1、6.3.56.3.5平面向量数量积坐标表示平面向量数量积坐标表示第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用复习引入平平面面向量的数量积向量的数量积(内积内积)的的定义定义2(1)cos(2)0;cos.或； a baba aaaa aaba ba bab思考我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用和 的坐标表示呢？aba b如图， 是x轴上的单位向量， 是y轴上的单位量，ijcosbabax ijy o B(x2,y2) abA(x1,y1) iijjijji . . . 1 1 0 设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),ab1122,ax iy j
2、bx iy j1122221 21 22 11 21 21 2() ()a bxi y jx i y jxx ixy i j x yi j yy jxxyy 探究：已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用a与b的坐标表示ab?故两个向量的数量积等于它们对应坐两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。标的乘积的和。 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayx
3、byxa，其中则，夹角为与且（设例1 1 已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)， 试判断 ABCABC的形状，证明你的猜想. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形:(2 1,32)(1,1)AB 证明) 3 , 3()25 , 12(AC031) 3(1ACABACAB 思考：还有其思考：还有其他证明方法吗？他证明方法吗？向量的数量积向量的数量积是否为零是否为零, ,是判是判断相应的两条断相应的两条线段或直线是线段或直线是否垂直的重要否垂直的重要方法之一方法之一(1)向量的模设( , ),ax y则22222,axyaxy
4、或a表示 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ， ),(),(2211yxyxa),(1212yyxx |a212212)()yyxx（2）设 ，则),(),(2211yxbyxa ba02121yyxx 设 是两个非零向量，其夹角为，若 那么cos如何用坐 标表示？ ,a b 1122(,),(,)axybxycosa ba b 121222221122x xy yxyxy解ab = 5(-6)+(-7) (-4) = -30+28 = -2,747522a5246 22b03. 052742cos92用计算器可得).1(),4, 6( ),75,( o精确到间的夹角、及求设bababa例2
5、.例3.用向量方法证明两角差的余弦公式sinsincoscos)cos(证明：角 的终边与单位圆的交点分别为A，B。则，)sin,(cos),sin,(cosOBOA则sinsincoscosOBOA设 的夹角为 ，则OBOA与coscos|OBOAOBOA所以，sinsincoscoscos例3.用向量方法证明两角差的余弦公式sinsincoscos)cos(于是，另一方面，如图（1）可知， k2另一方面，如图（2）可知， k2于是，Zkk,2所以，cos)cos(sinsincoscos)cos(达标检测随堂练习、理解各公式的正向及逆向运用；、数量积的运算转化为向量的坐标运算；、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。本章小结
