1、第第4 4章章 分析自动控制系统性能常用的方法分析自动控制系统性能常用的方法4.1 时域分析法时域分析法 通常是用控制系统的响应来分析系统的性能。控制系统的响应是由系统本身的结构参数本身的结构参数、初始状态初始状态和输入信号的形式输入信号的形式所决定的。1)对初始状态初始状态可以作统一的规定，如规定为零初始状态。 2）如再将输入信号输入信号规定为统一的典型形式， 3)则系统的响应将由系统本身的结构、由系统本身的结构、 参数来确定，参数来确定， 因而更便于对各种系统进行比较和研究。 时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。 时域分析法的特点：1).直观、精确。
2、2).比较烦琐。 1、典型输入信号典型输入信号 用于时域分析的典型输入信号时域分析的典型输入信号有阶跃函数、 斜坡函数和抛物线函数等。(1)单位阶跃函数单位阶跃函数1(t) 0001)( 1tttsLtLsR1 1 )( 1 )(t1r(t)0(2)单位斜坡函数单位斜坡函数t1(t)（等速度函数等速度函数） 000)( 1ttttt21)( 1)(stLttLsRtr(t)0(3) 单位抛物线函数（单位抛物线函数（加速度函数）加速度函数） 0002)(2ttttr3212)(stLsR(5) 正弦函数正弦函数sint22sin)(stLsR(4) 单位脉冲函数单位脉冲函数)0()0(0)(tt
3、t1)(sR2ttr(t)实际应用究竟采用哪一种典型信号输入，取决于系统常见实际应用究竟采用哪一种典型信号输入，取决于系统常见的工作状态，同时，在所有可能的输入信号中，往往选取的工作状态，同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号最不利的信号作为系统的典型输入信号例如：例如： 阶跃函数阶跃函数-室温调节系统和水位调节系统以及工作状态突然改变或突然受恒定输入的控制系统；斜坡函数斜坡函数-跟踪通信卫星的天线控制系统以及输入信号随时间逐渐变化的系统；加速度函数加速度函数-宇宙飞船控制系统；脉冲函数脉冲函数-输入信号为冲击输入量；正弦函数正弦函数-系统的输入作用具有周期性
4、变化。如果输入信号是变化无常的随机信号，如定位雷达天线控制系统，则要用随机过程理论分析在典型输入信号作用下， 任何一个控制系统的时间响应都可看成由动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程两部分组成。 （1）、动态过程动态过程又称为过渡过程或瞬态过程动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下， 输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 （2）、稳态过程稳态过程稳态过程是指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，输出量的表现形式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度， 提供系统有关稳态误差的信息。稳态过程用稳态性能稳态过程用稳态性能描述。 2、动态过程与稳态
5、过程3、性能指标（动态性能与稳态性能）稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置准：( 稳态要求 )稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小快：( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时， 研究系统的动态性能才有意义。 （1） 动态性能通常，在阶跃函数作用下测定或计算控制系统的动态性能。在阶跃函数作用下测定或计算控制系统的动态性能。一般认为，阶跃输入对控制系统来说是最严峻的工作状态。 如果控制系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么控制系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。 描述稳定的控制系统在单位阶跃
6、函数作用下，动态过程随时间t的变化情况的指标，称为动态性能指标动态性能指标。 c(t)c()0.9c()0.1c()0trtpts误差带稳态误差(t)t2）峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。 %100)()()(%cctcp1）上升时间tr：指响应从终值10上升到终值90所需的时间；对于有振荡的系统，为了计算的方便，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。3）调节时间ts： 指响应到达并保持在终值5%或2%内所需的最短时间。反映系统的快速性反映系统的快速性 4）超调量%： 指响应的最大峰值c(tp)与终值
7、c()的差与终值c()比的百分数， 即若c(tp)c()， 则响应无超调。 超调量亦称为最大超调量， 或百分比超调量。 超调量反映系统的稳定性超调量反映系统的稳定性（2） 稳态性能稳态误差稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、 斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。 若时间趋于无穷时， 系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数， 则系统存在稳态误差。 稳态误差是系统控制稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。精度或抗扰动能力的一种度量。 4. 1.1一阶系统的时域分析开环传递函数开环传递函数 sKsG)(闭环传递函数闭环传递函数: : 111( )()111KK
8、sTsKKsKTsTssT能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型形式是一阶惯性环节。 :)( 1)(时ttr1、一阶系统的单位阶跃响应、一阶系统的单位阶跃响应TssTssTsRssC111)1(1)()()(1)(, 0)0( 1)(1ccetctTTceTtctT1)0( 1)(1Tdttdct1|)(063.2%A斜率B0.6320tT2T3T4T5Tc(t)T1c(t)e t/T86.5%95%98.2%99.3%1)1)一阶惯性系统总是稳定的，无振荡；一阶惯性系统总是稳定的，无振荡； 2)2)经过时间经过时间T T，曲线上升到曲线上升到0.6320.632的高度，的高度，反
9、过来，用实验的方反过来，用实验的方法测出响应曲线达到法测出响应曲线达到0.6320.632高度点所用的时间，即是惯性环节高度点所用的时间，即是惯性环节的时间常数的时间常数T T；T T越小，响应越快。越小，响应越快。 3)3)经过时间经过时间3 3T T4T4T，响应曲线已达稳态值的响应曲线已达稳态值的95%95%9898，可以，可以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间tsts=(3=(34)T4)T；4)4)在在t=0t=0处，响应曲线的切线斜率为处，响应曲线的切线斜率为1/1/T T。 2 2、一阶系统的单位斜坡响应、一阶系统的单位斜坡响应 Ts
10、TsTssTssRsGsCssR/11111)()()(1222 c(t)=t-T+Te-t/T t0 拉氏反变换tc(t)0r(t) te() TTtTTttc/e)(稳态误差为：稳态误差为：e(t) =r(t)-c(t) =t-t-T+T =T(1-e-t/T) Tte当时间t时， e()=T, 故当输入为单位斜坡函数时，一阶惯性环节的稳态误差为T。显然，时间常数T越小，该环节稳态误差越小。 r(t)=t 3、当输入为加速度函数：、当输入为加速度函数：221)(ttr31.11)(sTssCTssTsTs1111223)1 (21)(22TteTTtttc)1 ()()()(2TteTTt
11、tctrte时当t)( e说明一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪说明一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。例例1 1：下图单位负反馈系统的开环传递函数：下图单位负反馈系统的开环传递函数 ，求：，求：1 1）闭环传递函数闭环传递函数 ；2 2）系统的单位阶跃响应）系统的单位阶跃响应 和稳态和稳态值值 。32)(ssG)()()(sRsCs )(tc)(cG G(s)(s)R(s)R(s)C(s)C(s)- -52)(1)()()()(32132ssGsGsRsCsss)511(521.52)()()(sssssRssC)1 (52)(5tetC单位阶跃单位阶跃响应响应：闭环传递闭环传递函数
12、：函数：520)(.lim)() 5(2.lim00sssssCsCss稳态值：稳态值：例例2:2:已知某单位负反馈系统的单位阶跃响应为已知某单位负反馈系统的单位阶跃响应为求求(1).(1).单位脉冲响应单位脉冲响应k(t);(2).k(t);(2).闭环传递函数闭环传递函数 ；(3).(3).开环传开环传递函数递函数G(s)G(s)。解：ateth1)()(sataethtk)()() 1 (asatkLs)()()2()(1)()()3(sGsGs)()()()(sGsGss)()(1)( sGsssaaasaasaasasssG1)(1)()(4.1.2 二阶系统的时域分析二阶系统的时域
13、分析 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统 ，从物理上讲，二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时， 系统呈现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节 1 1、二阶系统的典型传递函数、二阶系统的典型传递函数KTssKs) 1()(TKsTsTK12TTKnn122KTTKn212222)(nnnsss阻尼自然频率闭环系统固有频率，无阻尼比，阻尼系数闭环系统系统的:)(:n若令 (称为系统特征方程), 则两个特征根（也称极点）为当取值不同时， 两个特征根的类型也不一样。 122, 1nns0222nnss2、分类、分类1）零阻尼
14、零阻尼 222)(ssG222221)()()()(ssssssRsGsC反拉氏变换ttCcos1)(故故c(t)为等幅自由振荡为等幅自由振荡(又称为无阻尼振荡又称为无阻尼振荡)。其振荡频率。其振荡频率为为n，n称为无阻尼自然振荡频率。称为无阻尼自然振荡频率。其响应曲线如图所示，系统为无阻尼等幅振荡。该种情况实际系统不能用。 01c(t)t2=0：当 时，称为欠阻尼。此时，由)()()()(2dndnnjsjssRsCsG式中： 称为阻尼振荡频率阻尼振荡频率 21nd2) 2) 欠阻尼欠阻尼dnnnjjs22, 1110该二阶系统的极点一定是一对共扼复根，其传递函数可表示为：)1arctan(
15、221nd当当r(t)=1(t)r(t)=1(t)时，有时，有：ssssRssCssRnnn1)2()()()(1)(222对上式进行拉氏反变换，得对上式进行拉氏反变换，得 )sin(11)1arctan1sin(11)(2222twetetcdtwntnnntneccctc210)0(0)0(1)(:)(阻尼振荡频率包络线收敛速度响应特征c(t)2.01.00tp5nt1015 0.2 0.4 0.6 0.8当当01 时，称为过阻尼。此时，二阶系统的极点是两个负实根，其传递函数可表示为)1)(1()()()(222nnnnnsssRsCsG当r(t)=1(t)时， 有ssR1)(4) 过阻尼
16、过阻尼则 0) 11(21) 11(211)(1) 11(211) 11(2111)1)(1()()1(22)1(2222222222222teetcsssssssCttnnnnnnnnnnn对上式进行拉氏反变换， 得 过阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线 10c(t)t 0c(t)10nt 0.2 0.4 0.7 1.0 2.0振荡环节的单位阶跃响应，随着阻尼比的不同，表现出不同的动态响应过程，从图中不难发现， 二阶振荡环节的单位阶跃二阶振荡环节的单位阶跃响应曲线响应曲线c(t)c(t)的振荡过程剧烈程度随阻尼比的振荡过程剧烈程度随阻尼比值的变化而变化，值的变化而变化，值越小，值越小， 振荡越强烈
17、。振荡越强烈。对于欠阻尼系统，为了提高系统的相对于欠阻尼系统，为了提高系统的相对稳定性，可以对稳定性，可以 增加系统的阻尼比增加系统的阻尼比1）当=0 时， 响应c(t)为等幅振荡等幅振荡过程； 2）当01 时，时， 其极点为两个其极点为两个负实数，负实数， 利用部分分式展开，利用部分分式展开， 可将传可将传递函数分解成两个一阶惯性环节的叠加。递函数分解成两个一阶惯性环节的叠加。 因此，因此， 研究二阶系统最重要的是研究研究二阶系统最重要的是研究 01， 即欠阻尼的情况，即欠阻尼的情况， 该种情况该种情况也是实际控制系统中最常用的。也是实际控制系统中最常用的。3 3、指标计算、指标计算: :
18、1）峰值时间）峰值时间由 得： 0)(tcpt0)cos(1)sin(122pdpdpdtnttetenpn2211)tan(nnndpdt由于由于21tan.2 , 0pdtdpt下面推导欠阻尼情况下，下面推导欠阻尼情况下， 二阶系统各项性能指标的二阶系统各项性能指标的计算公式。计算公式。该式表明峰值时间等于阻尼振荡周该式表明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半，或者说峰值时间与闭环期的一半，或者说峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比，当阻尼比极点的虚部数值成反比，当阻尼比一定时，闭环极点离负实轴的距离一定时，闭环极点离负实轴的距离越远，系统的峰值时间越短越远，系统的峰值时间越短2）超调量）超调量%
19、)sin(11)(21/2etcp21)sin(21/1)(etcp%100%100)()()(%21/ecctcp 表表 ：不同阻尼比时的最大超调量：不同阻尼比时的最大超调量0)sin(11)(2ttetcdtn 由上升时间由上升时间tr的定义知，对于有振荡的系统，的定义知，对于有振荡的系统，tr为为c(t)响应响应从零第一次上升到终值所需的时间。将从零第一次上升到终值所需的时间。将c(tr)=1代入上式代入上式得得3) 求上升时间求上升时间tr)sin(1112rdtten因为因为 0rnterdrdtt0)sin(所以所以)(1drt4) 求调节时间求调节时间ts)sin(11)(2te
20、tcdtn则曲线 为其包络线， 如图所示。 211tnec(t)102n1e1t2n1e1tt二阶系统单位阶跃响应包络线 按进入5%误差带计算， 有 %512tne则 nst21ln05. 0ln当较小时， 有nnst305. 0ln 经过调节时间ts后， 欠阻尼的二阶系统进入5%的误差范围。 同理可得， 欲使欠阻尼的二阶系统进入2%的误差范围， 则nst4 37, 8 . 0 5%)( 3707. 0 %100% 1 212偏于保守调节时间最佳无关与超调量峰值时间性能指标：nsndnptet变化时动态性能的变化规律：变化时动态性能的变化规律： n,psnnnpsnnntttt%1%122不变
21、；实部虚部：不变；虚部实部：极点直角表示法：psnpsntttt%不变；阻尼比固有频率不变；固有频率阻尼比：极点极坐标法：【例例3】 某二阶系统如图所示, 其中系统的结构参数=0.6, n=5rad/s。输入信号为阶跃函数, 求性能指标tr、tp、ts、p的数值。 解解 根据给定的参数可以得出所以44.4稳定性分析稳定性分析 1、系统的稳定性、系统的稳定性(Stability)： 是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后，经过调节，能重新达到平衡状态的性能。稳定系统和不稳定系统2、不稳定的物理原因、不稳定的物理原因 系统存在惯性系统存在惯性或延迟环节或延迟环节 闭环极点全部落在复平面虚轴
22、左边。闭环极点全部落在复平面虚轴左边。 即系统特征方程的所有根的实部必须是负数。3、系统稳定的充要条件、系统稳定的充要条件0)(0111asasasasDnnnn特征方程： 例4：分析稳定性sssG21)(2sssssG2333)(234)(sR)(sG)(sCMatlab程序1：Gp=tf(1,1 2 0);G=feedback(Gp,1);eig(G)或Matlab程序1：den=1 2 1;roots(den)Matlab程序2：Gp=tf(1,1 3 3 2 0);G=feedback(Gp,1);eig(G)或Matlab程序2：den=1 3 3 2 3;roots(den)稳定不稳定小结 典型输入信号典型输入信号 一阶惯性环节在典型信号输入下的时域响应一阶惯性环节在典型信号输入下的时域响应： 单位阶跃；单位斜坡；单位加速度 典型二阶系统的单位阶跃响应：典型二阶系统的单位阶跃响应： 阻尼比：不同情况下的响应曲线特征 性能指标：性能指标：时间上升时间，峰值时间，超调，调节 稳定性分析：稳定性分析：含义与充要条件
