1、材料力学材料力学材料力学材料力学弯曲变形弯曲变形材料力学材料力学材料力学材料力学2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室2材料力学材料力学1.1.工程实践中的弯曲变形问题工程实践中的弯曲变形问题 要求变形不能过大要求变形不能过大摇臂钻床摇臂钻床2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室3材料力学材料力学2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室4材料力学材料力学P2P2P2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室5材料力学材料力学挠度挠度w 横截面形心处的铅垂位移。横截面形心处的铅垂位移。(deflection) 转角转角 横截面绕中性轴转过的角度。横截面绕中性轴转过的角度。(slo
2、pe of cross section) 挠曲线挠曲线变形后的轴线变形后的轴线(弹性曲线弹性曲线) 。(deflection curve)梁变形的描述：梁变形的描述：挠度向下为正挠度向下为正转角顺时针转向为正转角顺时针转向为正FxwC C1y2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室6材料力学材料力学1. 挠曲挠曲线方程线方程(deflection equation)挠曲线方程：挠曲线方程：)(xfw 转角方程：转角方程：)(tanxfww二、挠曲线近似微分方程及其积二、挠曲线近似微分方程及其积分分2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室7材料力学材料力学QQ 中性层曲率表示的弯曲变形公
3、式中性层曲率表示的弯曲变形公式EIxMx)()(1 EIM 1（纯弯纯弯）（推广到非纯弯推广到非纯弯）QQ 由高等数学知识由高等数学知识 232)(1)()(1xwxwx QQ 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 EIxMxwxw 232)(1)( 二阶非线性常微分方程二阶非线性常微分方程QQ方程简化方程简化 小变形时小变形时：12 w( )( )M xwx =EI 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室8材料力学材料力学正负号确定正负号确定: :0w 弯矩弯矩: 坐标系：坐标系：w 向下为正向下为正挠曲线下凹挠曲线下凹, ,弯矩弯矩M M为正为正方程取负号方程取负号 EIw (x)=M(x)
4、 ( )( )M xwx =EI yxM 00 wMMyxMMM 00 w挠曲线凸向上时挠曲线凸向上时 pmax 小变形小变形QQ应用条件：应用条件： 坐标轴坐标轴 w 向向下下，弯矩下凹为正，弯矩下凹为正挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室9材料力学材料力学)(xMwEI CxxMwEId)(DCxxxxMEIwdd)(2. 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形式中积分常数式中积分常数C、D由由边界条件边界条件确定确定 (位移边界与连续条件位移边界与连续条件)2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室10材料力学材料力学 EIwMx dxCxD位
5、移边界条件位移边界条件w = 0w = 0w = 0 = 0 位移边界条件与连续条件位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件位移连续与光滑条件ACDMFB$挠曲挠曲线线在在B、C点连续且光滑点连续且光滑连续：连续：wB左左= wB右右光滑：光滑： B B左左 = B B右右 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室11材料力学材料力学写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件ABCDFE 例：例：思考：思考： 1. 该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移边界与连续
6、条件？多少位移边界与连续条件？(2). 分分3段。段。ED段不受力，保持直线，仅作刚性转动。段不受力，保持直线，仅作刚性转动。 请自行考虑。请自行考虑。(1). 分分4段。位移边界条件：段。位移边界条件：A端：两个；端：两个； D端：无。端：无。 位移连续条件：位移连续条件：E：2个；个；B：1个；个；C：3个个 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室12材料力学材料力学例例: 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简。试求图示简支梁在均布载荷支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定曲线方程，并确定max和和wmax。xyql2022-6-1机
7、械电子工程学院-力学教研室13材料力学材料力学解：解：M xqlxqx( ) 222222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxqlEIw432412由边界条件：由边界条件：000wlxwx时，时，得：得：0,243DqlCxqlxyAB2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室14材料力学材料力学梁的转角方程和挠曲线梁的转角方程和挠曲线方程分别为：方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：AB)2(24323xlxlEIqxwEIqlwwlx384542max)46(24323xlxlEIqxqlxyABEIqlBA243max2022-6-1机械电
8、子工程学院-力学教研室15材料力学材料力学例例: 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁。试求图示悬臂梁在集中力在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定maxmax和和wmax。yPxBAl2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室16材料力学材料力学解：解：M xP lx( )() lPxPwEI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由边界条件：由边界条件：000w,wx时时，得：得：CD 0yPxBAlx2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室17材料力学材料力学梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和
9、挠曲线方程分别为：)2(2xlEIxP)3(62xlEIxPw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIPlB22maxEIPlwwB33maxByPxBAlx2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室18材料力学材料力学例例: 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支。试求图示简支梁在集中力梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程，并确定max和和 wmax。yl2Pl2xABC2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室19材料力学材料力学解：解：ACM xPx段：( ) 2xPwEI2 CxPwEI24DCxxPEIw31
10、2由边界条件由边界条件：00wx时时，得得：D 0由对称条件：由对称条件：02wlx时，得得：162PlC xyl2Pl2xABC2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室20材料力学材料力学AC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：)4(1622xlEIP)43(4822xlEIxPw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIPlBA162maxEIPlwwlx4832max讨论：讨论：0cxyl2Pl2xABC2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室21材料力学材料力学例例: 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支。试求图示
11、简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和wmax。yxaaaaqABCDE2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室22材料力学材料力学解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁ACDACDMxqaxxa11110()()222211)(2axqqaxEIwqaxEIwMxqaxqxaaxa22222222()()()yqAxqaqaaaaaCx1x2BDE2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室23材料力学材料力学：212121ww,ww,axx时时12112CxqaEIw：由对称条件：由对称条件：2121DDCC得得0011w,x时时0
12、1D得得0222w,ax时时32611qaC 得11qaxEIw2222)(2axqqaxEIw1113116DxCxqaEIw232222()26qaqEIwxxaC34222222()624qaqEIwxxaC xD 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室24材料力学材料力学梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：axaxaaxaxEIqwaxxxaEIqawaxaaaxaxEIqaxxaEIqa244)(4240)11(6211)(360)311(622342322131121233222212121最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIq
13、axA611301max1EIqawwax819422max22022-6-1机械电子工程学院-力学教研室25材料力学材料力学三、按叠加原理计算梁的变形三、按叠加原理计算梁的变形一、一、 荷载叠加法荷载叠加法M(x)为为荷载荷载 (P, q, Me)的线性齐次函数的线性齐次函数2 2、梁的变形很小；、梁的变形很小；( (不影响其它载荷的作用效果不影响其它载荷的作用效果) )1 1、应力不超过比例极限；、应力不超过比例极限；( (线弹性线弹性) )梁的变形与载荷成线性关系梁的变形与载荷成线性关系 ,M xwEI 积分后，积分后，w和和w仍然是荷载仍然是荷载的线性齐次函数的线性齐次函数2022-6
14、-1机械电子工程学院-力学教研室26材料力学材料力学例：例：EI EI = =常数，求常数，求AA,w Al0MFq查查表表2340( )238AM lFlqlwEIEIEI 223026AM lFlqlEIEIEI ( )Aw0M lEI202M lEI36q lE I48q lE I0MFqA22FlEI33FlEI叠加：叠加：Al0MAlFAlq2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室27材料力学材料力学BACw 、例：例：用叠加法求用叠加法求2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室28材料力学材料力学CwEIl q38454EIlP483EIlm162AEIl q243EIlP
15、162EIlm3BEIl q243EIlP162EIlm6解：解：2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室29材料力学材料力学例：例：EIEI= =常值，求常值，求acw40152768acccwwq lEI ACB2l2lq0(a)+q0(b)BAC2l2lq0(c)分析：分析：abccww abccccwww45384ccwqlEI 故：故：？2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室30材料力学材料力学思考：思考：ABCa /2qa /2qABCa /2qa /22022-6-1机械电子工程学院-力学教研室31材料力学材料力学例：例：载荷集度载荷集度为为 lxqxq2cos0 ，求
16、自由端挠度求自由端挠度Bwddq)(0 xq0BlFaB alEIFawFB 362分析方法：分析方法：将任意分布载荷看作无将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。穷微集中力的叠加。注意：注意：(1) a 取为变量取为变量 2 2 挠度向下为正挠度向下为正 22036cos362BdFdwlEIqldEIl 查表查表: 430402243lBBq lwdwEI 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室32材料力学材料力学逐段刚化法：逐段刚化法：C截面转角：截面转角：CBC截面挠度：截面挠度：CBCBB2wwwLw2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室33材料力学材料力学lAaqBC例例
17、: : 求图示外伸梁求图示外伸梁C点的挠度和转角点的挠度和转角4311( )( )86CCqaqawEIEI 232222( )( )66CBCBqa lqa lwaEIEI lAaqBClAaBCqaqa2/2仅考虑仅考虑BC段变形段变形( (刚化刚化AB, ,可视可视BC为悬臂梁为悬臂梁) )仅考虑仅考虑AB段变形段变形( (刚化刚化BC) )二、变形叠加法二、变形叠加法（逐段刚化逐段刚化）总挠度和总挠度和转角转角312(34 )( )24CCCqawwwalEI 212()( )6CCCqaalEI 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室34材料力学材料力学312(34 )( )2
18、4CCCqawwwalEI 212()( )6CCCqaalEI 变形叠加法：变形叠加法：静定梁或刚架的任一横静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各截面的总位移，等于各梁段单独变形梁段单独变形 (其余梁其余梁段刚化段刚化)在该截面引起在该截面引起的位移的和。的位移的和。进一步讨论进一步讨论lAaqBClAaqBClAaBCqaqa2/22022-6-1机械电子工程学院-力学教研室35材料力学材料力学例：例： 用叠加法求图示梁用叠加法求图示梁端的转角和挠度。端的转角和挠度。2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室36材料力学材料力学EIqaEIqaawBC245844EIqaEIqaBC4
19、633222(2 )2316BqaaqaaEIEI EIqa123解：解：PABAB2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室37材料力学材料力学例：例：E 常数常数, , ,求求212II CwC1.1.BC段变形效应段变形效应（刚化（刚化ABAB段）段）2.2.AB段变形效应段变形效应（刚化（刚化BCBC段）段）BFaM FABCABCF2I1IFABC阶梯悬臂梁问题阶梯悬臂梁问题3113CFawEI 2112CFaEI 333332,2222137732236CB FB MBFaFaFaFaFawwwaEIEIEIEIEI 2,222222133224CBB FB MFaFa aFaF
20、aEIEIEIEI 3.3.总转角和挠度总转角和挠度312132CCCFawwwEI 212154CCCFaEI 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室38材料力学材料力学2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室39材料力学材料力学EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434EIqaEIaqawwBD3848)2(22432022-6-1机械电子工程学院-力学教研室40材料力学材料力学C 左左 / /右右AqlCBl316q lE I AB12C2Cwl CBCB保持直线保持直线48CqlwEI 312724CqlE I 左左 / / 右右ACAC悬臂梁悬臂梁2022-
21、6-1机械电子工程学院-力学教研室41材料力学材料力学思考思考:梁横截面为边长为梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为的圆，弹性模量为E2。求求:拉杆的伸长及拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。梁中点的挠度。2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室42材料力学材料力学212CBww 问题分析：采用问题分析：采用逐段刚化逐段刚化法法例：例：已知组合梁已知组合梁/刚架各处刚架各处EI, EA, 求求 CwABCF1Cw刚化刚架刚化刚架BDH, AB为简支梁，为简支梁，刚化梁刚化梁AB，12CCCwww 3148CFaw
22、EI 下面求刚架的位移下面求刚架的位移Bw2CwBw静定组合梁静定组合梁/刚架刚架拉压变形影响拉压变形影响2aaABHD2aCFa2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室43材料力学材料力学解：解： 1. 1. 求求Bw（1 1）刚化）刚化DH，BD相当于悬臂梁相当于悬臂梁（2 2）刚化）刚化BD（3 3）DH的轴向压缩的轴向压缩331236BFaFawEIEI 23222BDFaFawaaEIEI 32BDHFawlEA 3123232BBBBFaFawwwwEIEA ABC F1Cw 2. 2. 求求1Cw3148CFawEI aBHDF/22wa1w3w2022-6-1机械电子工程学
23、院-力学教研室44材料力学材料力学3. 3. 求求Cw3148CFawEI 设设b bh h矩形截面矩形截面321234CBFaFawwEIEA 31217484CCCFaFawwwEIEA 4. 4. 比较弯曲与拉压位移比较弯曲与拉压位移323,121717484Abh IbhaFaFaEIEAh 结论结论: : ( (如果题意没有要求如果题意没有要求) )，拉压与弯曲共同，拉压与弯曲共同 作用时，拉压引起的位移可以忽略。作用时，拉压引起的位移可以忽略。2CwBw1Cw2aaABHDCF2aa2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室45材料力学材料力学BCABFFaABAB刚化刚化w3例
24、：例：圆截面刚架如图所示圆截面刚架如图所示, ,求求AwlaABCFABCA1wBCBC刚化刚化F ppBAGIlFaaGIFalaw22 2. BC扭转扭转(AB(AB刚化刚化) )3. BC弯曲弯曲(AB(AB刚化刚化) ) EIFlwwBA33312323333AAAApwwwwFa lFlFaGIEIEI)(331 EIFawA1. AB弯曲弯曲(BC(BC刚化）刚化）2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室46材料力学材料力学校核刚度校核刚度截面设计截面设计求容许荷载求容许荷载四四、梁的刚度校核、梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施梁的刚度条件为：梁的刚度条件为：梁
25、的刚度计算包括：梁的刚度计算包括： maxww max许可挠度与跨长之比：许可挠度与跨长之比： 土建工程中的梁：土建工程中的梁： 1/2501/1000 重要轴：重要轴： 1/50001/10000 起重机大梁：起重机大梁： 1/7001/1000安装齿轮或滑动轴承处：安装齿轮或滑动轴承处： =0.0010.005 rad一、一、梁的刚度校核梁的刚度校核maxwwll2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室47材料力学材料力学2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室48材料力学材料力学500483lwEIPlwmax250048lEIP kN.117PmaxmaxMWz所所以以满满足足
26、强强度度条条件件。PlWz460MPa 711.kN2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室49材料力学材料力学二、梁的合理刚度设计二、梁的合理刚度设计1. 1. 与梁的合理强度设计相似点与梁的合理强度设计相似点让材料远离截面中性轴，例如工字形与盒形薄壁截面让材料远离截面中性轴，例如工字形与盒形薄壁截面合理安排约束与加载方式（分散载荷等）合理安排约束与加载方式（分散载荷等） 与与 的相似点的相似点IW同样依赖于同样依赖于MMyI MW 对比强度问题对比强度问题 或或依据依据 ( )M xwdxEI ( )M xdxEI 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室50材料力学材料力学合理安
27、排约束与合理安排约束与加载方式加载方式max1, max2, max1, max2, 增加约束，制作成静不定梁增加约束，制作成静不定梁lq2lq4l4l2lF2llqF l 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室51材料力学材料力学（1 1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）强度是局部量，刚度是整体量（积分）2. 2. 与梁的合理强度设计的不同点与梁的合理强度设计的不同点辅梁、等强度梁是合理强度设辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强须整体加强F小孔显著影响强度，但对刚小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微度影响甚微F( )dlM xwxEI
28、 MyI MW 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室52材料力学材料力学(2)(2)强度与材料强度与材料 和和 相关相关, ,刚度与刚度与E 相关相关sb maxmax33maxmax1 ,4,48MFlMlFlwwlEIFC/ 2l/ 2l22maxmax44maxmax1,85,384MqlMlqlwwlEIql高强度钢一般不提高高强度钢一般不提高E钢与合金钢钢与合金钢: :E = =200 220GPa铝合金铝合金: :E = =70 72GPa(3)(3)刚度对梁的跨度更敏感刚度对梁的跨度更敏感跨度微小改变，将导致挠度显著改变跨度微小改变，将导致挠度显著改变2022-6-1机械
29、电子工程学院-力学教研室53材料力学材料力学EIM 1纯弯曲时纯弯曲时 l eMWV21eMM EIlMV22 EIMl 五五、梁的弯曲应变能、梁的弯曲应变能MeMeMe纯弯曲时梁内的应变能纯弯曲时梁内的应变能2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室54材料力学材料力学 梁横截面存在弯矩和剪力，且随截面位梁横截面存在弯矩和剪力，且随截面位置变化，应分别计算其相应的应变能。置变化，应分别计算其相应的应变能。 对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比很小，忽略不计。比很小，忽略不计。2( )dd2MxVxEI横力弯曲时横力弯曲时2( )d2lMxVxEI2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室55材料力学材料力学材料力学材料力学Thanks very much for your attendance. 2022-6-1机械电子工程学院-力学教研室56
