1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 13 讲 变化率与导数 、 导数的计算 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解导数概念的实际背景 2 通过函数图象直观理解导数的几何意义 3 能根据导数的定义求函数 y C(C 为常数 )， y x， y 1x， y x2， y x3， y x的导数 4 能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数 . 2017 全国卷 ， 14 2017 天津卷， 10 2016 全国卷 ， 16 2016 天津卷， 10 2016 山东卷， 10 1.导数的概念及几何意义是热点问题 ， 难度不大 ， 经常与函数结合 ， 通过求导研究函数的性质 2 导数
2、几何意义的应用是热点问题 ， 难度较大 ， 题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围 ， 以及与切线有关的计算 、 证明问题 . 分值： 5 分 1 函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率 函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率为 _f?x2? f?x1?x2 x1_， 若 x x2 x1， y f(x2) f(x1)， 则平均变化率可表示为 _ y x_. 2 函数 y f(x)在 x x0处的导数 及几何意义 (1)定义：称函数 y f(x)在 x x0 处的瞬时变化率 _ lim x0 y x_ _ lim x0f?x0 x? f?x0? x _为函数 y f
3、(x)在 x x0处的导数 ， 记作 f( x0)或 y| x x0， 即 f( x0) lim x0 y x _ lim x0 f?x0 x? f?x0? x _. (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f( x0)的几何意义是在曲线 y f(x)上点_(x0， f(x0)_处的 _切线的斜率 _.相应地 ， 切线方程为 _y f(x0) f( x0)(x x0)_. 3 函数 f(x)的导函数 称函数 f( x) _ lim x0 f?x x? f?x? x _为 f(x)的导函数 ， 导函数也记作 y. 4 基本初等函数的导数公式 =【 ;精品教育资源文库 】 = 原函数
4、导函数 f(x) C(C 为 常数 ) f( x) _0_ f(x) xn(n Q*) f( x) _nxn 1_ f(x) sin x f( x) _cos_x_ f(x) cos x f( x) _ sin_x_ f(x) ax(a0) f( x) _axln_a_ f(x) ex f( x) _ex_ f(x) logax(a0， 且 a1) f( x) _ 1xln a_ f(x) ln x f( x) _1x_ 5 导数的运算法则 (1)f(x) g(x) _f( x) g( x)_. (2)f(x)g(x) _f( x) g(x) f(x) g( x)_. (3)? ?f?x?g?
5、x? _f ?x?g?x? f?x?g ?x?g?x?2 _(g(x)0) 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)求 f( x0)时 ， 可先求 f(x0)， 再求 f( x0) ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (4)若 f(x) f( a)x2 ln x(a0)， 则 f( x) 2xf( a) 1x.( ) 解析 (1)错误应先求 f( x)， 再求 f( x0) (2)正确如 y 1 是曲线 y sin x 的切线 ， 但其交点个数有无数个 (3)错误如 y 0 与抛物线 y2 x 只有
6、一个公共点 ， 但是 y 0 不是抛物线 y2 x 的切线 (4)正确 f( x) f (a)x2 ln x f (a)x2 (ln x) 2xf( a) 1x. 2 曲线 y xln x 在点 (e， e)处的切线与直线 x ay 1 垂直 ， 则实数 a 的值为 ( A ) A 2 B 2 C 12 D 12 解析 依题意得 y 1 ln x， y| x e 1 ln e 2， 所以 1a 2 1， a 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 某质点的位移函数是 s(t) 2t3 12gt2(g 10 m/s2)， 则当 t 2 s 时 ， 它的速度 v(t)对 t 的变化率 (即加速
7、度 )是 ( A ) A 14 m/s2 B 4 m/s2 C 10 m/s2 D 4 m/s2 解析 由 v(t) s( t) 6t2 gt， a(t) v( t) 12t g， 得 t 2 时 ， a(2) v(2) 122 10 14(m/s2) 4 曲线 y x3 x 3 在点 (1,3)处的切线方程为 _2x y 1 0_. 解析 y 3x2 1， y| x 1 31 2 1 2. 该切线方程为 y 3 2(x 1)， 即 2x y 1 0. 5 函数 y xcos x sin x 的导数为 _y xsin_x_. 解 析 y (xcos x) (sin x) x cos x x(c
8、os x) cos x cos x xsin x cos x xsin x. 一 导数的运算 导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开 ， 化为多项式的形式 ， 再求导 (2)分式形式：观察函数的结构特征 ， 先化为整式函数或较为简单的分式函数 ， 再求导 (3)对数形式：先化为和 、 差的形式 ， 再求导 (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式 ， 再求导 (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式 ， 再求导 【例 1】 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f( x)， 且满足关系式 f(x) x2 3xf(2) ln x， 则 f(2) _ 94_. (2)已知函数 f(x)
9、f ? ? 6 sin x cos x， 则 f? ? 6 _ 1_. 解析 (1) f(x) x2 3xf(2) ln x， f( x) 2x 3f(2) 1x， f( 2) 4 3f(2) 12 3f(2) 92， f(2) 94. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) f(x) f ? ? 6 sin x cos x， f( x) f ? ? 6 cos x sin x， f ? ? 6 32f ? ? 6 12， f ? ? 6 (2 3)， f(x) (2 3)sin x cos x， f? ? 6 (2 3) 12 32 1. 【例 2】 求下列函数的 导数 (1)y (1 x
10、)? ?1 1x ； (2)y ln xx ； (3)y tan x； (4)y 3xex 2x e. 解析 (1) y (1 x)? ?1 1x 1x x x 12 x12， y (x 12) (x12) 12x 32 12x 12. (2)y ? ?ln xx ?ln x? x xln xx2 1x x ln xx2 1 ln xx2 . (3)y ? ?sin xcos x ?sin x?cos x sin x?cos x?cos2x cos xcos x sin x? sin x?cos2x 1cos2x. (4)y (3xex) (2x) e (3x) ex 3x(ex) (2x)
11、3xln 3e x 3xex 2xln 2 (ln 3 1)(3e) x 2xln 2. 二 导数的几何意义 若已知曲线过点 P(x0， y0)， 求曲线过点 P(x0， y0)的切线方程 ， 则需分点 P(x0， y0)是切点和不是切点两种情况求解 (1)点 P(x0， y0)是切点时 ， 切线方程为 y y0 f( x0)(x x0) (2)点 P(x0， y0)不是切点时 ， 可分为以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P( x1， f(x1)； 第二步：写出过点 P( x1， f(x1)的切线方程 y f(x1) f( x1)(x x1)； 第三步：将点 P 的坐标 (x0， y0)代
12、入切线方程 ， 求出 x1； 第四步：将 x1的值代入方程 y f(x1) f( x1)(x x1)， 由此即可得过点 P(x0， y0)的切=【 ;精品教育资源文库 】 = 线方程 【例 3】 (1)(2017 全国卷 )曲线 y x2 1x在点 (1,2)处的切线方程为 _y x 1_. (2)设曲线 y ex在点 (0,1)处的切线与曲线 y 1x(x0)上点 P 处的切线垂直 ， 则点 P 的坐标为 _(1,1)_. (3)已知 f(x) ln x， g(x) 12x2 mx 72(m0)的导数 y 1x2， 曲线 y 1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2. 依题意 k1k
13、2 1， 所以 m 1， 从而 n 1， 则点 P 的坐标为 (1,1) (3) f( x) 1x， 直线 l 的斜率 k f(1) 1. 又 f(1) 0， 切线 l 的方程为 y x 1. 又 g( x) x m， 设直线 l 与 g(x)的图象的切点为 (x0， y0)， 则有 x0 m 1， y0 x0 1， y0 12x20 mx0 72， m0 时 ， x 1x2 ， 当且仅当 x 1 时等号成立 ， a2. 故实数 a 的取值范围是 2， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 已知曲线 C： y 3x4 2x3 9x2 4. (1)求曲线 C 在横坐标为 1 的点处的切线方程
14、； (2)第 (1)问中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点 ， 若有 ， 请求出；若没有 ， 请说明理由 解析 (1) y 12x3 6x2 18x， k y| x 1 12 6 18 12. 又由 x 1， 得 y 3 2 9 4 4， 切点的坐标为 (1， 4) 所求切线的方程为 y 4 12(x 1)， 即 12x y 8 0. (2)由? 12x y 8 0，y 3x4 2x3 9x2 4， 得 3x4 2x3 9x2 12x 4 0， 整理 ， 得 (x 1)2(x 2)(3x 2) 0， x 1 或 2 或 23. 切线与曲线 C 还有其他公共点 ， 由 x 2， 得 y 32；
15、由 x 23， 得 y 0. 另外两个点的坐标为 ( 2,32)， ? ?23， 0 . 易错点 审题不认真致误 错因分析：审题时忽视了曲线 “ 在点 P 处的切线 ” 与曲线 “ 过点 P 的切线 ” 的不同 【例 1】 求曲线 S： y f(x) 2x x3过点 A(1,1)的切线方程 解析 设切点为 (x0， f(x0) f( x) 2 3x2， 切线方程为 y f( x0)(x x0)f(x0)， 即 y (2 3x20)(x x0) 2x0 x30， 将点 A 的坐标 (1,1)代入得 1 (2 3x20)(1 x0) 2x0 x30， 整理得 2x30 3x20 1 0， 即 2x30 2x20 x20 1 0， (x0 1)2(2x0 1) 0， 解得 x0 1 或 12， y0 1， f (x0) 1 或 y0 78， f( x0) 54. 切线方程为 y x 2 或 y 54x 14. 【跟踪训练 1】 已知函数 f(x) x3 4x2 5x 4. (1)求曲线 f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程 解析 (1) f( x) 3x2 8x 5， =【 ;精品教育资源文库 】 =
