1、伺服系统工程建模方法伺服系统工程建模方法 概述概述 几种典型环节的动态特性几种典型环节的动态特性 控制对象的机理建模方法控制对象的机理建模方法 时域法建模时域法建模 频域法建模频域法建模 相关分析法建模相关分析法建模 举例举例概概 述述 数学模型数学模型 用数学表示描述的系统各变量之间的相互关系；用数学表示描述的系统各变量之间的相互关系； 建立系统的数学模型是设计的基础；建立系统的数学模型是设计的基础； 反映系统的动态性能，改善性能的前提。反映系统的动态性能，改善性能的前提。 建模方法建模方法 两种方法：机理建模、实验建模两种方法：机理建模、实验建模 机理建模：机理建模：根据物理规律或化学规律
2、列写变量间相互关系。根据物理规律或化学规律列写变量间相互关系。(基尔霍夫定律、欧姆定律，牛顿定律，热力学定律等基尔霍夫定律、欧姆定律，牛顿定律，热力学定律等) 描述形式描述形式: 微分方程、状态方程、传递函数微分方程、状态方程、传递函数 实验建模：实验建模：系统施加一试验信号，测量系统的输入和输出数系统施加一试验信号，测量系统的输入和输出数据，对这些输入、输出数据进行分析和处理，求出一种数学表据，对这些输入、输出数据进行分析和处理，求出一种数学表示式，也称为系统辨识。示式，也称为系统辨识。 方法：时域法、频域法、相关分析法和参数估计。方法：时域法、频域法、相关分析法和参数估计。 几种典型环节的
3、动态特性几种典型环节的动态特性 工程中几种常用的传递函数工程中几种常用的传递函数自平衡对象自平衡对象 无自平衡对象无自平衡对象2222111321421sskGTskeGTskGTsTskeGTsTs、 一 阶 惯 性 环 节2、 纯 延 时 加 一 阶 惯 性 环 节、 二 阶 振 荡 环 节、 纯 延 时 加 二 阶 振 荡 环 节56(1)7(1)sskGT skGT s TskeGT skeGT s Ts、积分环节、积分环节加一阶惯性环节、积分环节加延时环节8、积分环节加惯性延时环节控制对象的机理建模方法控制对象的机理建模方法 一、非线性模型的线性化一、非线性模型的线性化 建立数学模型
4、，会遇到某些部件具有非线性特性。建立数学模型，会遇到某些部件具有非线性特性。 为了方为了方便分析、设计计算，需要作近似线性化处理。便分析、设计计算，需要作近似线性化处理。 线性化处理后得到的传递函数与实际系统性能的近似程度线性化处理后得到的传递函数与实际系统性能的近似程度要接近的。要接近的。 工程上采用的线性化法有切线法、割线法和直接拟合法工程上采用的线性化法有切线法、割线法和直接拟合法(最最小二乘法小二乘法)。割线法割线法 割线法通常根据系统运行的范围，割线法通常根据系统运行的范围，在对应的非线性特性上找两点，用通在对应的非线性特性上找两点，用通过这两点的直线来代替。过这两点的直线来代替。
5、如右图机械特性，它是非线性的特如右图机械特性，它是非线性的特性，需要对其特性作近似线性化处理，性，需要对其特性作近似线性化处理，就采用了割线法。就采用了割线法。nM 切线法切线法 切线法是在其工作点切线法是在其工作点(或称运行点或称运行点)处作切线，用此切线来近似处作切线，用此切线来近似代替非线性特性。如果非线性特性可用一方程表示，则在其工作代替非线性特性。如果非线性特性可用一方程表示，则在其工作点处用泰勒级数展开，保留一次项，忽略二次以上的高次项，便点处用泰勒级数展开，保留一次项，忽略二次以上的高次项，便得到一近似的直线方程。得到一近似的直线方程。 这种线性化办法对经常有稳定运行工作点的系统
6、是合适的。这种线性化办法对经常有稳定运行工作点的系统是合适的。 从机械特性可以看出，低速部分特从机械特性可以看出，低速部分特性很软，一般不适于低速运行。若系性很软，一般不适于低速运行。若系统经常工作时不人为地进行调速，负统经常工作时不人为地进行调速，负载力矩经常保持在载力矩经常保持在ML附近，则系统输附近，则系统输出转速亦将在出转速亦将在n1附近。为此可在运行附近。为此可在运行点点(ML，n1)用切线法近似线性化。用切线法近似线性化。MnMLn1 直线拟合法直线拟合法 直线拟合考虑系统运行在一定范围，其工作点不是一个，利直线拟合考虑系统运行在一定范围，其工作点不是一个，利用最小二乘法建立一直线
7、方程，近似拟合非线性特性，以保证在用最小二乘法建立一直线方程，近似拟合非线性特性，以保证在系统运行范围内拟合的误差平方和系统运行范围内拟合的误差平方和(方差方差)最小。最小。 滑差电机控制电压变化，系统运滑差电机控制电压变化，系统运行在行在a、b、c、d、e点，是一个区间，点，是一个区间， 分别作它们的切线，所得的斜率分别作它们的切线，所得的斜率彼此相差很大，需要用最小二乘法拟彼此相差很大，需要用最小二乘法拟合系数，使得在运行区域内线性近似合系数，使得在运行区域内线性近似的方差最小。的方差最小。 c点为经常工作点（点为经常工作点（nc、ML）。）。 nMn0MLabcde2jI1 jI3jI4
8、jI5jIedcbaaeLMLM301245102030405022jjjjjjjjjjjjjjjjIIIIIIiIIiIIiIIIIiIIi 令：，并设实测得到：； ML负载线与另四条机械特性交点：负载线与另四条机械特性交点：a (ML,nc+n2)、b(M L,nc+n3)、d(M L,nc-n4 )、e(ML,nc-n5) 和和 负载线与机械特性交点：负载线与机械特性交点：a(ML-M, nc+n6)， a(ML+M，nc+n7)b(ML-M, nc+n8)、 b(M L+M，nc+n9) c(ML-M, nc+n10)、 c(M L+M，nc-n11)d(ML-M, nc-n12)、
9、d(M L+M，nc-n13) e(ML-M, nc-n14) 、e(M L+M，nc-n15) LMLMp1234567点cabdeaaip02ii-i-2i2i2inp0n2n3-n4-n5n6n7Mp00000-MM89101112131415bbccddeeii00-i-i-2i-2in8n9n10-n11-n12-n13-n14-n15-MM-MM-MM-MM2( )( )( )375jjdMdMGDIsn ss n sdIdn 滑差电机切线数学模型121522121221212151515212111151515212111() ,0;0pppppppppppppppppppppp
10、pKiKnMKiKnMKKKKKiKiniMKinKnnM 列 写 增 量 式 方 程 ：其 方 差 为 ：求 其 关 于和极 值 ：有 ：1515152211115151112121222212221222( )( )( );375/( )( )1375pppppppppppppjjaibncindiMenMaKcKdcKbKebdecaedcKKabcabcGDK IsK n ss n sKKKKn sGDIssK 令：则:得：式中 二、控制对象的机理建模二、控制对象的机理建模 给出了给出了6个机理建模例子个机理建模例子 1.带载直流电动机的数学模型带载直流电动机的数学模型 含有减速装置和
11、负载含有减速装置和负载 2.直流力矩电机的传递函数直流力矩电机的传递函数 3.弹簧弹簧-质量质量-阻尼器机械系统阻尼器机械系统 力分析力分析 4.齿轮系的运动方程齿轮系的运动方程 传递关系传递关系 5. 速度控制系统的微分方程速度控制系统的微分方程 系统建模，各部分组合系统建模，各部分组合 6.利用元件铭牌数据和经验公式近似推导系统的传递函数利用元件铭牌数据和经验公式近似推导系统的传递函数 在稳态设计计算的基础上，利用所选元部件的技术数据，近似在稳态设计计算的基础上，利用所选元部件的技术数据，近似推导系统的传递函数。推导系统的传递函数。 时域法建模时域法建模 由飞升曲线确定一阶环节的参数由飞升
12、曲线确定一阶环节的参数 r(t)表示输入到环节的阶跃试验信号，表示输入到环节的阶跃试验信号，c(t)是环节的阶跃响应，是环节的阶跃响应，即飞升曲线。如果飞升曲线在即飞升曲线。如果飞升曲线在t=0处斜率不为零而为最大值，然处斜率不为零而为最大值，然后上升到稳态值后上升到稳态值c() ，则该环节的数学模型可用一阶惯性环节，则该环节的数学模型可用一阶惯性环节来近似。来近似。( )c t0.63 ()c ()c t0rT011( );( )1()()(1)( )1()ln1tTtTC sKKTR sTscKrc tcetc tcteTcctctTt确 定和由 微 分 方 程 ( )=标 么 值 :(
13、)=( )取( )=0.63,则 若实验飞升曲线是一条若实验飞升曲线是一条S型非周期曲线，则它的数学模型可用型非周期曲线，则它的数学模型可用一阶惯性环节与延时环节的组合来近似一阶惯性环节与延时环节的组合来近似 。( )c 0rt( )c t0.63 ( )c 0.39 ( )c 1t2t1201221122121122112( );( )1()011;12()ln1ln1ln1ln1ln1stTttTTC sKeKTR sTscKrtctetttttctectettTTttctcttcttctc 确 定、和标 么 值 :( )=选 两 个 时 刻和， 且有 :()=()=()()()()(12
14、122ln1tttct)() 由飞升曲线确定二阶非振荡环节的参数由飞升曲线确定二阶非振荡环节的参数()c t( )c tct( )10.74c4t7t若实验飞升曲线是一条若实验飞升曲线是一条S型非周期曲型非周期曲线，则它的数学模型可用二阶过阻线，则它的数学模型可用二阶过阻尼振荡环节或与延时环节的组合来尼振荡环节或与延时环节的组合来近似近似 。需确定。需确定,K T 的参数2222()()21()()21sCsKRsTsT sCsK eRsTsT s0747474()/ 3 ,:0 .1 9 10 .3 31102 .414 .2cKrctttcttTct在 特 殊 点 ：() = 0 . 7
15、，若 有()确 定 无 延 迟()关 系 图 见 书 P 1 1 0 页 图1如果满足如果满足40.191c t( )确定有延迟772227747474191,323112.410.112.4tc ttc ttttttTc ttTc t找出特殊点：( )=0.7，( )=0.则：若此时 ( )仍小于91，则有 =0( )图0.20.40.60.80.20.180.320.300.280.260.240.22 由飞升曲线确定二阶振荡环节的参数由飞升曲线确定二阶振荡环节的参数 若实验飞升曲线为衰减振荡曲线，若实验飞升曲线为衰减振荡曲线，其传递函数可以考虑用二阶环节来其传递函数可以考虑用二阶环节来近
16、似，近似，0 1欠阻尼情况。欠阻尼情况。 首先考虑无延迟的情况首先考虑无延迟的情况( )c t( )c 0rrtptc t( )1222220222( )( )212()( ),()1sin( 1arctan)1nnnntnC sKR sT sTsKsscc tKc trcec tt ( )=( )=1-2222/122222221arctan101,ln1arctan()1( )( )211rnpnpppnprspncttd cttd tctemmmttCsK eRsTsT st 令( ) = 1( )令() - 1 =令若 有 延 迟 ， 传 递 函 数 为 ：频域法建模频域法建模 通过实
17、验可以测得系统的频率特性。通过实验可以测得系统的频率特性。 首先测得系统的脉冲过渡函数首先测得系统的脉冲过渡函数,然后用快速离散付里叶变换然后用快速离散付里叶变换(FFT)算法，可间接求得系统的频率特性。算法，可间接求得系统的频率特性。 对于简单的情况，可以通过绘制幅相频率特性或对数频率对于简单的情况，可以通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统的传递函数。特性来确定系统的传递函数。 若系统的幅相频率特性近似于半若系统的幅相频率特性近似于半圆，则相应的传递函数可以用一阶圆，则相应的传递函数可以用一阶环节来近似。环节来近似。P()和和Q()分别表分别表示系统的实频和虚频特性，即示系统的实频和
18、虚频特性，即 G(j)=P(j)+jQ(j) ( )Q()k k()kA(0)r( )P0();1tan()(0),kkKGjKTTsKrT 确定和 如果幅相频率特性分布在两个角限内，则相应的传递函数可用如果幅相频率特性分布在两个角限内，则相应的传递函数可用二阶环节来近似。二阶环节来近似。A(k)和和(k)是频率为是频率为k时的幅频和相频的绝对值时的幅频和相频的绝对值 通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统传递函数的通过绘制幅相频率特性或对数频率特性来确定系统传递函数的方法比较直观。它适合于一阶或二阶的简单传递函数的辨识方法比较直观。它适合于一阶或二阶的简单传递函数的辨识. ( )Q()
19、k k()kA(0)r( )P0()r2222( )21(0)(0)sin()2()12tan()kkkkkkKG sT sTsKrrTATT 通用方法通用方法: 设已测得系统的频率响应数据为设已测得系统的频率响应数据为 ()101101()(),1, 2,()()()()() cos()()()sin()( )1()(),()()()1()()kjkkkkkkkkkkkmmnnmmnnGjAekrGjPjjQjPjAQjAb sb sbG sa sa sbjbjbnmGjajajNjDj 其 中 ：需 拟 合 的 传 递 函 数 ：1212()()()()BjBAjA在频率在频率=k处的拟合
20、误差为处的拟合误差为 计算拟合的传递函数计算拟合的传递函数G(s)，使得如下的误差性能指标极小，使得如下的误差性能指标极小，在这个性能指标中，每个频率点的加权系数均为在这个性能指标中，每个频率点的加权系数均为1，也即它对每，也即它对每个频率点给予同等的看待，因而它是典型的最小二乘问题。个频率点给予同等的看待，因而它是典型的最小二乘问题。 相应于频率点相应于频率点k的加权系数为的加权系数为D(jk)。 式中式中D(jk)=A1(k)+ jA2(k)为为G(j)的分母。的分母。 通常情况下，在低频段通常情况下，在低频段D(jk)比较小，而在高频段比较小，而在高频段D(jk)比较比较大，因此误差性能
21、指标对于高频段将给予较多的重视，而对于低大，因此误差性能指标对于高频段将给予较多的重视，而对于低频段则给予较少的重视。也就是说，按照这个指标函数所拟合的频段则给予较少的重视。也就是说，按照这个指标函数所拟合的传递函数在高频段有较高的拟合精度，而低频段则较差。传递函数在高频段有较高的拟合精度，而低频段则较差。 ()()()kkkejGjGj2121()()()rkkrkkkJejJDjej考 虑 加 权 ， 有121222211()() ()()()()()()()()()()()()()()()()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkrrkkkkke jD je jD jG jG jNj
22、D jG jBjBAjAP jjQ jRjIJe jRI令00( )iiiiJJbaabG s分 别 对 参 数 求 偏 导 ， 并 让 其 为 0。求 得和， 也 得 到 拟 合 传 递 函 数117P书中页给出了迭代方法拟合传递函数的步骤相关分析法建模相关分析法建模 离线与在线辨识离线与在线辨识 相关分析法既可用于离线辨识，也可用于在线辨识相关分析法既可用于离线辨识，也可用于在线辨识 通过在控制对象的输入端加一个随机信号通过在控制对象的输入端加一个随机信号r(t)，测量输出信号，测量输出信号c(t)，然后通过相关分析求得被测系统的频率特性，进而求得它，然后通过相关分析求得被测系统的频率特性
23、，进而求得它的传递函数。的传递函数。 加一低电平随机信号，这个信号对正常的运行不产生影响。加一低电平随机信号，这个信号对正常的运行不产生影响。 相关分析法另一突出优点是它具有较好抗干扰性能。当测量数相关分析法另一突出优点是它具有较好抗干扰性能。当测量数据中包含有随机噪声时，不影响相关分析法计算结果。据中包含有随机噪声时，不影响相关分析法计算结果。 一、相关辨识原理及方法一、相关辨识原理及方法 设设r(t)为平稳随机过程，则为平稳随机过程，则c(t)也为平稳随机过程，同时设也为平稳随机过程，同时设r(t)和和c(t)具有各态历经的性质，则具有各态历经的性质，则r(t)的自相关函数可以表示为的自相
24、关函数可以表示为 ( )( )G sh t( )rR( )rcR( )r t( )c t()()() 1l i m()()2rTTTRErtrtrtrtd tTr(t)和和c(t)的互相关函数可以表示为的互相关函数可以表示为根据卷积定理，根据卷积定理，c(t)和和r(t)之间满足如下关系之间满足如下关系 ()( )() 1lim( )()2r cTTTRErtctrtctd tT 0000( )( ) ()1( )lim( ) ()21lim( )( ) ()21( )lim( ) ()2( )()TrcTTTTTTTTrc thr tdRr t c tdtTr thr tddtThr t r
25、 tdt dThRd则有01()()21() (c o ss in)21() c o s1()()2jrrrrjr cr cSjRedRjdRdSjRed 求 其 自 相 关 和 互 相 关 谱 密 度 平稳随机过程的自相关谱密度函数是实数。互相关谱密度平稳随机过程的自相关谱密度函数是实数。互相关谱密度函数一般来说则是复数。函数一般来说则是复数。 ()()()()()()rcrrcrSjGjSjSjGjSj 相关分析法抗干扰能力强。相关分析法抗干扰能力强。 例如，设系统输出端存在测量噪声，并设例如，设系统输出端存在测量噪声，并设n(t)与与r(t)不相关。不相关。 根据所测得的数据根据所测得的
26、数据r(t)和和 (t)可以计算出它们的互相关函数为可以计算出它们的互相关函数为 c( ) ( ) () ( )( ()() ( ) () ( ) ()( )( )( ) ( ) ()( )rcrcrcRE r t c tE r tc tn tE r t c tE r t n tr tn tRE r t c tR和不 相 关G(s)r(t)n(t)c(t)+( )c t 二、通过相关函数的计算进行辨识二、通过相关函数的计算进行辨识 求被测系统的频率特性，需要计算输入随机信号求被测系统的频率特性，需要计算输入随机信号r(t)的自相关功率谱密度函数的自相关功率谱密度函数Sr(j)及及r(t)与与c
27、(t) 互相关功率互相关功率谱密度函数谱密度函数Src(j)。 Sr(j)和和Src(j) 相关函数相关函数Rr()和和Rrc()经付里叶变经付里叶变换而得。换而得。 利用相关分析辨识系统模型计算包括以下三部分：利用相关分析辨识系统模型计算包括以下三部分： (1)根据输入和输出的随机数据，计算自相关函数根据输入和输出的随机数据，计算自相关函数Rr()和互相关函数和互相关函数Rrc()； (2)对对Rr()和和Rrc()进行付里叶变换求得进行付里叶变换求得Sr(j)和和Src(j)； (3) 频率特性频率特性G(j)=Src(j)/Sr(j)得传递函数得传递函数G(s)。 介绍一种更加简单的方法
28、：介绍一种更加简单的方法： 直接对原始数据进行付里叶变换，从而获得相应的功率谱直接对原始数据进行付里叶变换，从而获得相应的功率谱密度函数。省去了求相关函数。密度函数。省去了求相关函数。 设设r(t)和和c(t) 为被测系统的输入和输出平稳随机过程，定义为被测系统的输入和输出平稳随机过程，定义R(,T)和和C(,T)分别为随机过程分别为随机过程r(t)和和c(t)在有限区间在有限区间T上的付上的付里叶变换。且里叶变换。且r(t)和和c(t)的自相关和互相关功率谱密度函数满足的自相关和互相关功率谱密度函数满足如下关系如下关系: 00( , )( )( , )( )TTj tj tRTr t edt
29、CTc t edt21()lim(,)21()lim(,)(,)2(,)(,)rTrcTSE RTTSE RTCTTRTRT 和为 共 轭 按照该方法，利用计算机进行计算时的几点说明：按照该方法，利用计算机进行计算时的几点说明： (1) 要求取要求取T时的极限，实际计算时只能取时的极限，实际计算时只能取T为为一个比较大的有限值；一个比较大的有限值； (2)实际计算时用离散付里叶变换来代替式连续付里实际计算时用离散付里叶变换来代替式连续付里叶变换；叶变换； (3) 求取求取 的数学期的数学期望，实际计算时只能取它们的一个实现或再乘以一个望，实际计算时只能取它们的一个实现或再乘以一个窗函数。窗函数。2(,)(,)(,)RTRTCTTT11和
