1、6.2.3向量的数乘运算 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们的长度和方向是怎样的？一、向量数乘的定义探究1aOAaaa=OA aaa=3a-a-a-a-aPB=PB aaa=-3a3a的方向与a的方向相同， 3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|3a的方向与a的方向相反，3a的长度是a的长度的3倍.一、向量数乘的定义定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作a它的长度和方向规定如下：（1） |a|=|a|（2）当0时，a的方向与 a方向相同； 当
2、0时，a的方向与a方向相反；特别地，当=0或a=0时，a =0一、向量数乘的定义 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？ 向量a，b之间的关系怎样？思考 b=3.5 a 数乘向量的几何意义 aa 把向量 沿着 的方向或反方向长度放大或缩小 二、数乘向量的运算律（1）(a)=()a （2）(+)a=a+a （3）(a+b)=a+b运算律：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有： 特别地，()a(a)(a)，(ab)ab.向量的加法、减法和向量的数乘运算称为向量的线性运算1a2b三、巩固新知例1.计算：34322332();()();()().(1)(2
3、)(3)aababaabcabc 巩固练习：P16 2题, ,.ABCDMABaADba bMA MB MCMD 例2.如图,的两条对角线相交于点且用表示和三、巩固新知M MD CD CabM MA B A B D CD CbM MD CD Cb巩固练习：P15 第 2、3题1122AMACab 1122MBDBab 12MCMAab 12MDMBab 四、向量共线定理探究2如果ba(a0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数，使得ba(a0)?对于向量a(a0)、b，如果有一个实数，使得b=a，那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线若向量a与b共
4、线，且向量b的长度是a的长度的倍，即有|b|=|a|，且当a与b同方向时，有b=a；当a与b反方向时，有b=-a。所以，始终有一个实数，使b=a向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使b=a例3 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作 =a+b， =a+2b， =a+3b猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想OA OB OCabOabAbbBC四、向量共线定理证明：分别作向量 ， ， ，过点A，C作直线AC观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线事实上，因为所以 因此，A，B，C三点共线O A O B O C2()3()2A BO
5、 BO AA CO CO A ，ababbababb2A CA B 四、向量共线定理例4 已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta， 共线，求实数t的值1322ab解：由a，b不共线，易知向量 为非零向量由向量bta， 共线，可知存在实数，使得bta=( )，即 由a，b不共线，必有 否则不妨设 ，则 由两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛盾 由 解得1322ab1322ab1322ab13122tab131=022t102t31212tab1=0231=02t，1=3t四、向量共线定理四、向量共线定理设a，b是不共线的两个向量.A，B，C三点共线.练习(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值.四、向量共线定理解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0，解得2，k24.三、课堂小结
