1、5.3.3古典概型古典概型一二一、古典概型1.填空.(1)古典概型的定义:一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.(2)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具备古典概型的两个特点:有限性和等可能性,并不是所有试验都是古典概型.一二2.如何理解古典概型中每个基本事件发生的等可能性?提示:就是试验的每种结果出现的可能性是均等的.例如先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”
2、这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果的发生不是等可能的.3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是()试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个事件出现的可能性相等;每个基本事件出现的可能性相等;求从含有3件次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.A.B.C.仅D.仅答案:B解析:根据古典概型的特点,即基本事件的有限性与等可能性逐个分析即可.一二二、古典概型的概率公式及求解步骤1.填空.概率公式一二2.如何从集合的角度理解古典概型的概率公式?提示:如图所示,把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I,其中
3、每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的随机事件A看作含有m个元素的集合,则随机事件A是集合I的一个子集,则一二3.做一做:从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数,则这个两位数是偶数的概率为()答案:D解析:能组成的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32,共9个,其中偶数有5个,故组成的两位数是偶数的概率为 .探究一探究二探究三思维辨析当堂检测古典概型的判断古典概型的判断例例1某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环、命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?分析:紧扣古典概型的两大特征有限性与等可能性进行判
4、断.解:不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.反思感悟反思感悟只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型,这两个条件只要有一个不满足就不是古典概型.变式训练变式训练1从所有整数中任取一个数的试验是古典概型吗?解:不是,因为有无数个基本事件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测古典概型的概率计算古典概型的概率计算例例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察朝上的面的点数.(1)一共有多少种不同的结果?(2)点数之和为5的结果有多少种?(3)点数之和为5的概率是多少?解:(1)将一枚质地
5、均匀的正方体骰子抛掷一次,朝上的面的点数有1,2,3,4,5,6,共6种结果,故先后将这枚骰子抛掷两次,一共有66=36(种)不同的结果.(2)点数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种.(3)正方体骰子是质地均匀的,将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的,其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种,因此所求概率探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟古典概型的概率的求解步骤(1)计算所有可能的样本点的总数n;(2)计算事件A包含的样本点的个数m;(3)计算事件A的概率解析:试验结果如表所示:由表可知两张卡片上数字之和共有36种情况,其中和为7
6、有4种情况,所以所求概率为探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练变式训练2在两个袋内,分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片,从每个袋中各任取一张卡片,则两张卡片上数字之和等于7的概率为.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测有放回抽取和无放回抽取的概率有放回抽取和无放回抽取的概率例例3口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球,求:(1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率.(2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率.解:(1)任意摸出两个小球的样本空间为(红,白),(红,黄),(白,黄),所以,摸出的是红球和白球的概率为 .(2)样本空间为(
7、红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄),(黄,白).而摸出的球是一红一白包括(红,白),(白,红)两个基本事件,所以所求概率为 .反思感悟反思感悟“放回”与“不放回”问题的区别对于某一次试验,若采用“放回”抽样,则同一个个体可以被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究延伸探究1若本例条件不变,求从袋中摸出一个球后放回,再摸出一个球,第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.解:样本空间为(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄)
8、,(黄,白).第一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以所求概率为 .延伸探究延伸探究2若本例条件不变,求从袋中依次无放回地摸出两球,第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.解:样本空间为(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白),第一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以所求概率是 .探究一探究二探究三思维辨析当堂检测列举法求古典概型的概率数学方法典例典例某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2
9、)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这两个国家包含A1,但不包含B1的概率.分析:列举试验的所有基本事件求事件A包含的基本事件数利用公式求P(A)探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)由题意知从6个国家中任选两个国家,所有的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共15个.所选两个国家都是亚洲国家包含的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个.故所求事件
10、的概率(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,所有的基本事件有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共9个,包含A1但不包括B1的基本事件有(A1,B2),(A1,B3),共2个.所以所求事件的概率为方法点睛方法点睛古典概型问题包含的题型较多,但都必须紧扣古典概型的定义,进而用公式进行计算.列举法是求解古典概型问题的常用方法,借助于图表等有时更实用更有效.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.从含有3个元素的集合a,b,c的所有子集中任取一个,所取子集是含有2个元素的集合的概率是()答案:
11、D解析:因为集合a,b,c的子集的个数为23=8,其中含有2个元素的子集有3个,所以所求概率P=,故选D.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()答案:D解析:基本事件总数n=55=25.抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个,所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.古人
12、认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为()探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A解析:所有的基本事件有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共10个,其中2类元素相生的有木火、火土、木水、金水、金土,共5个,所以2类元素相生的概率为故选A.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.鞋柜内散放着两双不同的鞋,随手取出两只,恰是同一双的概率是.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.(2019天津)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育
13、、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种.由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=.
