1、10.2事件的相互独立性事件的相互独立性2021.6考点考点学习目标学习目标核心素核心素养养相互独立事件的概念相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义理解相互独立事件的概念及意义数学抽象数学抽象相互独立事件同时发相互独立事件同时发生的概率生的概率能记住相互独立事件概率的乘法公能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学运算、数学建模数学建模概率的基本性质性质1 对任意的事件A，都有P(A)0；性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P()=1，P()=0；
2、性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)；性质4 事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)1P(B)，P(B)1P(A)；性质5 如果AB，那么P(A) P(B)； 对于任意事件A，0 P(A)1；性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生. 因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢？试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”；分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现?用1表示硬币
3、“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为 =(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)，包含4个等可能的样本点， A=(1,1)，(1,0)，B=(1,0)，(0,0)，所以AB=(1,0)由古典概型概率计算公式，P(A)=P(B)=1 2，P(AB)=1 4，于是 P(AB)=P(A)P(B)积事件积事件AB的概率的概率P(AB)等于等于P(A)，P(B)的乘积的乘积.一、两个事件相互独立 设A，B两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件与事件B相相互独立互独立，简称独立 对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就
4、把它们叫做相互独立事件相互独立事件 P(AB)=P(A)P(B) 事件A与B相互独立.根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生 P(A)=P(A)=P(A)P()，P(A)=P()=P(A)P()成立因此，必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 若事件A与B相互独立， 那么它们的对立事件是否也相互独立？分别验证 是否独立？BA BA BA 与，与，与AB互斥，与，且【解析】因为BAABBAABA)()()(BAPABPAP 所以，)()()(BAPBPAP )(1)()()(
5、)()(BPAPBPAPAPBAP 所以，)()(BPAP 相互独立与由事件的独立性定义， BA 相互独立与、与类似地，可以证明事件BA BAB=AB ABA=AB AB例1 .一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独立？样本空间 =(m,n)|m,n1，2，3，4，mn，包含12个等可能样本点， A=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)， B=(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4
6、,2)，所以AB=(1,2)，(2,1)所以 P(A)=P(B)=6 12=1 2，P(AB)=2 12=1 6，此时 P(AB)P(A)P(B)，因此事件A与B不独立例2. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”, A=“甲脱靶”, B= “乙脱靶”, 由于 甲、乙射击互不影响，A与B相互独立，A与B ，A与B，A与B也相互独立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(
7、1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得 P(AB) =P(A)P(B) =0.80.9=0.72.(2)“恰好有一人中靶” =ABAB, 且AB与AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(ABAB) =P(AB)P(AB) =P(A)P(B)P(A)P(B) =0.80.1+0.20.9=0.26.(3)事件“两人都脱靶” =AB，所以 P(AB) =P(A)P(B)=(10.8) (10.9) =0.02.(4)方法1：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶，根据对立事件的性质得，事件“至少有一人中靶”的概率为 1P(AB) =10.02 =0. 98.
8、1求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生例3. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 3423分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.解
9、：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得 P(A1)=2 = 143438 P(A2)=( )2= ，34916 P(B1)=2 = ； P(B2)=( )2= .1323234949设A=“两轮活动星队猜对3个成语”，则 A=A1B2 A2B1，且A1B2与A2B1互斥，所以 P(A) = P(A1B2)P(A2B1) ； P(A) = P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)= = 3849499165121.假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令A“一个家庭中既有男孩又有女孩”
10、，B“一个家庭中最多有一个女孩”对下述两种情形，判断A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩(2)家庭中有三个小孩(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个样本点，由等可能性知概率都为这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，此时P(AB)P(A)P(B)，所以事件A与事件B不独立(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)这时A中含有6个样本点，B中含有4
11、个样本点，AB中含有3个样本点从而事件A与事件B相互独立2.面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是 、 、 ，求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率151413令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A、B、C相互独立，(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故(2)他们都失败即事件A、B、C同时发生P(ABC)P(A)P(B)P(C)1P(A)1P(B)1P(C)(3)“他们能研制出疫苗”的对立
12、事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率1求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件各个事件是相互独立的，而且它们同时发生3有三种产品，合格率分别为0.9,0.85,0.85，各抽取一件进行检验，求：(1)恰有一件不合格品的概率；(2)至少有两件不合格品的概率记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为A、B、C，P(A)0.9，P(B)0.85，P(C)0.85.(1)“恰有一件不合格品”的事件有ABC，ABC，ABC三种情况，其概率为PP(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)0.10.850.850.90.150.850.90.850.150.302.(2)至少有两件不合格品的概率为PP(ABCABCABCABC)(10.9)(10.85)(10.85)2(10.9)(10.85)0.850.90.150.150.048.
