1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册10.1随机事件与概率随机事件与概率 10.1.3古典概型古典概型事件的关系或运事件的关系或运算算含义含义符号表示符号表示包含包含A发生导致发生导致B发生发生AB并事件并事件(和事件和事件)A与与B至少一个发生至少一个发生AUB或或A+B交事件交事件(积事件积事件)A与与B同时发生同时发生AB或或AB互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B不能同时发生不能同时发生AB=互为对立互为对立A与与B有且仅有一个发生有且仅有一个发生 AB=,AUB=事件的关系与运算事件的关系与运算温故知新温故知新 研究随机现象研究随机现象, ,最重要的是知道随机事件发生的
2、最重要的是知道随机事件发生的可能性大小可能性大小. . 对随机事件发生可能性大小的度量对随机事件发生可能性大小的度量( (数值数值) )称为事称为事件的件的概率概率. .事件事件A的概率记为的概率记为: P(A) 我们知道，通过我们知道，通过试验和观察试验和观察的方法可以得到一的方法可以得到一些事件的些事件的概率估计概率估计，但这种方法耗时多，而且得到，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。能否通过建立适当的数学模的仅是概率的近似值。能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？型，直接计算随机事件的概率呢？探究新知探究新知 思考：思考： 在在10.1.110.1.1节节, ,
3、我们讨论过彩票摇号试验、抛我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验验. .它们的共同特征有哪些它们的共同特征有哪些? ?共同特征共同特征： (1)(1)有限性：有限性：样本空间的样本点只有有限个样本空间的样本点只有有限个; ; (2)(2)等可能性：等可能性：每个样本点发生的可能性相等。每个样本点发生的可能性相等。 考察这些试验的共同特征考察这些试验的共同特征, ,就是要看它们的样本点及就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性样本空间有哪些共性. .可以发现，它们具有如下可以发现，它们具有如下 我们将具有以上两个特征的
4、试验称为我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验古典概型试验, ,其数学模型称为其数学模型称为古典概率模型，古典概率模型，简称简称古典概型古典概型. .探究新知探究新知 课堂探究课堂探究 思考：思考：考虑下面两个随机试验考虑下面两个随机试验, ,如何度量事件如何度量事件A A和和B B发发生的可能性大小生的可能性大小? ?(1)(1)一个班级中有一个班级中有1818名男生、名男生、2222名女生名女生. .采用抽签的方采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件式，从中随机选择一名学生，事件A=“A=“抽到男生抽到男生”; ;(2)(2)抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币3 3次次
5、, ,事件事件B=“B=“恰好一次正恰好一次正面朝上面朝上”189=402038引入新知引入新知 一般地，设试验一般地，设试验E E是古典概型，样本空间是古典概型，样本空间包含包含n n个样本点，事件个样本点，事件A A包含其中的包含其中的k k个样本点，则定义个样本点，则定义事件事件A A的概率的概率.)()()(nAnnkAP其中，其中， 和和 分别表示事件分别表示事件A A和样本空间和样本空间 包含包含的样本点个数。的样本点个数。( )n A()n 课堂典例课堂典例 例例7 7、单选题是标准化考试的常用题型，一般是从单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A A、B B、C C、D D四个
6、选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案；假设考生不会做，的内容，就能选择唯一正确的答案；假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？()1()()4n MP Mn 课堂探究课堂探究 思考：思考：在标准化的考试中也有多选题，多选题是从在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A A、B B、C C、D D四个选项中选出所有正确答案（四个选项中四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有一个选项是正确的），你认为单选题和多选题至少有一个选项是正确的），你认为单选题和多
7、选题哪种更难选对？为什么？哪种更难选对？为什么？正确答案的所有可能的结果：正确答案的所有可能的结果：(1)(1)如果只有一个正确答案是对的，则有如果只有一个正确答案是对的，则有4 4种；种；(2)(2)如果有两个答案是正确的，则正确答案可以是如果有两个答案是正确的，则正确答案可以是ABAB，ACAC，ADAD，BCBC，BDBD，CDCD，共，共6 6种种(3)(3)如果有三个答案是正确的，则正确答案可以是如果有三个答案是正确的，则正确答案可以是ABCABC，ABDABD，ACDACD，BCDBCD，共，共4 4种种(4)(4)所有四个都正确，则正确答案只有所有四个都正确，则正确答案只有1 1
8、种。种。 正确答案的所有可能结果有正确答案的所有可能结果有4 46 64 41 11515种，从这种，从这1515种种答案中任选一种的可能性只有答案中任选一种的可能性只有1/151/15，因此更难猜对。，因此更难猜对。课堂典例课堂典例 例例8 8 抛掷两枚质地均匀的骰子抛掷两枚质地均匀的骰子( (标记为标记为号和号和号号),),观察观察两枚骰子两枚骰子 分别可能出现的基本结果分别可能出现的基本结果. . (1) (1)写出此试验的样本空间写出此试验的样本空间, ,并判断这个试验是否为并判断这个试验是否为古典概型；古典概型； (2)(2)求下列事件的概率：求下列事件的概率： A=“A=“两个点数
9、之和是两个点数之和是5”5”； B=“B=“两个点数相等两个点数相等”； C=“C=“号骰子的点数大于号骰子的点数大于号骰子的点数号骰子的点数”. .解：（解：（1 1）样本空间）样本空间=(m=(m，n)|mn)|m，n1,2,3,4,5,6.n1,2,3,4,5,6.共有共有3636个样本点个样本点. .课堂典例课堂典例 例例8 8、抛掷两枚质地均匀的骰子抛掷两枚质地均匀的骰子( (标记为标记为号和号和号号),),观观察两枚骰子分别可能出现的基本结果察两枚骰子分别可能出现的基本结果. .(2)(2)求下列事件的概率：求下列事件的概率： A=“A=“两个点数之和是两个点数之和是5”5”； B
10、=“B=“两个点数相等两个点数相等”； C=“C=“号骰子的点数大于号骰子的点数大于号骰子的点数号骰子的点数”. .()41()()369n AP An ()61()()364n BP Bn ()155()()3612n CP Cn 课堂探究课堂探究 思考：思考：在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号? ?如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况? ?你能解你能解释其中的原因吗释其中的原因吗? ? 如果不给两枚骰子标记号如果不给两枚骰子标记号, ,则不能区分所抛掷出的两则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的
11、结果是个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1 1点和点和2 2点点, ,有可能第一枚骰子的结果是有可能第一枚骰子的结果是1 1点，也有可能第二枚骰子的点，也有可能第二枚骰子的结果是结果是1 1点点. . 这样，这样，(1,2)(1,2)和和(2,1)(2,1)的结果将无法区别的结果将无法区别. . 当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间1 1=(m=(m，n)|m,n1,2,3,4,5,6,n)|m,n1,2,3,4,5,6,且且mnmn，则，则n(n(1 1)=21. )=21. 其中，其中，事件事件A =“A =“两个点数之和是两个点数之和是5”5
12、”的结果变为的结果变为A=(1,4),(2,3)A=(1,4),(2,3)，这时，这时2()21P A 课堂探究课堂探究 思考：思考：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢结果呢? ?可以发现，可以发现，3636个结果都是等可能的个结果都是等可能的; ;而合并为而合并为2121个个可能结果时，可能结果时，(1,1)(1,1)和和(1,2)(1,2)发生的可能性大小不等发生的可能性大小不等, ,这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，计算概率，因此因此 是错误的。是错误的。2( )21P A
13、 归纳总结归纳总结 归纳：求解古典概型问题的一般思路归纳：求解古典概型问题的一般思路: :(1)(1)明确试验的条件及要观察的结果明确试验的条件及要观察的结果, ,用适当的符号用适当的符号( (字母、数字、数组等字母、数字、数组等) )表示试验的可能结果表示试验的可能结果( (借助图借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果) )；(2)(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；根据实际问题情境判断样本点的等可能性；(3)(3)计算样本点总个数及事件计算样本点总个数及事件A A包含的样本点个数，包含的样本点个数，求出事件求出事件A A的概率的概
14、率. .课堂典例课堂典例 例例9 9 袋子中有袋子中有5 5个大小质地完全相同的球个大小质地完全相同的球, ,其中其中2 2个红球、个红球、3 3个黄球，从中不放回地依次随机摸出个黄球，从中不放回地依次随机摸出2 2个球，求下列事件个球，求下列事件的概率的概率: : (1)A =“ (1)A =“第一次摸到红球第一次摸到红球”； (2)B=“(2)B=“第二次摸到红球第二次摸到红球”； (3)AB =“(3)AB =“两次都摸到红球两次都摸到红球”. .解：将两个红球编号为解：将两个红球编号为1 1、2 2，三个黄球编号为，三个黄球编号为3 3、4 4、5. 5. 第一次摸球时有第一次摸球时有
15、5 5种等可能的结果，对应第一次摸球的每种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有个可能结果，第二次摸球时有4 4种等可能的结果种等可能的结果. . 将两次将两次摸球的结果配对，组成摸球的结果配对，组成2020种等可能的结果，用下表表示种等可能的结果，用下表表示. .课堂典例课堂典例 第一次第一次第二次第二次1 12 23 34 45 51 1(1,2)(1,2)(1,3)(1,3)(1,4)(1,4)(1,5)(1,5)2 2(2,1)(2,1)(2,3)(2,3)(2,4)(2,4)(2,5)(2,5)3 3(3,1)(3,1)(3,2)(3,2)(3,4)(3,4)(3
16、,5)(3,5)4 4(4,1)(4,1)(4,2)(4,2)(4,3)(4,3)(4,5)(4,5)5 5(5,1)(5,1)(5,2)(5,2)(5,3)(5,3)(5,4)(5,4)82(1) ( )205P A 82(2) ( )205P B 21(3) ()2010P AB 如果同时摸出如果同时摸出2 2个球个球, ,那么事件那么事件ABAB的概率是多少的概率是多少? ?课堂典例课堂典例 例例10:10:从两名男生从两名男生( (记为记为B B1 1和和B B2 2) )、两名女生（记为、两名女生（记为G G1 1和和G G2 2） 中任意抽取两人中任意抽取两人. . (1) (1)
17、分别写出有放回简单随机抽样分别写出有放回简单随机抽样, ,不放回简单随机抽不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间样和按性别等比例分层抽样的样本空间. . (2) (2)在三种抽样方式下在三种抽样方式下, ,分别计算抽到的两人都是男生分别计算抽到的两人都是男生的概率的概率. .课堂典例课堂典例 解解: :设第一次抽取的人记为设第一次抽取的人记为X X1 1第二次抽取的人记为第二次抽取的人记为X X2 2, ,则可则可用数组（用数组（X X1 1,X,X2 2）表示样本点）表示样本点. .(1)(1)根据相应的抽样方法可知：根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间有放回简单
18、随机抽样的样本空间 1= （B1,B1）,（B1,B2）, （B1,G1）, （B1,G2）, （B2,B1）,（B2,B2）, （B2,G1）, （B2,G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G1）, （G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1）, （G2,G2）不放回简单随机抽样的样本空间不放回简单随机抽样的样本空间 2= （B1,B2）,（B1,G1）,（B1,G2）, （B2,B1）, （B2,G1）,（B2,G2）, （G1,B1）,（G1,B2）,（G1,G2）, （G2,B1）,（G2,B2）,（G2,G1）按性别按性别等比例分层抽样等比例分层抽样
19、，先从男生中抽取一人，再从先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间：女生中抽取一人，其样本空间： 3= (B1,G1),(B1,G2), (B2,G1), (B2,G2). 41164P A 对于有放回简单随机抽样,A=(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2) 且这是古典概型,因此 (2)设事件A=“抽到两名男生”，则 21126P A 对于不放回简单随机抽样，A=(B1,B2), （B2,B1）, 且这是古典概型,因此 按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以 A=?，因此 P(A)=0.课堂典例课堂典例 (1)(1)有限性有限性：样本空间的样本点只有有限个；：样本空间的样本点只有有限个；(2)(2)等可能性等可能性：每个样本点发生的可能性相等：每个样本点发生的可能性相等. .1.1.古典概型的特征：古典概型的特征：2.2.古典概型的概率：古典概型的概率： 一般地，设试验一般地，设试验E E是古典概型，样本空间是古典概型，样本空间包含包含n n个样本点，事件个样本点，事件A A包含其中的包含其中的k k个样本点，则定义个样本点，则定义事件事件A A的概率的概率 P(A)=P(A)=k kn n( (A A) )= =n nn n( ( ) )课堂小结课堂小结
