0(4)rqrapr令令：则则2lnln0apaq0 xa (4),(3)rxyre这这样样，若若是是方方程程的的根根，则则便便为为方方程程的的一一个个特特解解称一元二次方程（称一元二次方程（4）为微分方程（）为微分方程（3）的）的特征方程，特征方程，其根为其根为特征根特征根21,242ppqr特特征征方方程程的的两两个个特特
8、征征根根为为：因特征根有三种情况，因此，方程因特征根有三种情况，因此，方程(3)的通解也有三种的通解也有三种情况：情况：1221212(1)(4),40r xr xr rypqyee当当时时，特特征征方方程程有有两两个个不不等等的的实实根根因因此此，是是方方程程（3 3）的的两两个个特特解解1122yyyy并并且且常常数数，即即，线线性性无无关关1212r xr xyc ec e方方程程（3 3）所所：的的通通解解以以为为2121(2)(4),024rxrryqrepp 当当时时，特特征征方方程程有有两两个个相相等等的的实实根根此此时时，只只得得方方程程（3 3）的的一一个个特特解解：121(
9、 )( )yyyu xu x设设另另一一与与线线性性无无关关的的特特解解，其其中中为为待待定定函函数数。21( )yy u x将将代代入入方方程程(3)(3)得得：2(2)()0,urp urprq u0u得得方程方程(3)的通解为的通解为12();rxycc x e,)(xxu 取取2,rxyxe则则1212221(3)(4)0,4r xr xririyepeqy当当时时，特特征征方方程程有有一一对对共共轭轭复复根根：得得方方程程（3 3）的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解:cossiniei由由欧欧拉拉公公式式得得()1(cossin)ixxixxyeeeexix()2(cossin
10、)ixxixxyeeeexix由性质由性质1可知，函数可知，函数121cos,2xyyyex122sin2xyyyexi12(cossin)xyecxcx所所以以方方程程（3 3）的的通通解解为为：也是方程也是方程(3)的解，且线性无关的解，且线性无关小结小结综上得：求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必积综上得：求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，不必积分，只要求出特征方程的根，便可写出。分，只要求出特征方程的根，便可写出。（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 具体步骤如
11、下：具体步骤如下：(见下表见下表)特征方程根特征方程根的判别式的判别式 特征方程特征方程 的根的根 微分方程微分方程 的通解的通解20rprq20rprq0ypyqy240pq12rr相相异异实实根根1212r xr xyc ec e240pq12rrr相相同同实实根根12()rxycc x e240pq1 2ri，一一对对共共轭轭复复根根12(cossin)xyecxcx.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例2 2560.yyy求求方方程程的的通通解解例例1 1解解特征方程为
12、特征方程为20 ,56rr解得解得123 ,2,rr故所求通解为故所求通解为2312.xxyC eC e.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx2 2、型型( )( )xmf xePx1 1、型型:( )()(4)ypyqyf xpq二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的一一般般形形式式为为、 为为常常
13、数数*.yYyYy通通解解为为：其其中中, , 为为齐齐次次方方程程的的通通解解, , 为为自自身身一一特特解解*( )f xy下下面面针针对对不不同同类类型型，研研究究的的求求法法。一、一、 型型( )( )xmf xe P x设非齐方程特解为设非齐方程特解为*( )xyQ x e代入原方程得代入原方程得(1)若若 不不是是特特征征方方程程的的根根，),()(xQxQm 可可设设(2)若若 是是特特征征方方程程的的单单根根，),()(xxQxQm 可设可设*( );xmyQx e*( );xmyxQx e(3)若若 是是特特征征方方程程的的重重根根，),()(2xQxxQm 可可设设*2(
14、).xmyx Qx e综上讨论综上讨论*( ),kxmyx eQx设设01,2k不是根是单根是重根次多项式）次多项式）是待定的是待定的（mxQm)(238yyxx求求方方程程例例4 4的的通通解解。解解 （1）对应齐次方程的特征方程为：对应齐次方程的特征方程为：210r 1211rr 其其特特征征根根为为，因此，因此，齐次方程的通解齐次方程的通解为：为：12xxYc ec e（2）求所给方程的一个特解）求所给方程的一个特解*( )yx0( )mPx因因为为，不不是是特特征征根根，是是二二次次多多项项式式，*2012ybb xb x代入所给方程得：代入所给方程得：222120(2)38b xb
15、xbbxx所以，可设所以，可设21203128bbbb 2103114bbb *2314yxx 212314xxyc ec exx3563xyyye例例5 5 求求方方程程的的通通解解。解解 （1）对应齐次方程的特征方程为：对应齐次方程的特征方程为：2560rr1223rr 其其特特征征根根为为，因此，因此，齐次方程的通解齐次方程的通解为：为：2312xxYc ec e（2）求所给方程的一个特解）求所给方程的一个特解*( )yx3( )mPx 因因为为，是是单单根根，零零次次多多项项式式，*3xyDxe代入所给方程得：代入所给方程得：1D 所以，可设所以，可设*3xyxe 23312xxxyc
16、 ec exe故故，原原方方程程的的通通解解为为：二、二、 *( )cos( )sin,kxllyx eT xxR xx( ),( )max,llT xR xllm n其其中中是是 次次多多项项式式，0,1iki不不是是特特征征根根是是特特征征根根上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.利用欧拉公式及（一）的结论得：利用欧拉公式及（一）的结论得： 型型xxPxxPexfnmx sin)(cos)()( 4sin.yyx求求方方程程的的一一个个特特解解,4ixeyy ,ii是是单单根根*(cossin),yx AxBx故故代入原方程得代入原方程得所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为*2 cos ,yxx 例例6 6解解 对应齐次方程的特征方程为：对应齐次方程的特征方程为：210r 1,2ri 其其特特征征根根为为2cos2sin4sinBxAxx2024BA02BA
