1、AR模型谱估计平稳随机信号的参数模型 参数模型法的思路：假定所研究的过程 是一个输入序列 激励一个线性系统 的输出;由已知的 ,或其自相关函数 来估计 的参数;由 的参数来估计 的功率谱。)(nu)(nx)(zH)(nx)(nu)(zH)(nx)(mrx)(zH)(zH)(nx平稳随机信号的参数模型qkkpkkknubknxanx01)()()(0)()()(kknukhnx)()()(zAzBzHpkkkzazA11)(qkkkzbzB11)(0)()(kkzkhzH)(jwxeP222)()(jwjweAeB212221)(pkjwkkjweaeA0kb为白噪声 的方差2)(kuAR模型全
2、极点：该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。 经常使用的参数模型是线性模型, 其中以有理分式 型应用最为普遍, 有理分式模型一般表现为自回归动均 模型, 即ARMA模型, 自回归模型( AR模型) 和动均模 型( MA模型) 都是YuleWalker 模型的特殊情况。事 实上, 白噪声序列通过全极点型、全零点型滤波器会分 别产生AR, MA和ARMA过程。在这三种参数模型 中, AR模型得到了普遍应用, 因为AR模型的参数计 算是线性方程, 比较简单, 与建立在外推自相关函数时 保持原概率空间的最大熵法是等价的, 同时很适合表示 很窄的频谱, 在作谱估计时, 由于具有递推特性所以
3、所 需的数据较短; 而MA模型表示窄谱时一般需要数量很多的参数; ARMA模型虽然所需的参数数量最少, 但 参数估计的算法是非线性方程组, 其运算远比AR模型 复杂, 故AR模型参数估计是重点。 AR模型法 AR模型法的基本理论 任何具有功率谱密度的随机信号都可以看成由白 噪声 激励一物理网络所形成, 可写成:该形式称为p阶自回归模型, 简称AR模型。将其进行z 变换可得AR模型的传递函数为: 自回归模型的H(z) 只有极点, 没有除原点以外的零点, 因此又称为全极点型。当用自回归模型时, 功率谱密度的表达式写成:式中: 为 白噪声的功率谱密度。因此只要求解出 及所有 的值, 就可以得到随机信
4、号x(n) 的功率谱。目前估计AR模型参数的方法有:( 1) 相关函数类算法: ( 2) 反射系数类算法: ( 3) 最小二乘类算法: ( 1) 相关函数类算法: 先估计自相关序列, 然后解YuleWalker方程算出AR系数, 计算出功率谱。经 常使用有偏自相关估计, 以保证自相关矩阵正定性, 此 法适于较长的序列。 ( 2) 反射系数类算法: 它不需要估计过程的自相关函数, 而是按照Levinson递推公式直接从序列值递推计算预测误差和反射系数( 递推估计反射系数时,是使各阶的平均预测误差功率最小) , 最后得到模型系数, 计算出功率谱。优点是分辨率高, 适于短序列。具体的算法有Burg
5、算法和Itakura算法, 两者的主要区别在于计算平均预测误差功率的方法不同, 前者采用向前、向后预测误差功率的算术平均而后者取几何平均。 ( 3) 最小二乘类算法: 可有多种算法, 例如直接用LS方法拟合出模型参数或是采用FTF算法求出模 型参数。 AR模型法的仿真 YuleWalker 方程 采样频率为200Hz, 采样点数为50和200时, 采 用YuleWalker 方程的仿真图。 当采样点数为50时, 在频率为40Hz处的谱峰明显向左偏移, 且在频率为60 70Hz之间出现了虚假谱峰。当采样点数为200时, 谱峰回到40Hz处, 且虚假谱峰的幅度变小。因此YuleWalker 方程的
6、性能可通过增加采样点数来解决。 AR模型的参数和x(n)自相关函数有如下的关系: 将上式写成矩阵的形式: 即是AR模型的正则方程, 又称尤拉沃克 (YuleWalker)方程。AR模型参数估计的典型算法 1.自相关法 自相关法是AR模型参数求解中最简单的一种方法。L-D递推算法是在满足前向预测均方误差最小的前提下,先求得观测数据的自相关函数,然后利用YuleWalker 方程的递推性质求得模型参数,进而求得功率谱的估值。它是模型阶次逐次加大的一种算法,即先计算阶次m=1时的预测系数 ，再计算m=2时的a2(1) , a2(2)和2,按此依次计算到阶次m=p时的ap(1) , ap(2) , ,
7、 ap(p)及2p ,当2p 满足精度要求时即可停止递推。 递推公式为: Burg算法 用Burg算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前向序列误差和后向序列误差前后都不加窗,使用LevinsonDurbin递推可快速的求解AR系数。Burg算法与自相关法不同,它是使序列x(n)的前后向预测误差功率之和: 最小。在上式中,当阶次由1至p时, 和 （n）有以下的递推关系:可知 仅为km 的函数。令 ,可得到: 再利用Levinson2Durbin递推算法可得AR模型系数: Burg算法是建立在数据基础之上的,避免了先计算自相关函数从而提高计算速度;是较为通用的方法,计算不太复杂,
8、且分辨率优于自相关法,但对于白噪声加正弦信号有时会出现谱线分裂现象。改进协方差算法 同Burg算法一样,改进协方差（修正协方差）算法进行功率谱估计时令前后向预测误差功率之和最小,即对前后向预测误差都不加窗,但得到的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵,因此正则方程不能用Levinson递推算法求解。Marple于1980年提出了实现协方差方程求解的快速算法,大大提高了谱估计的性能。 参数提取时,利用Matlab工具箱中的信号处理中的Levinson函数和arburg函数来分别进行自相关算法和Burg算法的AR模型参数估计,以AR模型功率谱估计及Matlab实现 平稳随机信号clc; clear;
9、close all; fs=1000;% 采样率 1000 N=1;% 改变数据长度 p=50;%AR 模型阶数 nfft=512;%fft长度 t=0:1/ fs: N; wn=sqrt(1)+randn(1,N*fs+1); %白噪声,均值0, 方差1 s1=sqrt(20)*sin(2*pi*100*t); % 正弦信号1, 信噪比10db s2=sqrt(2000)*sin(2*pi*110*t); % 正弦信号 2, 信噪比30db x=s1+s2+wn; % 观测数据 %figure,plot(t,x); x1=xcorr(x,biased); Pxx,f=pyulear(x1,p
10、,nfft,fs); %Yule -Walker 方程 figure,plot(f,10*log10(Pxx);grid on; title(自相关法); Pxx1,f1=pcov(x,p,nfft,fs); figure,plot(f1,10*log10(Pxx1);grid on; title(协方差法); Pxx2,f2=pmcov(x,p,nfft,fs); figure,plot(f2,10*log10(Pxx2);grid on; title(修正协方差法); Pxx3,f3=pburg(x,p,nff t,fs); figure,plot(f3,10*log10(Pxx3);gr
11、id on; title(Burg 法); 从上图可以看出，采用参数建模的谱估计方法得到的功率谱曲线平滑（方差小），分辨率高，可以明显地观察到两个谱峰。0100200300400500-80-60-40-2002040自相关法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-505修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-505Burg 法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015Burg 法0100200
12、300400500-35-30-25-20-15-10-5051015修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015协方差法0100200300400500-80-60-40-200204060自相关法 降低模型阶次后，可以发现，谱的分辨率降低（两个谱峰几乎变成一个谱峰），但是曲线平滑性变好（估计误差降低0100200300400500-80-60-40-2002040自相关法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-5051015修正协方差法0100200300400500-35-30-25-20-15-10-50510Burg 法thanks 通过对功率谱的仿真比较可以得到:自相关法的计算简单,但谱估计的分辨率较差,而Burg算法和改进协方差算法是较为通用的方法,计算不太复杂,且具有较好的谱估计质量。
