1、 流体力学教案流体力学教案(第三章第三章相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析) 第3-3 无量纲方程 上节推导的相似判据，从理论上讲要求在两个流场的所有对应点进行比较是否相等后，才能断定这两个流场是否相似，这在实际使用时很不方便，故一般均不采用。本节将引入特征量的概念，导出无量纲方程以及具有一定实用价值的相似判据特征无量纲数。 例如，在粘性流体力学中引入速度U为特征流速，密度 0为特征密度，长度L为特征长度后，构建无量纲量： LzzLyyLxxULttUppUwwUvvUuu/,/,/,/,/,/,/200(2-23) 将式(3-23)代入不可压缩性流体的z分量方程(3-7)，将会出现 twU
2、LUtw/xwLUuUxwuywLUvUywvzwLUwUxwwzpLUzp200111gg 2222222222222zwywxwLUxwxwxw将上式再代入(3-7)式，并在方程两边同除以 LU2，得： wFrzpzwwywvxwutw2Re11(3-27) 其中： ULgLUFrRe,2分别为特征值所组成的无量纲数，称作为特征无量纲数。 式(3-27)是由无量纲量 zyxwvu,所构成的 z分量运动方程，由于由物理量特征量所组成的Re和Fr也是无量纲的，因此该方程称作无量纲z向分量的运动方程。或z分量运动方程的无量纲形式，简称无量纲方程。另外，由于无量纲方程跟选用的单位制无关，还可以由此
3、推出两流场的相似准则。 第3-4 特征无量纲数一、雷诺数它的定义： ULRe(3-28) 根据定义可分析其物理意义： 对于 VV的惯性项(或称惯性力)的量纲分析，可得： VVLUVV 2(3-29) 对于 V2的粘性项(又称粘性力) 的量纲分析，可得： VLUV22(3-30) 将上述两项进行比较可得：Re/222LULUVOVVO(3-31) 即物理意义为： Re=特征惯性力/特征粘性力 (3-32)按Re数的大小，可将流体运动划分为：大Re数流动，即粘性微弱的流动；Re数接近于1的流动，即一般粘性流动；小Re数流动，即粘性较强的流动。 二、弗罗劳德数它的定义： gLUFr2(3-35) 不
4、难看出， VV的惯性项(或称惯性力)与重力项的量级之比，即 FrgLUgOVVO/2(3-36) Fr的含义就是流体运动方程中特征惯性力与特征重力之比，即物理意义为： Fr=特征惯性力/特征重力 (3-37) 如果按Fr数来划分，一般经典流体力学中独立分出以下两个分支，即:小Fr数流动，例如地球物理流体力学；大Fr数流动，例如航空工程中的空气动力学。 三、其他特征无量纲数1.欧拉数Eu定义： LULpUpEu2020/或Eu=特征压力梯度/特征惯性力 (3-38) 2.Ma数利用伯努利方程和流管中连续性方程推求得，其定义为： cUMa =特征速度/声速 (3-39) 它反映了空气流动中压缩性的
5、影响，当Ma1 的所谓亚声速流动中，空气可近乎不可压流体。而对于Ma1的超声速气体，则必须考虑压缩性的影响。 3.Kn数连续性假设时，引入克努森数 Kn=l/L=分子自由程/宏观线尺度 (3-40)讨论流体中分子扩散现象时，可有 4.Sc数DDSc运动学粘性系数/质量扩散系数 (3-41)或Sc=动量扩散/质量扩散，它称为施密特数，D为质量扩散系数。 考虑流体表面张力的作用，则引入We(韦伯)数，即:5.We数LUWe2=流体动能/反抗表面张力做功 (3-42) 6.Ri数在湍流和大气动力学问题中，常引入Ri数，即2/zuzTTgRi(3-43) 它可用以反映湍流的消长，称作理查尔数，式中为绝
6、热直减热。 7.Ro数 在旋转坐标系中考察流体运动时，例如地球上的大气运动，将会出现一种地转偏向力(科里奥利力)，其特征值为fU,于是从运动方程引入：fULUfLURo/2=特征惯性力/特征偏向力 (3-44) Ro称为罗斯贝数，它是大气动力学中的一个很重要的特征数。 在旋转坐标系中考察流体运动时,旋转流体经过固体边界时，在固壁附近将会出现需要考虑粘性的流体薄层称埃克曼层。该层的厚薄 8.Ek埃克曼数ED反映了旋转流体中应该考虑 粘性的范围大小，对此引入埃克曼数：222/HDfHKEkE=埃克曼厚度/流体特征厚度 (3-45)sin2H 9.Ta泰劳数又称旋转雷诺数在旋转流体中，还可引入一个T
7、a数，即 22242/24HUUHTa(特征偏向力)2/(特征粘性力)2 (3-46) 10.Gr数又称格拉晓夫数 某流体块跟周围流体具有温度差，其温度的特征值为，则该流体块在重力场中将会受到重力浮力ga的作用(如 0,则为沉力)，其中a为流体的热膨胀系数。考察具有温差热效应的流体运动方程，可引入：2/LUgaG特征浮力/特征粘性力 (3-47) 再把上式所示G和Re一起考虑，即有：2/ReLgaGGr(3-48) Gr是热(自由)对流中的一个特征参数。 11.Pr数又称普朗特数流体中的粘性和热传导，均属分子传输现象，对此可有： TK/Pr分子粘性/热传导 (3-49) 其中KT为热传导扩散系
8、数。 12.Le数又称为路易数考虑热扩散跟质量扩散的相对重要性，可引入：DKLeT/热扩散/质量扩散 (3-50) 13.Ra数又称瑞利数把格拉晓夫数(Gr)和普朗特数(Pr)综合考虑，则有：TKLgaGrRa/Pr3(3-51) 该特征数主要针对水平流体层热对流问题。 14.Pe数又称贝克来数 在热流量方程中，将温度水平平流和湍流热量垂直输送进行量顽比较，即得： 2/LTKLTUKULPeTT=温度平流/湍流垂直热输送 (3-52) 然后再考虑到普朗特数(Pr)和贝克来数(Pe)的表达式，(3-52)式还可改写为： RePr Pe(3-52) 15.Nu数又称为努塞尔数 在热对流问题中，常考虑到经过表面进出流体的热量传输，如Q作为单位面积热传输率的特征值，则有： LKQKQLNuTT/=热传输/热扩散 (3-53)
