1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 52 讲 几何概型 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 2了解几何概型的意义 2017 全国卷 ， 4 2017 江苏卷， 7 2016 全国卷 ， 8 几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数形结合思想和逻辑思维能力 分值： 5 分 1几何概型 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的 _长度 (面积或体积 )_成比例，而与 A 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的两个特点 一是 _无限性 _，即在一次试验中，基本事件的个
2、数是无限的；二是 _等可能性 _，即每一个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于 “ 比例解法 ” ，即随机事件 A 的概率可以用 “ 事件 A 包含的基本事件所占的 _图形面积 (体积、长度 )_” 与 “ 试验的基本事件所占的 _总面积 (总体积、总长度 )_” 之比来表示 3在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 P(A) _ 构成事件 A的区域长度 ?面积或体积 ?试验的全部结果所构成的区 域长度 ?面积或体积 ? _. 4随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是
3、模拟方法 (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是： 用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； 统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N； 计算频率 fn(A) MN作为所求概率的近似值 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估 计概率 ( ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的 ( ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等 ( ) (4)在几何概型定义中的区
4、域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) 解析 (1)正确由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确 (2)错误虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等 (3)正确由几何概型的定义知，该说法正确 (4)正确由几何概型的定义知，该说法正 确 2在区间 (15,25内的所有实数中随机抽取一个实数 a，则这个实数满足 17 a 20 的概率是 ( C ) A 13 B 12 C 310 D 710 解析 a (15,25， P(17 a 20) 20 1725 15 310. 3有一杯 2 L 的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从水中取 0.1 L 水，则小杯水中含有
5、这个细菌的概率为 ( C ) A 0.01 B 0.02 C 0.05 D 0.1 解析 因为取水是随机的，而细菌在 2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为 P 0.12 0.05. 4已知 x 是 4,4上的一个随机数，则使 x 满足 x2 x 2 0 的概率为 ( B ) A 12 B 38 C 58 D 0 解析 x2 x 2 0? 2 x 1，则 P 1 ? 2?4 ? 4? 38. 5某路公共汽车每 5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过 3 min 的概率是 ( A ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 35 B 45 C
6、 25 D 15 解析 此题可以看成向区间 0,5内均匀投点，求点落入 2,5内的概率设 A 某乘客候车时间不超过 3 min，则 P(A) 构成事件 A的区域长度试验的全部结果构成的区域长度 35. 一 与长度、角度有 关的几何概型 (1)设线段 l 是线段 L 的一部分，向线段 L 上任投一点，点落在线段 l 的概率为 Pl的长度L的长度 . (2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段 【例 1】 (1)设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径 2倍的概率是 ( B )
7、A 34 B 12 C 13 D 35 (2)(2017 江苏卷 )记函数 f(x) 6 x x2的定义域为 D.在区间 4,5上随机取一个数 x，则 x D 的概率是 _ 59 _. (3)甲、乙两个人玩一转盘游戏 (转盘如图 ， C 为弧 AB 的中点 )，任意转动转盘一次，指针指向圆弧 AC 时甲胜，指向圆弧 BC 时乙胜后来转盘损坏如图 ，甲提议连接 AD，取AD 中点 E，若任意转动转盘一次，指针指向线段 AE 时甲胜，指向线段 ED 时乙胜然后继续游戏，你觉得此时游戏 _不公平 _(填公平或不公平 )，因为 P 甲 _ _P 乙 (填 “” 或“ ”) 解析 (1)作等腰直角 AO
8、C 和 AMO， B 为圆上任一点，则当点 B 在 MmC 上运动时， =【 ;精品教育资源文库 】 = 弦长 |AB| 2R， P MmC 圆的周长 12. (2)由 6 x x20 ，解得 2 x3 ，则 D 2,3，则所求概率为 3 ? 2?5 ? 4? 59. (3)连接 OE，在 Rt AOD 中， AOE 6 ， DOE 3 ，若任意转动转盘一次，指针指向线段 AE 的概率是 P 甲 6 2 13，指针指向线段 ED 的概率是 P 乙 3 2 23，所以 P 甲 13，又 PMBN APAB，所以 APAB 13，故所求的概率为 23(即为长度之比 ) 1把半径为 2 的圆分成相等
9、的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 ( A ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 4 1 B 2 C 4 12 D 12 解析 这是一道 几何概型概率计算问题星形弧半径为 2，所以点落在星形内的概率为P2 2 ? ?224 1222 242 2 4 1.故选 A 2在区间 1,1上随机取一个数 x，使 cos x2 的值介于 0 到 12之间的概率为 ( A ) A 13 B 2 C 12 D 23 解析 在区间 1,1上随机取一个数 x，试验的全部结果构成的区域长度为 2. 1 x1 ， 2 2x 2. 由 0cos 2x 1
10、2，得 3 2x 2 或 2 2x 3 ， 23 x1 或 1 x 23. 设 事件 A为 “cos 2x的值介于 0到 12之间 ” ，则事件 A发生对应的区域长度为 23. P(A)23213. 3在区间 2,2上随机取一个数 x，使 | |x 1 | |x 1 1 成立的概率为 _58_. 解析 在区间 2,2上随机取一个数 x，则 2 x2 ，而满足不等式 |x 1| |x1|1 的 x 的取值为 x 12.又因为 2 x2 ，故 2 x 12，所以使不等式成立的概率为 P12 ? 2?2 ? 2?58. 4如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴
11、影部分，据此估计阴影部分的面积为 _0.18_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意知，这是个几何概型问题， S阴S正 1801 000 0.18， S 正 1， S 阴 0.18. 易错点 几何概型概念不清 错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误 【例 1】 (1)在等腰 Rt ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，则 AM AC 的概率为 _. (2)在等腰 Rt ABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，则 AM AC 的概率为 _. 解析 (1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在 AB 上截取 AC AC，于
12、是 P(AMAC) P(AM AC) ACAB ACAB 22 . (2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在 AB 上截取 AC AC，则 ACC 180 452 67.5 ，而 ACB 90 ，于是 P(AM AC) P(AM AC) 67.590 34. 答案 (1) 22 (2)34 【跟踪训练 1】 在区间 0,1上随机取两个数 x， y，记 p1为事件 “ x y 12” 的概率，p2为事件 “ xy 12” 的概率，则 ( D ) A p1 p2 12 B p2 12 p1 C 12 p2 p1 D p1 12 p2 解析 (x， y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部，其
13、中满足 x y 12的区域如图=【 ;精品教育资源文库 】 = (1)中阴影部分所示，所以 p112121211 18，满 足 xy12的区域如图 (2)中阴影部分所示，所以 p2 S1 S211 12 S21 12，所以 p112 p2.故选 D. 课时达标 第 52 讲 解密考纲 几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现 一、选择题 1在区间 2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为 ( B ) A 45 B 35 C 25 D 15 解析 区间 2,3的长度为 3 ( 2) 5， 2,1的长度为 1 ( 2) 3，故满足条件的概率 P 35. 2设 p在 0,5上随机地取值，则
14、关于 x的方程 x2 px 1 0有实数根的概率为 ( C ) A 15 B 25 C 35 D 45 解析 方程有实根，则 p2 40 ，解得 p2 或 p 2(舍去 )所以所求概率为 5 25 0 35. 3在区间 0,2 上任取一个数 x，则使得 2sin x1 的概率为 ( C ) A 16 B 14 C 13 D 23 解析 2sin x1， x 0,2 ， x ? ? 6 ， 56 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = P56 62 13.故选 C 4 (2017 全国卷 )如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( B ) A 14 B 8 C 12 D 4 解析 设正方形的边长为 2，则正方形的面积为 4，正方形内切圆的
