1、自然界的绝大多数分形我们生活在一个具有长度、宽度和我们生活在一个具有长度、宽度和深度的三维世界里深度的三维世界里一个点是零维一个点是零维. .一条直线是一维的，一条直线是一维的，一个平面是二维的，一个平面是二维的，现实世界分形人眼可见范围是三维现实世界分形人眼可见范围是三维叶中管脉络面分布 叶脉与输送系统设计是城市管网或农田灌溉系统的一个很自然的样本F4.树根树枝 分形层次-支D4.花菜E4.蕨类Koch雪花图像曲线曲线 Koch 雪花图形Von Koch (1870-1924)随机随机Koch曲线曲线对海岸线的模拟对海岸线的模拟 曼德尔布罗曼德尔布罗20世纪世纪70年代提出年代提出“分形几何
2、分形几何”概念，所撰概念，所撰写写大自然的分形几何大自然的分形几何一书一书1982年出版。曼德尔布罗所作年出版。曼德尔布罗所作开创性研究有助于人们测量一些先前难以测量的物体，例如开创性研究有助于人们测量一些先前难以测量的物体，例如云团云团或海岸线。他的研究成果应用于物理、生物、金融等各或海岸线。他的研究成果应用于物理、生物、金融等各项领域，而不规则图形设计理念甚至影响流行文化。项领域，而不规则图形设计理念甚至影响流行文化。2010年年10月月14日，伯努瓦日，伯努瓦曼德尔布罗在美国曼德尔布罗在美国马萨诸塞马萨诸塞州州剑桥辞世，享年剑桥辞世，享年85岁。岁。 伯努瓦伯努瓦曼德尔布罗曼德尔布罗(B
3、enoit B. Mandelbrot）“分形几何分形几何之父之父”，出生，出生于波兰，童年时随家人移居于波兰，童年时随家人移居法国法国，后来在，后来在美国担任美国担任耶鲁大学耶鲁大学名誉教授。名誉教授。 1967年年Mandelbrot提出提出“英国的海岸线有多长？英国的海岸线有多长？”的问题的问题。 长度与测量单位有关，以长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将为单位测量海岸线，就会将短于短于1km的迂回曲折长度忽略掉；若以的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位
4、进一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这就是海岸线的长度。长度将趋近于一个确定值，这就是海岸线的长度。 Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑的。则和极不光滑的。 我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一我们知道，经典几何研究规
5、则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几何却有助于自然界大量存在的不规则形体处理。何却有助于自然界大量存在的不规则形体处理。图示 Mandelbrot突破了这一点，长突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。海岸这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂，却有一个重要线虽然很复杂，却有一个重要的性质的性质自相似性。自相似性。 从不同比例尺的地形图上，可从不同比例尺的地形图上，可以看出海岸线的形状大体相同以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的，其曲折、复
6、杂程度是相似的。海岸线的任一小部分都包含。海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似细节。有与整体相同的相似细节。电解吸附分布 电化学的吸附过程，其生长方式与一种电磁导向及随机概率有关，所以呈现如图示的成长方式SierpinskiSierpinski三角和方毯三角和方毯 波蘭著名數學家波蘭著名數學家 Waclaw Sierpinski 1916 年提出年提出 Sierpinski Gasket 圖形圖形 產生產生 Sierpinski Gasket 方法如下：方法如下： 零步驟：畫出實心的正三角形零步驟：畫出實心的正三角形 第一步驟：將三角形每一邊的中點連第一步驟：將三角形每一邊的中點連線，會
7、分割成四個小正三角形，把中線，會分割成四個小正三角形，把中央的正三角形拿掉，會剩下其餘的三央的正三角形拿掉，會剩下其餘的三個正三角形，個正三角形， 第二步驟：將第二步驟：將每一個實心的小角形每一個實心的小角形都都重複第一步驟，重複第一步驟， 重複第二步驟接下來的步驟，即重複重複第二步驟接下來的步驟，即重複地疊代下去地疊代下去Mondelbrot集集 Mandelbrot集集 Mandelbrot集是集是Julia集的延伸和集的延伸和扩展扩展. Mandelbrot集有非常复杂的集有非常复杂的结构结构,其特征是由一个主要的心脏形其特征是由一个主要的心脏形结构和一系列圆盘形的结构和一系列圆盘形的“
8、芽苞芽苞”突突起连接在一起起连接在一起,每个每个“芽苞芽苞”又被更又被更细小的细小的“芽苞芽苞”所环绕所环绕,依此类推依此类推.此外此外,还有更为精细的还有更为精细的“发状发状”似的似的分枝从分枝从“芽苞芽苞”向外长出向外长出.这些细发这些细发在它的每一段上都带有与整个在它的每一段上都带有与整个M集集相似的微型样本相似的微型样本.M集的每个集的每个“芽苞芽苞”上的每一点上的每一点,都分别对应著一个参都分别对应著一个参数数C的值的值.如果取一点并显微该点尽如果取一点并显微该点尽可能小的邻域可能小的邻域, 放大后便得到一个放大后便得到一个分形图分形图. Newton奠定了经典力学、光奠定了经典力学
9、、光学和微积分学的基础。但是除学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些数学方科外，他还建立了一些数学方法。例如，牛顿建议用一个逼法。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。近方法求解一个方程的根。 如方程如方程 Z6 + 1 = 0有六个根，有六个根，用牛顿的方法用牛顿的方法猜测猜测复平面上复平面上各点最后趋向方程的那一个根各点最后趋向方程的那一个根，就可以得到一个怪异的分形，就可以得到一个怪异的分形图形。和图形。和Julia分形一样，能永分形一样，能永远放大下去，并有自相似性。远放大下去，并有自相似性。花草树木(L 系统）的一个
10、例子Pythagorean Trees分形 自然界中的分形山星 云星 云天空中的云朵植物的叶子 视网膜中央动脉颞上支阻塞视网膜中央动脉颞上支阻塞视乳头旁毛细血管瘤视乳头旁毛细血管瘤毛细血管分布毛细血管分布河流分布图如何利用分形规律 1. 1. 了解分形了解分形 2. 2. 了解我们的问题及根源了解我们的问题及根源 3. 3. 调动广泛的联系和影响调动广泛的联系和影响分形的应用 数学中的动力系统等数学中的动力系统等; ; 物理中的布朗运动物理中的布朗运动, ,流体力学中的湍流等流体力学中的湍流等; ; 化学中酶的构造等化学中酶的构造等; ; 生物中细胞的生长等生物中细胞的生长等; ; 地质学中的
11、地质构造等地质学中的地质构造等; ; 天文学中土星光环的模拟等天文学中土星光环的模拟等; ; 其它其它: :计算机计算机, ,经济学经济学, ,社会学社会学, ,艺术等艺术等分形的功能 1.1.事物的外形，存在着整体和局部相似的事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大后与整体形状类似特点。局部放大后与整体形状类似 2.2.事物的发展，也可以从局部的发展，看事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况出事物整体发展的状况 3.3.事物的功能，事物局部的功能，也存在事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况着与整体功能相似的情况 黄金分割及运用黄金分割及运用 人体有
12、人体有1414个个“黄金点黄金点”（物体短段与长段之比（物体短段与长段之比值为值为 0.6180.618），），1212个个“黄金矩形黄金矩形”（宽与长比（宽与长比值为值为 0.6180.618的长方形）和个的长方形）和个“黄金指数黄金指数”（两物体间的比例关系为（两物体间的比例关系为 0.6180.618）。）。 黄金点：黄金点：(1)(1)肚脐：头顶足底之分割点；肚脐：头顶足底之分割点；(2)(2)咽喉：头顶肚脐之分割点；咽喉：头顶肚脐之分割点；(3)(3)、(4)(4)膝关节：膝关节：肚脐足底之分割点；肚脐足底之分割点；(5)(5)、(6)(6)肘关节：肩关肘关节：肩关节中指尖之分割点；
13、节中指尖之分割点；(7)(7)、(8)(8)乳头：躯干乳乳头：躯干乳头纵轴上分割点；头纵轴上分割点；(9)(9)眉间点：发际颏底间距眉间点：发际颏底间距上上1/31/3与中下与中下2/32/3之分割点；之分割点；(10)(10)鼻下点：发际鼻下点：发际颏底间距下颏底间距下1/31/3与上中与上中2/32/3之分割点；之分割点；(11)(11)唇唇珠点：鼻底颏底间距上珠点：鼻底颏底间距上1/31/3与中下与中下2/32/3之分割之分割点；点；(12)(12)颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/31/3与上中与上中2/32/3之分割点；之分割点；(13)(13)、(14)
14、(14) 口角点：口口角点：口裂水平线右裂水平线右1/31/3与左与左2/32/3之分割点。之分割点。 0.618，一个迷人而神秘的数字，还有一，一个迷人而神秘的数字，还有一个很动听的名字个很动听的名字黄金分割律，由古希黄金分割律，由古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于2500年前发现。这个数字一直被奉为科学和美年前发现。这个数字一直被奉为科学和美学的金科玉律。艺术史上，几乎所有的杰学的金科玉律。艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地运用了黄金分割律，出作品都不谋而合地运用了黄金分割律，无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的
15、兵马俑，的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合然完全符合1：0.618的比例。的比例。 当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不合理，不它的枪把和枪身的长度比例很不合理，不方便抓握和瞄准。方便抓握和瞄准。 到了年，一个名叫阿尔文到了年，一个名叫阿尔文约克约克的美国远征军下士对这种步枪进行了改造，的美国远征军下士对这种步枪进行了改造，改进后的枪型，改进后的枪型，枪身和枪把的比例恰恰符枪身和枪把的比例恰恰符合的比例。合的比例。 实际上，从锋利的马刀刃口的弧度，到子实际上，从锋利的马刀刃口的弧度，到子弹、炮
16、弹、弹道导弹沿弹、炮弹、弹道导弹沿弹道飞行的顶点；弹道飞行的顶点；从飞机进入俯冲轰炸状态的从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投弹高度最佳投弹高度和角度和角度，到坦克外壳设计时的，到坦克外壳设计时的最佳避弹坡最佳避弹坡度度，我们也都能很容易地发现黄金分割率，我们也都能很容易地发现黄金分割率无处不在。无处不在。 数百年来，人们对成吉思汗的蒙古骑兵，数百年来，人们对成吉思汗的蒙古骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地席卷欧亚大陆为什么能像飓风扫落叶般地席卷欧亚大陆颇感费解。仔细研究之下，发现了黄金分颇感费解。仔细研究之下，发现了黄金分割律在蒙古军团中的伟大作用。蒙古骑兵割律在蒙古军团中的伟大作用。蒙古骑兵的战斗队
17、形与西方传统的方阵大不相同，的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，它的排制阵形中，它的排制阵形中，人盔马甲的重骑兵和人盔马甲的重骑兵和快捷灵动的轻骑兵的比例为：快捷灵动的轻骑兵的比例为：，这又，这又是一个黄金分割！是一个黄金分割！ 马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人成马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人成功运用功运用.于战争中一个比较成功的于战争中一个比较成功的范例。在这次战役中，马其顿的亚历山大范例。在这次战役中，马其顿的亚历山大大帝把他的军队的攻击点，大帝把他的军队的攻击点，选在了波斯大选在了波斯大流士国王军队的左翼和中央结合部。巧的流士国王军队的左翼和中央结合部。巧的是，这个部位正好也是整个
18、战线的是，这个部位正好也是整个战线的“黄金黄金点点”，所以尽管波斯大军多于亚历山大的，所以尽管波斯大军多于亚历山大的兵马数十倍，但亚历山大仍把波斯大军打兵马数十倍，但亚历山大仍把波斯大军打得溃不成军。得溃不成军。 如今在海湾战争中，多国部队也采用了类如今在海湾战争中，多国部队也采用了类似的布阵法打败了伊拉克军队。似的布阵法打败了伊拉克军队。 年月日，纳粹德国启动了针年月日，纳粹德国启动了针对苏联的对苏联的“巴巴罗萨巴巴罗萨”计划，实行闪电战，计划，实行闪电战，在极短的时间里，就迅速占领了苏联广袤的在极短的时间里，就迅速占领了苏联广袤的领土，并继续向该国的纵深推进。在长达两领土，并继续向该国的纵深推进。在长达两年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，直到年月，直到年月，“巴巴罗萨巴巴罗萨”行动结行动结束，德军从此转入守势，被公认为苏联卫国束，德军从此转入守势，被公认为苏联卫国战争转折点的战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第个月，争爆发后的第个月，正是德军由盛而衰正是德军由盛而衰的个月时间轴线上的黄金分割点。的个月时间轴线上的黄金分割点。
