1、6.4.3.1余弦定理在直角三角形中，有222cba对于一个直角三角形来说，它的斜边的平方等于两直角边的平方和。那么对于任一三角形来说，是否也可以根据任一两边和它们的夹角，求出夹角的对边呢？ACBcba如图，过如图，过C作作CD垂直垂直AB于于D，则，则CABDb已知两边b ,c及夹角A，求三角形的a.cbCosAcbaabCosAcbSinAaBCBDCDbCosAcADcBDbCosAADbSinACD2,2222222222ca若为钝角三角形（角A是钝角），ABCabcD则高CD在三角形的外部cbCosAcbabCosAcbSinaa2)(222222222)()()(BCABDACDb
2、CosAAbCosADbSinAAbSinCD若角若角A是直角，是直角，CABbca则高CD为AC边Abccbabccbcbacos290cos2222022222C点的坐标为点的坐标为( )AbAbsin,cosxyB(c,0)Cbc如图，以点A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系A)sin,cos(AbAba(0,0)由两点距离公式知：AcbbcaaBCAbAbcBCcos2)sin0 ()cos(22222CBAcabAbccbacos2222向量法向量法： 若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C， a, b, a, b,求边求边 c. c.cABbCAaC
3、B,设设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得由向量减法的三角形法则得Cbabacos222baca2=b2+c22bccosAb2= a2+c22accosBc2 =a2+ b22abcosC余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦的积的两倍。cosA= cosB= cosC= abcba2222acbcabcacb22222222余弦定理推论：余弦定理推论：的值求边中，已知、在例aAcb,
4、30, 32, 3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a330cos323232322C CA AB Ba ab bc c_,60, 1, 31aAcb则、若_AC,43cos1BC2ABABC2则，中，、在C72变式：C CB BA Ab ba ac c_,60, 1, 31aAcb则、若_AC,43cos1BC2ABABC2则，中，、在C例例2 2、在、在ABCABC中，已知中，已知a= ,b=2,c= , a= ,b=2,c= , 解三角形。解三角形。解：由余弦定理得解：由余弦定理得22222223161222 231()()cos()bcaAbc 60A45B1801
5、80604575CAB 63122) 13(622) 13()6(2cos222222acbcaB_, 2, 1, 3. 1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60._,. 2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：C CB BA Ab ba ac c_, 2, 1, 3. 1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60._,. 2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形 从余弦定理和余弦函数的性质你能推出什么结论吗?（1）若）若A为直角，
6、则为直角，则a=b+c（2）若）若A为锐角，则为锐角，则ab+c由由a2=b2+c22bccosA可得可得 可见，余弦定理可以看作是勾股定理的推可见，余弦定理可以看作是勾股定理的推广，或者说勾股定理是余弦定理的特例广，或者说勾股定理是余弦定理的特例.例例3 3三角形三边长分别为三角形三边长分别为4,6,84,6,8，则此三角形为（，则此三角形为（ ）、钝角三角形、钝角三角形 、直角三角形、直角三角形、锐角三角形、锐角三角形 、不能确定、不能确定A A 在 中， 判断 的形状。ABCABC,coscosBbAa解：acosA=bcosB由余弦定理得：0)(2222222222222bacbaac
7、bcabbcacba角形。为等腰三角形或直角三或或ABCbacbacacba, 022222222变式：当堂训练1.已知已知b=8,c=3,A= 60，求，求a.a = b+c2bccosA = 64+9283cos 60 = 49， a = 7.2，在，在 ABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形解三角形.（角度精确到（角度精确到1）解：由余弦定理的推论得解：由余弦定理的推论得,5543. 07 .1618 .8726 .1347 .1618 .872cos222222bcacbAA5620;,8398. 07 .1616 .13428 .87
8、7 .1616 .1342cos222222cabacBB3253；C= 180（A+B） 180（ 5620+3253 ）9047.,600 (1)已知b=8, c=3, A= 求a；（2）已知a=20, b=29, c=21, 求B；（3)已知a= 求b;（4）已知a=2, 求A。3.在三角形ABC中：,150, 2, 330Bc, 13,2cb; 74960cos38238022a解:(1)Abccbacos22220212022921202cos) 2(222222acbcaB090B.45)4( ;7)3(0Ab二.三种证明方法的比较：几何法：通过作高，把一般三角形转化为直角三 角形求证（化一般为特殊）解析法：通过建立直角坐标系，把几何问题用代数的方 法解决（几何问题代数化）向量法：通过向量的知识来证明。一、余弦定理：
