1、20212021 年北京年北京中考数学中考数学试题及答案试题及答案 一、选择题一、选择题( (共共 1616 分，每题分，每题 2 2 分分) )第第 1 1- -8 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A长方体 B圆柱 C圆锥 D三棱柱 2党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件” 1012 1012 1011 1010 3如图，点O在直线AB上，OCOD若AOC120，则BOD的大小为（ ） A30 B
2、40 C50 D60 4下列多边形中，内角和最大的是（ ） A B C D 5实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） Aa2 B|a|b Ca+b0 Dba0 6 同时抛掷两枚质地均匀的硬币， 则一枚硬币正面向上、 一枚硬币反面向上的概率是 （ ） A B C D 7已知 4321849，4421936，4522025，4622116若n为整数且nn+1，则n的值为（ ） A43 B44 C45 D46 8如图，用绳子围成周长为 10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x
3、满足的函数关系分别是（ ） A一次函数关系，二次函数关系 B反比例函数关系，二次函数关系 C一次函数关系，反比例函数关系 D反比例函数关系，一次函数关系 二、填空题二、填空题( (共共 1616 分，每题分，每题 2 2 分分) ) 9若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 10分解因式：5x25y2 11方程的解为 12在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y（k0）的图象经过点A（1，2）和点B（1，m） ，则m的值为 13如图，PA，PB是O的切线，A，B是切点若P50，则AOB 14如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AFEC只需添加一个条件即可证明四边形AECF是
4、菱形，这个条件可以是 （写出一个即可） 15有甲、乙两组数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2（填“” ， “”或“” ） 16某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时第一天，该企业将 5 吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了
5、 5 吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 三、解答题（共三、解答题（共 6868 分，第分，第 1717- -2020 题，每题题，每题 5 5 分，第分，第 2121- -2222 题，每题题，每题 6 6 分，第分，第 2323 题题 5 5 分，分，第第 2424 题题 6 6 分，第分，第 2525 题题 5 5 分，第分，第 2626 题题 6 6 分，第分，第 2727- -2828 题，每题题，每题 7 7 分）解答应写出文字说明、分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明
6、过程。演算步骤或证明过程。 17计算：2sin60+|5|（+）0 18解不等式组： 19已知a2+2b210，求代数式（ab）2+b（2a+b）的值 20 淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆， 在地面上沿着杆的影子的方向取一点B， 使B，A两点间的距离为 10 步 （步是古代的一种长度单位） ，在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为 10 步，在点C处立一根杆取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向 （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示使用直尺和圆规
7、，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹） ； （2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明 证明：在ABC中，BA ，D是CA的中点， CADB（ ） （填推理的依据） 直线DB表示的方向为东西方向， 直线CA表示的方向为南北方向 21已知关于x的一元二次方程x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求m的值 22如图，在四边形ABCD中，ACBCAD90，点E在BC上，AEDC，EFAB，垂足为F （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）
8、若AE平分BAC，BE5，cosB，求BF和AD的长 23在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b（k0）的图象由函数yx的图象向下平移 1 个单位长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x2 时，对于x的每一个值，函数ymx（m0）的值大于一次函数ykx+b的值，直接写出m的取值范围 24如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，ADBC于点E （1）求证：BADCAD； （2）连接BO并延长，交AC于点F，交O于点G，连接GC若O的半径为 5，OE3，求GC和OF的长 25为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政
9、企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6x8，8x10，10 x12，12x14，14x16） ： b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10 x12 这一组的是： c甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 m 乙城市 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于
10、它们的平均收入的邮政企业的个数为p2比较p1，p2的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果） 26在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线yax2+bx（a0）上 （1）若m3，n15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（1，y1） ， （2，y2） ， （4，y3）在该抛物线上若mn0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由 27如图，在ABC中，ABAC，BAC，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转 得到线段AE，连接BE，DE （1）比较BAE与CAD的大小；用等式表
11、示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明； （2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明 28在平面直角坐标系xOy中，O的半径为 1对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到O的弦BC（B，C分别是B，C的对应点） ，则称线段BC是O的以点A为中心的“关联线段” （1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数在线段B1C1，B2C2，B3C3中，O的以点A为中心的“关联线段”是 ； （2）ABC是边长为 1 的等边三角形，点A（0，t） ，其中t0若BC是O的以点A为中心的“关联线段” ，求t的值； （
12、3）在ABC中，AB1，AC2若BC是O的以点A为中心的“关联线段” ，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长 参考答案： 1. 【答案】B 2. 【答案】C 3. 【答案】A 4. 【答案】D 5. 【答案】B 6. 【答案】C 7. 【答案】B 8. 【答案】A 9. 【答案】7x 【详解】解：由题意得： 70 x， 解得：7x ； 故答案为7x 10. 【答案】()()5 xyxy+ 【详解】解：()()()22225555xyxyxyxy=+； 故答案为()()5 xyxy+ 11. 【答案】3x = 【详解】解：213xx=+ 23xx=+， 3x =， 经检验：3x =是原
13、方程解 故答案为：x=3 12. 【答案】2 【详解】解：把点()1,2A代入反比例函数()0kykx=得：2k =， 12m =，解得：2m = ， 故答案为-2 13. 【答案】130 【详解】解：,PA PB是O的切线， 90= =PAOPBO， 由四边形内角和可得：180AOBP+=， 50P=， 130AOB=； 故答案为 130 14. 【答案】AFAE=（答案不唯一） 【详解】解：四边形ABCD是矩形， /AD BC， AFEC=， 四边形AECF是平行四边形， 若要添加一个条件使其为菱形，则可添加AFAE=或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱
14、形； 故答案为AFAE=（答案不唯一） 15. 【答案】 【详解】解：由题意得： 11 12 13 14 15135x+=甲，12 12 13 14 14135x+=乙， ()()()()()22222211 1312 1313 1314 1315 1325s+=甲， ()()()()()22222212 1312 1313 1314 1314 13455s+=乙， 425， 22ss乙甲； 故答案为 16. 【答案】 . 23 . 12 【详解】解：设分配到A生产线吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得： ()412 53xx+ =+，解得：2x =， 分配到B生产线的
15、吨数为 5-2=3（吨） ， 分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 23； 第二天开工时，给A生产线分配了()2m+吨原材料，给B生产线分配了()3n+吨原材料， 加工时间相同， ()()4 212 33mn+ =+， 解得：12mn=， 12mn=； 故答案为2:3，12 17. 【答案】3 34+ 【详解】解：原式=322 35 13 342+ =+ 18. 【答案】24x 【详解】解：451342xxxx+ 由可得：2x ， 由可得：4x ， 原不等式组的解集为24x 19. 【答案】1 【详解】解：()()22+abbab =22222aabbabb+ =222ab+， 2
16、2210ab+ =， 2221ab+=， 代入原式得：原式=1 20. 【答案】 （1）图见详解； （2）BC，等腰三角形的三线合一 【详解】解： （1）如图所示： （2）证明：在ABC中，BABC=，D是CA的中点， CADB（等腰三角形的三线合一） （填推理的依据） 直线DB表示的方向为东西方向， 直线CA表示的方向为南北方向； 故答案为BC，等腰三角形的三线合一 【点睛】 本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质， 熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键 21. 【答案】 （1）见详解； （2）1m = 【详解】 （1）证明：由题意得：21,4 ,3abm
17、cm= =， 22224164 1 34bacmmm = =， 20m ， 240m =， 该方程总有两个实数根； （2）解：设关于x的一元二次方程22430 xmxm+=的两实数根为12,x x，则有：212124 ,3xxm xxm+=， 122xx=， ()()2222121212416124xxxxx xmm=+=， 解得：1m = ， 0m ， 1m = 22. 【答案】 （1）见详解； （2）4BF =，3AD = 【详解】 （1）证明：90ACBCAD= =， ADCE， /AE DC， 四边形AECD是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形， CEAD=
18、， EFAB，AE平分BAC，90ACB=， EFCE=， EF=CE=AD， 45,cos5BEB=， 4cos545BFBEB= =， 223EFBEBF=， 3ADEF= 23. 【答案】 （1）112yx=； （2）112m 【详解】解： （1）由一次函数()0ykxb k=+图象由函数12yx=的图象向下平移 1 个单位长度得到可得：一次函数的解析式为112yx=； （2）由题意可先假设函数()0ymx m=与一次函数ykxb=+的交点横坐标为2，则由（1）可得： ()12212m= ，解得：1m =， 函数图象如图所示： 当2x 时，对于x的每一个值，函数()0ymx m=的值大于
19、一次函数ykxb=+的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当12m =时，符合题意，当12m 时，则函数()0ymx m=与一次函数ykxb=+的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述：112m 24. 【答案】 （1）见详解； （2）6GC =，2511OF = 【详解】 （1）证明：AD是O的直径，ADBC， BDCD=， BADCAD= ； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可得点E为BC的中点， 点O是BG的中点， 1,/2OECG OE CG=， AOFCGF， OAOFCGGF=， 3OE =， 6CG =， O的半径为 5， 5OAOG=， 56OFGF=，
20、5251111OFOG= 25. 【答案】 （1）10.1m =； （2）12pp，理由见详解； （3）乙城市的邮政企业 4 月份的总收入为 2200 百万元 【详解】解： （1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有 25 家邮政企业，所以第 13家邮政企业的收入作为该数据的中位数， 68x有 3 家，810 x有 7 家，1012x有 8 家， 中位数落在1012x上， 10.1m =； （2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则1p最大12 个；乙城市中位数高于平均数，则2p至少为 13 个， 12pp； （3）由题意得： 200 112200=（百万元） ； 答：乙城市的邮政企业
21、 4 月份的总收入为 2200 百万元 26. 【答案】 （1）1x = ； （2）213yyy，理由见解析 【详解】解： （1）当3,15mn=时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20yaxbx a=+得： 39315abab+=+=，解得：12ab=， 抛物线解析式为22yxx=+， 抛物线的对称轴为12bxa= = ； （2）由题意得：抛物线()20yaxbx a=+始终过定点()0,0，则由0mn 可得： 当0,0mn时，由抛物线()20yaxbx a=+始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a ，与0a 矛盾； 当0,0mn时， 抛物线()20yaxbx
22、 a=+始终过定点()0,0， 此时抛物线的对称轴的范围为1322x， 点() () ()1231, 2, 4,yyy在该抛物线上， 它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()35 13 571,2,422 22 22xxx ， 0a ，开口向上， 由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， 213yyy 27. 【答案】 （1）BAECAD= ，BMBEMD=+，理由见详解； （2）DNEN=，理由见详解 【详解】 （1）证明：BACEAD= =， BAEBADBADCAD+= +=， BAECAD= ， 由旋转的性质可得AEAD=， ABAC=， ()ABEACD SAS， BECD=， 点M为B
23、C的中点， BMCM=， CMMDCDMDBE=+=+， BMBEMD=+； （2）证明：DNEN=，理由如下： 过点E作EHAB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示： 90EQBHQB= =， 由（1）可得ABEACD， ABEACD= ，BECD=， ABAC=， ABCCABE= = ， BQBQ=， ()BQEBQH ASA， BHBECD=， MBMC=， HMDM=， MNAB， /MN EH， DMNDHE， 12DMDNDHDE=， DNEN= 28. 【答案】 （1）22B C； （2）3t = ； （3）当min1OA=时，此时3BC =；当max2OA=时，此时62BC
24、= 【详解】解： （1）由题意得： 通过观察图象可得：线段22B C能绕点A旋转 90得到O的“关联线段”，1133,BC B C都不能绕点A进行旋转得到； 故答案为22B C； （2）由题意可得：当BC是O的以点A为中心的“关联线段”时，则有AB C 是等边三角形，且边长也为 1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示： 设BC与y轴的交点为D，连接OB，易得B Cy 轴， 12B DDC=， 2232ODOBB D=，2232ADABB D=， 3OA =， 3t =； 当点A在y轴的正半轴上时，如图所示： 同理可得此时的3OA =， t3= ； （3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，
25、则可知,B C都在O上，且1,2ABABACAC=，则有当以B为圆心，1 为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示： 由运动轨迹可得当点A也在O上时为最小，最小值为 1，此时AC为O的直径， 90AB C =， 30AC B =， cos303BCB CAC = =； 由以上情况可知当点,A B O三点共线时，OA 的值为最大，最大值为 2，如图所示： 连接,OC B C ，过点C作C POA 于点P， 1,2OCACOA=， 设OPx=，则有2APx=， 由勾股定理可得：22222C PACAPOCOP=，即()222221xx= ， 解得：14x =， 154C P =， 34B POBOP=， 在Rt B PC中，2262B CB PC P =+=， 62BC =； 综上所述：当min1OA=时，此时3BC =；当max2OA=时，此时62BC =
