1、第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计9 9. .1 1 随机抽样随机抽样9.1.2 分层随机抽样第九章 统计第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中,但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本. 能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢?例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中, ,可能出现样本中可能出现样本中5050个个体大部分来自高个子或矮个子的情形个个体大部分来自高个子或矮个子的情形, ,这种这种“极端极端”样本的平均样本的平均
2、数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差. .第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计问题3 在树人中学高一年级的712名学生中,男生有326名、女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法,减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢?影响身高因素有很多影响身高因素有很多, ,性别性别是其中的一个主要因素是其中的一个主要因素. .高中男生的身高中男生的身高普遍高于女生的身高高普遍高于女生的身高, ,而相同性别的身高差异相对较小而相同性别的身高差异相对较小. .我们可以利用性别和身高的这种关系
3、，把高一年级学生分成男生我们可以利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体和女生两个身高有明显差异的群体, ,对两个群体分别进行简单随对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本机抽样，然后汇总作为总体的一个样本. .由于在男生和女生两个由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体群体中都抽取了相应的个体, ,这样就能有效地避免这样就能有效地避免“极端极端”样本样本. .第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 对男生、女生分别进行简单随机抽样对男生、女生分别进行简单随机抽样, ,样本量在男生、女生中样本量在男生、女生中应如何分配应如何分配
4、? ? 为了使样本的结构与总体的分布相近为了使样本的结构与总体的分布相近, ,人数多的群体应多抽一人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些因此些，人数少的群体应少抽一些因此, ,按男生、女生在全体学生中所按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比较合理的方式，即占的比例进行分配是一种比较合理的方式，即男生样本量男生样本量= = 总样本量总样本量全全体体学学生生数数男男生生人人数数女生样本量女生样本量= = 总样本量总样本量全全体体学学生生数数女女生生人人数数第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 这样无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等这样无论是男生还是女生，每个学
5、生抽到的概率都相等. .当总当总样本量为样本量为5050时，可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为时，可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为n n男男= = 50507 71 12 23 32 26 62323，n n女女= = 50507 71 12 23 38 86 62727. .第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 我们按上述方法抽取了一个容量为我们按上述方法抽取了一个容量为5050的样本，其观测数据的样本，其观测数据( (单位单位: cm): cm)如下如下: :男生男生 173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 173.0
6、174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0女生女生 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 163.0 164.0 161.0 157.0 162
7、.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0155.5 157.0 163.0 172.0第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 通过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别为通
8、过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6170.6、160.6160.6. . 根据男生、女生身高的样本平均数以及他们各自的人数，根据男生、女生身高的样本平均数以及他们各自的人数，可以估计总体平均数为可以估计总体平均数为7 71 12 23 38 86 61 16 60 0. .6 63 32 26 61 17 70 0. .6 6165.2165.2，即估计树人中学高一年级学生的平均身高在即估计树人中学高一年级学生的平均身高在165.2cm165.2cm左右左右. . 这样我们按性别变量这样我们按性别变量, ,把高一学生把高一学生划分为男生、女生两个身划分为男生、女生两个身高差
9、异较小的子总体分别进行抽样，进而得到总体的估计高差异较小的子总体分别进行抽样，进而得到总体的估计. .第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样. 每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.1.分层随机抽样的概念2.分层抽样的步骤将总体按一定标准进行分层.计算各层的各体数与总体的个数比.按比例分配各层所要抽取的个体数.在每一层进行
10、抽样(可用简单随机抽样).第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 在分层随机抽样中，如果层数分为在分层随机抽样中，如果层数分为2 2层，第层，第1 1层和第层和第2 2层包含的个体数分层包含的个体数分别为别为M M和和N N, ,抽取的样本量分别抽取的样本量分别m m和和n.n.我们用我们用X X1 1，X X2 2，X XM M表示第表示第1 1层各个个层各个个体的变量值，用体的变量值，用x x1 1，x x2 2，x xm m表示第表示第1 1层被抽取样本的各个个体的变量值；层被抽取样本的各个个体的变量值；用用Y Y1 1，Y Y2 2，, ,Y YN N表示第表示第2 2层各个个体
11、的变量值层各个个体的变量值, ,用用y y1 1，y y2 2，y yn n表示第表示第2 2层层被抽取样本的各个个体的变量值，这样：被抽取样本的各个个体的变量值，这样：第第1 1层层的的总体平均数总体平均数和和样本平均数样本平均数分别为分别为，X XM M1 1M MX XX XX XX XM M1 1i ii iM M2 21 1. .x xm m1 1m mx xx xx xx xm m1 1i ii im m2 21 1第第2 2层层的的总体平均数总体平均数和和样本平均数样本平均数分别为分别为，Y YN N1 1N NY YY YY YY YN N1 1i ii iN N2 21 1.
12、n n1 1i ii in n2 21 1y yn n1 1n ny yy yy yy y第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计总体平均数和样本平均数分别为，N NM MY YX XW WN N1 1i ii iM M1 1i ii i，n nm my yx xw wn n1 1i ii im m1 1i ii i第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计 与考察简单随机抽样估计效果类似与考察简单随机抽样估计效果类似, ,小明也想通过多次抽样考察一小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果下分层随机抽样的估计效果. .他用比例分配的分层随机抽样方法，从高他用比例分配的分层随机抽
13、样方法，从高一年级的学生中抽取了一年级的学生中抽取了1010个样本量为个样本量为5050的样本的样本, ,计算出样本平均数如下计算出样本平均数如下表所示表所示, ,与上一小节与上一小节“探究探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较中相同样本量的简单随机抽样的结果比较, ,小明有了一个重要的发现小明有了一个重要的发现. .你是否也有所发现你是否也有所发现? ?抽样序号抽样序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010男生样本的平均数男生样本的平均数170.0170.0 170.7170.7 169.8169.8 171.7171.7 172.7172.7 171.9171.
14、9 171.6171.6 170.6170.6 172.6172.6 170.9170.9女生样本的平均数女生样本的平均数162.2162.2 160.3160.3 159.7159.7 158.1158.1 161.1161.1 158.4158.4 159.7159.7 160.0160.0 160.6160.6 160.2160.2总样本的平均数总样本的平均数165.8165.8 165.1165.1 164.3164.3 164.3164.3 166.4166.4 164.6164.6 165.2165.2 164.9164.9 166.1166.1 165.1165.1第九章第九章
15、统计统计第九章第九章 统计统计我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为5050的简单随机抽样的的简单随机抽样的平均数用下图形进行表示平均数用下图形进行表示, ,其中粉红线表示整个年级学生身高的平均数其中粉红线表示整个年级学生身高的平均数. .抽样序号抽样序号样本平均数样本平均数第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计抽样序号抽样序号样本平均数样本平均数 从试验结果看，分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机从试验结果看，分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样抽
16、样的结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样. .但相对而言，但相对而言，分层分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样中出现了一个，简单随机抽样中出现了一个( (第第2 2个个) )偏离偏离总体平均数的幅度比较大的样本平均数，即出现了比较总体平均数的幅度比较大的样本平均数，即出现了比较“极端极端”的样本，而分层随的样本，而分层随机抽样没有出现机抽样没有出现. .第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计思考思考1：分层随机抽样的总体具有什么特性？思考思考2：简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样
17、本；分层随机抽样区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体并且每一个个体属于且仅属于一个子总体联系：联系：(1)(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； (2) (2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样辨析：第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计1某林场
18、有树苗某林场有树苗30 000棵，其中松树苗棵，其中松树苗4 000棵为调查树苗棵为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的的样本，则样本中松树苗的数量为样本，则样本中松树苗的数量为() A30 B25 C20 D15C2某校高三年级有男生某校高三年级有男生500人，女生人，女生400人，为了解该年级学人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是人进行调查这种抽样方法是() A简单随机抽样简单随机抽样 B抽签法抽签法
19、C随机数表法随机数表法 D分层随机抽样分层随机抽样D第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计3. 某政府机关在编人员共某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部人，其中副处级以上干部10人，人，一般干部一般干部70人，工人人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适人，用下列哪种方法最合适() A抽签法法抽签法法 B随机数法随机数法 C简单随机抽样法简单随机抽样法 D分层随机抽样法分层随机抽样法D 总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法总体由差异明显的三部分构成，
20、应选用分层随机抽样法第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计4. 分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行个个体等可能抽样，必须进行()A每层等可能抽样每层等可能抽样B每层可以不等可能抽样每层可以不等可能抽样C所有层按同一抽样比等可能抽样所有层按同一抽样比等可能抽样D所有层抽取的个体数量相同所有层抽取的个体数量相同C 保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共保证每个个体等可能的被抽
21、取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取都按同一抽样比等可能抽取第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计5. 某学校有在职人员某学校有在职人员160人，其中行政人员有人，其中行政人员有16人，教师有人，教师有112人，后勤人员有人，后勤人员有32人教育部门为了了解在职人员对学校机构人教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程机抽样的方法抽取，写出抽样过程第九章第九章 统计统计第九章第九章 统计统计作业:
