1、专题课堂(二)全等三角形判定的综合应用第十二章全等三角形1一、全等三角形判定方法的巧用类型：(1)已知两边对应相等，寻找第三边或夹角对应相等；(2)已知一边一角对应相等，寻找另一角或夹这一角的另一边对应相等；(3)已知两角对应相等，寻找任一边对应相等；(4)在直角三角形中，已知一条直角边(斜边)对应相等，寻找斜边(另一条直角边)对应相等2【例1】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，12，34.求证：(1)ABCADC；(2)BODO.分析：(1)已知12，34，寻找公共边AC，利用ASA 可证明；(2)由(1)可得ABAD，利用SAS 证ABOADO可得证明：(1)1 2 ，AC
2、AC，3 4 ，ABCADC(ASA )(2 )ABCADC ，AB AD.又1 2 ，AOAO，ABOADO (SAS )，BODO3【对应训练】1如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，BCDC，延长AD到E点，使DEAB.(1)求证：ABCEDC；(2)求证：ABCEDC.证明：(1 )BAD BCD90 ，ABCADC180 ，又ADCCDE180 ，ABCEDC (2 )在ABC与CDE中，?BCCD，BEDC，ABDE，ABCEDC(SAS ) 42如图，A，F，E，B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD.求证：ACFBDE.证明：ACCE，BDDF，ACEBDF9
3、0 .在 Rt ACE 和Rt BDF 中，?AEBF，ACBD，Rt ACERt BDF(HL)，AB.AEBF，AEEFBFEF，即 AFBE.在ACF 和BDE中，?AFBE，AB，ACBD，ACFBDE(SAS) 53如图，在ABC与DCB中，AC与BD交于点E，且BACCDB，ACBDBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BFCF.证明：在ABC和DCB中，?BACCDB，ACBDBC，BCCB，ABCDCB(AAS )，ACDB.又BACCDB，FACFDB.在FAC 和FDB 中，?FF，FACFDB，ACDB，FACFDB(AAS )，CFBF 6二、构造三角形证全等的常用方
4、法类型：(1)倍长中线法：延长中线至一倍构造全等三角形，将有关的线段转化到一个三角形中去证明；(2)截长补短法：线段的和差问题常采用截长或补短法构造全等三角形，将转移的边、角和已知边、角有机地结合在一起；(3)补全图形法：此法可通过图形的平移、旋转或折叠实现；(4)作平行线构造三角形：可以将角进行转移，进而构造全等三角形；(5)根据角平分线构造全等三角形：已知角平分线，常直接利用角或边相等的关系构造三角形，也常过角平分线上的点向两边引垂线构造直角三角形而巧妙地解决问题7【例2】如图，在ABC中，ABC60，AD，CE分别平分BAC，ACB，求证：ACAECD.分析：在AC上截取AFAE，连接O
5、F，由SAS证AEOAFO，得EOAFOA，从而得到DOCFOC60，再由ASA证CODCOF，得CDCF，从而得到结论8证明：在 AC 上取 AFAE，连接 OF.AD平分BAC，EAOFAO，在AEO和AFO 中，AEAF，EAOFAO，AOAO，AEOAFO(SAS )，AOEAOF.AD，CE 分别平分BAC，ACB，ECADAC12ACB12BAC12(ACBBAC)12(180 B)60 ，则AOC180 ECADAC120 ，AOCDOE120 ，AOECODAOF60 ，则COF60 ，CODCOF.在FOC 与DOC 中，COFCOD，COCO，FCODCO，FOCDOC(A
6、SA )，DCFC.ACAFFC，ACAECD 9【对应训练】4如图，在ABC中，AD是中线，已知AB5，AC3，求中线AD的取值范围解：延长 AD至 E，使 DEAD，连接 CE.AD是ABC的中线，BDCD，在ABD和ECD中， ?ADED，ADB EDC，BDCD，ABD ECD(SAS )，CEAB5.CEACAECEAC，2AE8，1AD4 105如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D.求证：21C.证明：延长 AD交 BC于点 F(相当于将 AB边向下翻折，与 BC边重合，A点落在 F 点处，折痕为 BE)BE 平分ABC，ABECBE.BDAD， ADBBDF
7、90 .在ABD 和 FBD 中，?ABD FBD，BDBD，ADB FDB90 ，ABDFBD(ASA )，2DFB.又DFB1 C，2 1 C 116如图，已知AOB90，OM是AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，证明：PCPD.证明：过点 P作 PEOA于点 E，PFOB于点 F，PECPFD90 .OM是AOB的平分线，PEPF.AOB 90 ，CPD90 ，PCEPDO360 90 90 180 ，而PDOPDF180 ，PCEPDF.在PCE 和PDF 中，?PCEPDF，PECPFD，PEPF，PCEPDF(AAS )，PC
8、PD 127如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD180，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且EAF12BAD，求证：EFBEFD. 证明：将ADF顺时针旋转得到 ABG，使得 AD与 AB重合，则ADFABG，FAGBAD，AFAG，DFGB，ABGD，ABED180 ，ABG ABE180 ，即 G，B，E 共线 EAF12BAD 12FAG，EAFEAG，在EAG和EAF 中，?AGAF，EAGEAF，AEAE，EAGEAF(SAS )，GEEF，GEGBBEDFBE，EFBEFD 138如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，点D为BC的中点，CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：ADCBDF.证明：过点B作BGAC交CF的延长线于点G，GACE. ACBC，CEAD，ACEDCEADC DCE90 ，BGBC，ACEADC，GADC.又ACCB，ACDCBG90 ，ADCCGB(AAS )，BGCDBD.在等腰直角ABC 中，CAB ABC 45 ，BGAC，GBFCAB，GBFDBF，又BFBF，GBFDBF(SAS )，GBDF，ADC BDF14
