1、第七章第七章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路 的时域分析的时域分析零输入响应、零状态响应、全响应零输入响应、零状态响应、全响应重点掌握重点掌握: :稳态分量、暂态分量稳态分量、暂态分量7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件一一. .动态电路动态电路1.1.定义定义：由电容或电感等动态元件构成的电路称为动态电路。：由电容或电感等动态元件构成的电路称为动态电路。2.2.描述方程描述方程：当电路含有电感：当电路含有电感L或电容或电容C时，电路方程是以电时，电路方程是以电流或电压为变量的微分方程。流或电压为变量的微分方程。 3.3.一阶电路一阶电路：由一个动态元件和
2、电阻构成的电路称一阶电路。：由一个动态元件和电阻构成的电路称一阶电路。 二二. .电路的过渡过程电路的过渡过程1.1.过渡过程过渡过程：电路由一个工作状态转变到另一个工作状态需：电路由一个工作状态转变到另一个工作状态需要经历的一个过程，这个过程称为过渡过程要经历的一个过程，这个过程称为过渡过程。（1 1）S未动作前（一个工作状态）：未动作前（一个工作状态）：i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= Usi+uCUsRC（2 2）S接通电源后很长时间（另一接通电源后很长时间（另一个工作状态）：个工作状态）： 2.2.稳态稳态：电路的结构或元件的参数不再发生变化，经过一：电路的结构或元件
3、的参数不再发生变化，经过一段时间后的工作状态称为稳态。段时间后的工作状态称为稳态。 例如一个工作状态到另一个工作状态中的过渡过程：例如一个工作状态到另一个工作状态中的过渡过程：这中间有个过渡过程这中间有个过渡过程i UsS+uCRC12（t=0）三三. .过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因1 1. .电路内部含有储能元件：电感电路内部含有储能元件：电感L 、电容电容 C 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成能量的储存和释放都需要一定的时间来完成2.2.电路结构发生变化电路结构发生变化支路接入或断开支路接入或断开; ;参数变化参数变化换路换路四四. .稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分
4、析的区别稳态稳态 动态动态换路发生很换路发生很长长时间时间换路换路刚刚发生发生iL 、 uC随时间随时间变变化化代数代数方程组描述电路方程组描述电路微分微分方程组描述电路方程组描述电路iL、uC随时间随时间不变不变1.1.换路换路: :电路结构或参数的改变引起电路的变化称为电路结构或参数的改变引起电路的变化称为换路换路。通常认为换路在通常认为换路在 t=0时刻进行时刻进行；换路前瞬间称换路前瞬间称t=0-；换路后瞬间称换路后瞬间称t=0+;换路所经过时间为换路所经过时间为0到到0。五五. .电路的初始条件电路的初始条件微分方程初始条件为微分方程初始条件为 t = 0+时时u ，i及其各阶导数的
5、值及其各阶导数的值2.2.电路的初始条件：电路的初始条件：1) 定义定义：电路换路后瞬间电路换路后瞬间（t=0+)时电路元件的参数初值时电路元件的参数初值2) 独立初始条件：独立初始条件：uc(0+), iL(0+)3) 非独立初始条件非独立初始条件:iC(0+), uL(0）,uR等等 靠换路定则求得靠换路定则求得要记要记住了住了!靠靠KCL、KVL求得求得3.3.换路定则的推导换路定则的推导 dictututtccc)(1)()(00 令令t0=0-,t=0+,得得： 0000_)()0()0()(1)0()0( diqqdicuucc d)()()(00 ttitqtq当当i( )为有限
6、值时为有限值时uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)结论结论: :换路瞬间，若电容电流保持为有限值时，则电容电压换路瞬间，若电容电流保持为有限值时，则电容电压 （电荷）换路前后保持不变。（电荷）换路前后保持不变。0 00)( diiucC+-电荷电荷守恒守恒（1 1）对于线性电容：）对于线性电容：tdidLuL ttttLLttuLtiti0)du()()(d)(1)()(000 0LL01i (0 )i (0 )u()dL 当当u为有限值时为有限值时: :LLi iL(0+)= iL(0-) L (0+)= L (0-)结论结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值时
7、，则电感电流换路瞬间，若电感电压保持为有限值时，则电感电流 （磁链）换路前后保持不变。（磁链）换路前后保持不变。令令t0 0=0=0- -, ,t=0=0+ +, ,则得：则得：0（2 2）对于线性电感：）对于线性电感：iu-L+L 磁通磁通链守恒链守恒00( 0)( 0)u()d 六六. .初始条件的确定初始条件的确定2.2.非独立初始条件求解非独立初始条件求解: :v 利用独立初始条件在利用独立初始条件在0+ +等效电路以及根据等效电路以及根据KCL、KVL的关系进行求解的关系进行求解. .3.3.画画0 0+ +等效电路等效电路: :把把t t=0=0+ +时电容电压和电感电流的初值分别
8、用电压源、电流源替时电容电压和电感电流的初值分别用电压源、电流源替代，方向同原假定的电容电压、电感电流相同。由此获得的代，方向同原假定的电容电压、电感电流相同。由此获得的计算电路称为计算电路称为t t0 0时的等效电路；时的等效电路；电压源的等效值为电压源的等效值为uc(0(0+ +) )；电流源的等效值为电流源的等效值为iL(0(0+ +) )。1.1.独立初始条件根据换路定则独立初始条件根据换路定则: :uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)4.4.由由0 0+ +电路求所需各变量的电路求所需各变量的0 0+ +值。值。(2) 由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC
9、 (0-)=8VmA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0-电路求电路求 uC(0-)uC(0-)=8V(3) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路（t0时时）解：解：+-10V+uC-10k40k（t0时时）求求 iC(0+)例例1 1：+-10ViiC+uC-S(t=0)10k40k0)0 ( 0)0 ( LLuu iL(0+)= iL(0-) =2AVuL842)0( t = 0时闭合开关时闭合开关S , 求求 uL(0+)0+ +等效电路等效电路求初始值的步骤求初始值的步骤1. 由换路前电路（
10、稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和和 iL(0-)。 2. 由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。解：解：+uL-10V1 4 2A例例2 2：1 4 iL+uL-L10VS（t0）iL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0-) = RISuL(0+)= - RIS求求 iC(0+) , uL(0+)0+等效电路等效电路0)0( RRIIissC解：解：例例3：iLISLS(t=0)+ +uLC+ +uCRiCISuL+iCRR IS+7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应2.2.零输入响应零输入响应：动态电路没有外
11、施电源激励，仅由动态元件：动态电路没有外施电源激励，仅由动态元件的初始储能引起的电路响应。的初始储能引起的电路响应。 1.1.一阶电路一阶电路：仅含有一个动态元件且由一阶微分方程描述：仅含有一个动态元件且由一阶微分方程描述 的电路，称为一阶电路。的电路，称为一阶电路。二二. RC电路零输入响应电路零输入响应已知已知 uC (0-)=U0iS(t=0)+uRC+uCR一一.一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应tdudCiC uC = uR= Ri解解:求求 uC（t）和）和 i（t）.ud0CCCU)0(u0utdRC 1p = -RC特征根特征根RCp+1=0特征方程特征方程: :tRC1
12、 eA ptCeAu 则则由换路定则由换路定则: :通解通解: :ptcAeu uC (0+)=uC(0-)=U0续解续解iS(t=0)+uRC+uCR（t0）若令若令: =RC, ( 称为一阶称为一阶RC电路的时间常数电路的时间常数)得得:A=uc(0+)=U0 01 0ttRCAeUtU0uC0I0ti0tRCcAeu1 将初始值代入将初始值代入:续解续解tRCcteUtu100)( 所求所求uc和和i为为:则则RC一阶电路一阶电路的响应可写为的响应可写为: ttceRUtieUtu 0 0)()( 1tRCceRUdtduCti0)( (t0+)1.1.时间常数时间常数 的大小反映了电路
13、过渡过程时间的长短。的大小反映了电路过渡过程时间的长短。大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短当电压初值一定：当电压初值一定：R 大大（C不变不变） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间放电时间长长C 大大（R不变不变） W=0.5Cu2 储能大储能大ucU0t0小小大大的的单位单位 秒伏伏安安秒秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧RC讨论：讨论：工程上认为工程上认为 , 经过经过 3 5 , 过渡过程结束过渡过程结束。1 ：电容电压电容电压衰减到衰减到初始电压初始电压36.8%所需的时间所需的时间。2.能量关系能量关系：设设uC(0+)=U0电容放出能量电容放
14、出能量： 2021CUWC 电阻吸收能量电阻吸收能量：RdtiW02R Rdt)eRU(2RCt 00 2021CU 即即：WCWR0.007 U0 t5 tceUu 0 023U0U00.368 U00.135 U00.05 U01 0eU2 0eU3 0eU5 0eU三三. RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LR 特征根特征根 p =由初始值由初始值 i(0+)= I0 确定积分常数确定积分常数AA= i(0+)= I0i (0+) = i (0-) =01IRRUS 00dd tRitiLptAeti )(00( )R-tptLi t = I e= I e
15、t0得得求电感电压求电感电压uL（t）和电流和电流i（t）解解: :iS(t=0)USL+uLRR1令令 = L/R , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数tiLtuLdd )()0(/ 0 teRIRLttLReIti 0)()0(/ 0 teIRLti(0)一定一定： L大大 起始能量大起始能量大 R小小 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电放电慢慢大大-RI0uLtI0ti0秒秒欧欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨RL小结：小结：4.4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性零输入线性。1.1.一阶电路的零输入响应是由储能
16、元件的初始值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应应, ,它们都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。它们都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 体现了一阶电路的固有特性体现了一阶电路的固有特性，衰减快慢取决于时间常衰减快慢取决于时间常 数数。RC电路电路 = RC , RL电路电路 = L/R。3.3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 teyty )0()(iL (0+) = iL(0-) = 1 AuV(0(0+ +)=)=- -1000010000V 造成造成V电压表电压表损坏。损坏。 / tLei sVRRL41041000
17、04 0100002500 teiRutLVV分析分析: :表明表明: :猛的切断电感电流时，猛的切断电感电流时，必须考虑磁场能量的必须考虑磁场能量的释放，如能量较大，释放，如能量较大，会出现会出现电弧电弧。t=0=0时时, ,打开开关打开开关S,S,现象：现象：电压表坏了电压表坏了电压表量程：电压表量程：5050V试进行分析。试进行分析。（t0）例例iLS(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V零状态响应零状态响应：电路在储能元件零初始条件下由外施激励引起：电路在储能元件零初始条件下由外施激励引起的电路响应。的电路响应。SCCUutuRC dd列方程列方程：iS(t=0)US+
18、uRC+uCRuC (0-)=07-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一阶常系数非齐次线性微分方程一阶常系数非齐次线性微分方程解答形式为：解答形式为：cccuuu对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解对应非齐次方程的特解对应非齐次方程的特解一一. RC电路的零状态响应电路的零状态响应与输入激励的变化规律有关。当某些激励的与输入激励的变化规律有关。当某些激励的强制分量强制分量为电路的为电路的稳态解时，稳态解时，强制分量强制分量又称为又称为稳态分量稳态分量。RCtCAeu 变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解: :uC (0+)=A+US= 0 A= - U
19、S由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 确定确定积分常数积分常数 A齐次方程齐次方程 的解的解0dd CCutuRC：特解（强制分量特解（强制分量）Cu = USCu ：通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu RCtSCCCAeUuuu )0( )1( )( teUeUUtuRCtsRCtssctiRUS0i强制分量强制分量( (稳态稳态) )自由分量自由分量( (暂态暂态) )tuc-USuCuCUSuc0RCtSCeRUtdudCi（t） （t0）能量关系能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在
20、电容中，也就是说，充电效率为储存在电容中，也就是说，充电效率为50%50%。221SCCUW 电容储存电能：电容储存电能：电源提供能量：电源提供能量：20SRCtSSSCUteRUUW d电阻消耗电能电阻消耗电能: :221SCU tRRUtRiWRCSRted)(d2002 RC+-US二二. RL电路的零状态响应电路的零状态响应L+RiL= USdtdLi)e1(RUitLRSL eUtdidLutLRSL iLS(t=0)US+uRL+uLR解解iL(0-)=0求求: :电感电流电感电流iL(t)已知已知tLRSAeRUiii tuLUStiLRUS00RUiSL A0)0(（t0）7-
21、4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应重点重点1掌握一阶电路全响应的两种模型掌握一阶电路全响应的两种模型1熟练掌握三要素法求解一阶电路熟练掌握三要素法求解一阶电路22一一. .一阶电一阶电路的全响应路的全响应及其两种分解方式及其两种分解方式解答为解答为: uC = uC + uC非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解:-t/CAeu -t/SCeAUu = RC其中其中全解：全解：uC (0+)=A+US= uC (0-)= U0 A=U0 - US由初始值来确定由初始值来确定A:S(t=0)iUS+uRC+uCR引例：如下图所示一阶电路，假设引例：如下图所示一阶电路，假设uC (0-)=
22、U0，求解开关，求解开关闭合后电容电压。闭合后电容电压。SCCUutuRC dd解：解：uC = US特解特解 : 所以所以: :0)(0 teUUUuuutSSCCC 暂态解暂态解稳态解稳态解全解全解uC-USU0uCUSU0uctuc01. 全响应全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。生的响应，称为全响应。1)1) 全响应全响应 = = 强制分量强制分量( (稳态解稳态解)+)+自由分量自由分量( (暂态解暂态解) )2.2. 两种分解方式两种分解方式)0()1()(0 teUeUtuttSC tuc(t)0US零状
23、态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0) 0( )()(0 teUUUtutSSC 由上页推导可知：由上页推导可知：零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应uC(t)又可表示为又可表示为：2 2）全响应）全响应 = = 零状态响应零输入响应零状态响应零输入响应+uC (0-)=U0iS(t=0)US+uRC+uCR用电路图表示：用电路图表示：iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=0零状态响应零状态响应uC (0-)=U0C+ uCiS(t=0)+uRR零输入响应零输入响应二二. .三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路以一阶以一阶RC电路全响应说明电路全响应说明:
24、:上式可写成上式可写成: : tcccceuuutu )()0()()(在直流激励下，电路的任意一个全响应可用在直流激励下，电路的任意一个全响应可用f(t)表示，则表示，则: : tssceUUUtu )()(0 teffftf )()0()()(稳态分量，稳态分量，t 电容电容电压，电压，uc()。电容电压初电容电压初值值uc(0+)时间时间常数常数 S(t=0)iUS+uRC+uCR 三要素三要素+起始值起始值 )0(f稳态解稳态解 )(f时间常数时间常数 结论结论: :根据三要素，可直接写出一阶电路在直流激励下根据三要素，可直接写出一阶电路在直流激励下的全响应，这种方法称为的全响应，这种
25、方法称为三要素法三要素法。一般步骤一般步骤: :1.1.利用换路定则以及利用换路定则以及KCL、KVL求出求出f（0+）; ;2.2.在换路后的稳态电路中求出稳态分量在换路后的稳态电路中求出稳态分量f（）; ;3.3.计算计算RC或或RL串联电路的时间常数串联电路的时间常数 。V2)0()0( CCuuV667. 011212)( Cus2332 CReq 0 33. 1667. 0 )667. 02(667. 0 )()0()(5 . 05 . 0 teeeuuuutttCCCC 已知已知：t=0时合开关时合开关S 求求 ：换路后的：换路后的uC(t) 。解解: :tuc2(V)0.6670
26、1A2 例例1 3F+-uCS(t=0)三三. .复杂一阶电路求解复杂一阶电路求解1.1.利用戴维南定理或诺顿定理求出有源一端口等效电路利用戴维南定理或诺顿定理求出有源一端口等效电路（即（即Ri、Uococ）; ;2.2.串接上电感串接上电感L或电容或电容C，在等效的简单一阶电路中求解，在等效的简单一阶电路中求解 储能元件上的电流或电压；储能元件上的电流或电压；3.3.若还需求其他元件的电压、电流，则需在等效变换前若还需求其他元件的电压、电流，则需在等效变换前的原电路中进行求解。的原电路中进行求解。解题思路解题思路 当电路中含有一个储能元件电感当电路中含有一个储能元件电感L（或电容（或电容C）
27、，而其），而其他部分可构成他部分可构成有源一端口网络有源一端口网络。利用三要素法求解一阶电路。利用三要素法求解一阶电路全响应的时间常数全响应的时间常数时，时，须在求须在求之前进行电路之前进行电路等效变换等效变换。例例1如图所示电路中，如图所示电路中，Us=10V，Is=2A，R=2 ，L=4H 。试求试求S闭合后，电路中电流闭合后，电路中电流iL和和i。解：解：（1）先移去电感支路，对先移去电感支路，对a a、b b一端口求戴维南等效电路一端口求戴维南等效电路; ;1) 开路电压开路电压Uoc:VRIUUssoc62210 2) 等效电阻等效电阻Req:Req=R=2 abReqUociLLb
28、iS(t=0)aIs+-UsLiLR（2）画出等效电路求出三要素画出等效电路求出三要素;)(2243)(2)0()0(sRLARUiAIiieqeqocLsLL （3）用三要素法求解用三要素法求解iL;LLLL( )()(0 )()t-+it = i+ i- ie （4）由原电路图求出由原电路图求出i。253)32(3)(ttLeeti A（t0）tLseiIi5 .055 A（t0）03-2i(t)iLtiS(t=0)aIs+-UsLiLRab2 6ViLL先移去电容，求一端口先移去电容，求一端口a a、b b的戴维南等效电路的戴维南等效电路.解解:Cuc(t)bR1R3R2U12U1aUS
29、1C例例2.已知已知Us=10V， R1=R2=4 ， R3=2 ， C=1F，电容原电容原未充电，求开关闭合未充电，求开关闭合S后后uc(t)。Cuc(t)bR1R3R2U1S(t=0)2U1aUS1（1）求求abab一端口的戴维南等效电路一端口的戴维南等效电路1).求开路电压求开路电压uoc:Vuoc3 auocb1i3i1R1R3R2U12U1USi22）求等效电阻求等效电阻Req：（：（先求出短路电流先求出短路电流iSc） iuRscoceq bR1R3R2U12U1USa1iSCi3Aisc415 8 . 04153scoceqiuRiaib（2）画出等效电路利用三要素法求解画出等效
30、电路利用三要素法求解uC(t):1FuC-3V0.8 )(8 . 018 . 0 )3sCR 电容电压电容电压uC(t):)0( 33- )3(03 )()0()()(2518 . 0 teVeeuuutut.-ttcccc Vuucc0)0()0( ) 1 Vuuocc3)( )2 Cuc(t)bR1R3R2U1S(t=0)2U1aUS17-7 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应 )0( 1)0( 0)(-ttt 一一. .单位阶跃函数单位阶跃函数:t (t)011. 定义定义2. 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟t (t-t0)t001 )( 1)( 0)(0-00tttttt 任一
31、时刻任一时刻 t0 起始的阶跃函数起始的阶跃函数:uC (0-)=0iS(t=0)1VCRu(t)3. 由单位阶跃函数组成复杂的信号由单位阶跃函数组成复杂的信号) 1()1()()( tttttf 例例 21t1 f(t)00( )( )()f t = t - t -t例例 11t0tf(t)0 (t)tf(t)10t0- (t-t0)4. 由单位阶跃函数来起始任意函数由单位阶跃函数来起始任意函数设：设：f(t)是对所有是对所有t都有定义的一个任都有定义的一个任意函数，它的波形如左图所示。意函数，它的波形如左图所示。0tf(t)t0 如果需要让如果需要让f(t)在在t0以后才起作用，以后才起作
32、用，可利用单位阶跃函数来可利用单位阶跃函数来“起始起始”它，它，即：即：所对应的波形如右图所示所对应的波形如右图所示。f（t） （tt0）f（t） tt00 tt00tf(t) (t-t0)t0二二. .电路的阶跃响应电路的阶跃响应: :1.1.定义定义: :电路对于阶跃输入的电路对于阶跃输入的零状态零状态响应称为响应称为阶跃响应阶跃响应。以单位阶跃响应为例以单位阶跃响应为例)()1 (teutc2.2.电路的全响应电路的全响应: :全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +电路的阶跃响应电路的阶跃响应)( 1)( teRtit tuc1t0R1iRiC+ucuc (0-)=0)(t 解解:
33、 （方法一方法一）把电路看成先充电，后放电的过程把电路看成先充电，后放电的过程。1) 00.5ts s5 . 01010010563 RC Veeuuttocc )1 ( 5)1 (2 mAedtducitcc 2 求图示电路中电流求图示电路中电流 ic(t)10k10kus+-ic100 Fuc(0-)=00.510t(s)us(V)0例例1 1:例题例题100 F+-icuC(0-)=05kuoc5Vuc2) 0.5tsVeumAeicc 632. 05)1(5 368. 05 . 025 . 02 3) 0.5tsmAedtductiVetutcctc 632.0)(632.05)()5
34、.0( )5.0( 所以：所以： s)0.5( A 0.632-s)5 . 0(0 A )(0.5)-2(-2tmetmetittC续解续解Vttus )5 . 0(10)(10 0.510t(s)us(V)0（方法二）（方法二）10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)5 . 0(10 t 10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)(10t (t)t100.5- (t-0.5)us续解续解A)5 . 0()()5 . 0(22mtetitc s5 . 01010010563 RC A)()(21mtetitc A)5 . 0()( )()()()5 . 0(2221mteteti
35、titittccc 续解续解+-ic1100 FuC(0-)=05k)(5 t 10k10k+-ic100 FuC(0-)=0)(10 t 等效等效（1）10k10k+-ic2100 FuC(0-)=0) 5 . 0(10 t （2）（3）分段表示为：（方法一解得的结果）分段表示为：（方法一解得的结果） s)0.5( A 0.632-s)5 . 0(0 A )(0.5)-2(-2tmetmetittct(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.368续解续解例例2已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时合时合S1 ， t =0.2s时合时合S2 。求两求两次换路后的电
36、感电流次换路后的电感电流i(t)。解解： 0 t 0.2sit(s)0.25(A)1.262i(t)10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)3 2 Aetit522)( AiAi2)(s2 . 0,0)0(1 AisAi5)(5 . 026. 1)2 . 0(2 Aei26. 122)2 . 0(2 . 05 A74. 35)()2 . 0(2 teti7-57-5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应一一. .二阶电路二阶电路1.1.定义定义: :用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。2.2.最简单的二阶电路：最简单的二阶电路：RLC串联
37、电路，串联电路，GLC并联电路。并联电路。3.3.二阶电路中二阶电路中, ,给定的初始值应有给定的初始值应有两个两个, ,且由储能元件的且由储能元件的初始值决定。初始值决定。二二. .RLC电路的分析电路的分析uC(0+)=U0 ， iL (0+)=0已知已知求求 uC(t) , i(t) 。RLC+ +- -iuCuL+ +- -(t=0)0dddd22 CCCutuRCtuLCtdudCiC 解解：2C2Lt dudLCt di dLu 又又: : 0 CuuRiL则则:RLC电路的分析电路的分析012 RCpLCp特征方程为特征方程为提提出出问问题题RLC+ +- -iuCuL+ +-
38、-(t=0)LCLRRp2/422, 1 LC1)L2R(L2R2 特征根为特征根为分分00或或根的性质不同，响应的变化规律也不同根的性质不同，响应的变化规律也不同二二个个不不等等负负实实根根 20CLR 二二个个相相等等负负实实根根 20CLR 二二个个共共轭轭复复根根 20CLR tptpCeAeAu2121 ptCetAAu)(21 ()-tCu = Kesin t + R=0 共轭虚根共轭虚根tUuC00cos)(2112120tptpCepepppUu 电容电压响应电容电压响应uC:电流响应电流响应 i:)()(21120tptpCeeppLUdtduCi12RLC+ +- -iuc
39、uL+ +- -12() 2 , LRp pC是不等的负实根是不等的负实根一一tptpCeAeAu2121 0)0(UuC0)0(i初始条件：初始条件：)(2112120tptpCepepppUu 响应曲线响应曲线iuC,（1）U0uC一直单调下降一直单调下降 整个过程中整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。储存的电能。此时电路为此时电路为非振荡放电，又称为过阻尼状态。非振荡放电，又称为过阻尼状态。tuc0ti0)()(21120tptpeeppLUi 设设: : t = tm 时时i 最大。最大。0 dtdi由由 0212t1 tppepep ln 2
40、112pppptm即即 （2）itm电感在电感在t t t tm m时时, ,电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失。电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失。能量转换关系能量转换关系非振荡放电过程、过阻尼非振荡放电过程、过阻尼:RLC+ +- -0 t tm uc减小减小， i 减小减小tuciU0tmuci0tuci0p1 , p2为相等的负实根为相等的负实根tCtCe tLUtuCietUu 0 0dd) 1 (U0uci非振荡放电过程非振荡放电过程（二）（二）CLR2临界阻尼状态临界阻尼状态LR2衰减因子衰减因子teLUtuCitCsindd 0)tsin(eUutC 00uCU0i - 2
41、 响应曲线响应曲线:)tan(arct0 dtdi由由CLR2特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根（三）（三）得电流取得最大值的时间得电流取得最大值的时间振荡放电过程振荡放电过程欠阻尼状态欠阻尼状态0 之间，之间， LRLC2)2(-1振荡角频率振荡角频率0 tLR2衰减因子衰减因子)tan(arc初相位初相位 - 2 - 2 uCU00i + t - RLC+ +- -能量转换关系能量转换关系RLC+ +- -0 t - t RLC- -+ +uC 减小减小，i 增大增大uC 减小减小，i 减小减小|uC |增大增大，i 减小减小 t-2 之间，电路中的能量转换关系又是什么样的？（四）（
42、四）R0时，特征根为共轭虚根时，特征根为共轭虚根LC+ +- -等幅振荡过程，无阻尼状态等幅振荡过程，无阻尼状态tLUtuCiC000sinddtUtUuC0000cos)2sin( uCit0例例1:1: 已知已知Us=10v，C=1F，R=4K，L=1H，在在t=0时，开关时，开关S由由1接至触点接至触点2处，求处，求: :(1)uC，uR和和uL；(2)imax。解：解：1)判断特征方程根判断特征方程根:CL2R 4000R 2000101226 而而CL-非振荡放电非振荡放电特征根为特征根为: :LCLRRp2/422, 1 LC1)L2R(L2R2 代入数据代入数据: :3732 ,
43、26821 ppR12LC+ +- -. .+_RuUs+_+_LuS(t=0)uCi2). VeeepepppUutttptpC)773.077.10( )(37322681212021 电容电压电容电压: :电路电流电路电流: :mAeedtduCittC )(89.23732268 电阻电压电阻电压:VeeRiuttR)(56.113732268 电感电压电感电压:VeedtdiLuttL)773. 077.10(2683732 3). 求电流求电流imax的值的值: 设电流最大值发生在设电流最大值发生在t tm m时刻时刻, ,即即: :sspppptm 7601060.7ln4211
44、2 2.19mA 1021.9 )(89.24-3732268max Aeeimtttt例例2：在受控热核研究中，需要强大的脉冲磁场，它是靠在受控热核研究中，需要强大的脉冲磁场，它是靠强大的脉冲电流产生的。这种强大的脉冲电流可以由强大的脉冲电流产生的。这种强大的脉冲电流可以由RLCRLC放电电路产生。放电电路产生。解解: :RLC+ +- -iuCuL+ +- -s(t=0)根据已知参数有根据已知参数有: :振荡放电过程振荡放电过程3691088110170010622.CL4106RCL2R 若已知若已知uC(0-)=15kv，C=1700=1700F，R R=6=61010-4-4，L=6
45、=6 1010-9-9H。试问试问: (1) : (1) i(t)为多少？为多少？(2) (2) i(t)在何时达在何时达到最大值到最大值? ?求出求出imax。由公式由公式:tsineULit 01A)t.sin(e.5105610093100984 达到最大值达到最大值 电流电流时,时,即当即当当当is56. 4t,tAA).sin(e.i.max665105641056106.36 10564100931009864 最大放电电流可达最大放电电流可达6.36106A.rad.arctansrad.LCRsLR411100931 211052524 L - 2 - 2 ucuCU00i +
46、 t小结小结：非振荡放电非振荡放电 过阻尼，过阻尼， 2 CLR tptpceAeAu2121 振振荡荡放放电电 欠欠阻阻尼尼， 2 CLR )sin( tAeutc非非振振荡荡放放电电 临临界界阻阻尼尼， 2 CLR )tAA(eut c21 定积分常数定积分常数 0)0(tCCdtduu由由 本节讨论的具体结果只适用于本例，不能套用到其它电路，本节讨论的具体结果只适用于本例，不能套用到其它电路，而得出的规律具有一般性。但分析方法可推广应用于一般二阶而得出的规律具有一般性。但分析方法可推广应用于一般二阶电路。电路。分析二阶电路的步骤：分析二阶电路的步骤： （1 1）列写二阶微分方程。）列写二
47、阶微分方程。RLC串联电路以串联电路以uC C为变量，为变量，GLC并联电路以并联电路以iL L为变量。为变量。 （2 2）求解对应的特征根。根据特征根的三种不同情况，对）求解对应的特征根。根据特征根的三种不同情况，对应写出未知变量的通解形式。应写出未知变量的通解形式。 （3 3）用给定的两个初始值来确定待定系数）用给定的两个初始值来确定待定系数A1 1、A2 2或（或（K、）。不同的电路具有不同的初始值。）。不同的电路具有不同的初始值。 （4 4）把求出的待定系数代入到通解中，即为所求结果。若）把求出的待定系数代入到通解中，即为所求结果。若求其它变量（电流、电压），一般根据元件的的约束关系列
48、写求其它变量（电流、电压），一般根据元件的的约束关系列写方程求解得到。如方程求解得到。如i= =Cd duC C/ /d dt等。等。 （5 5）注意整个求解过程并未涉及如何求解二阶方程。）注意整个求解过程并未涉及如何求解二阶方程。7 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应零状态响应：二阶电路的初始储能为零零状态响应：二阶电路的初始储能为零( (即电容两端的电压和即电容两端的电压和 电感中的电流都为零电感中的电流都为零) )，仅有外施激励引起的响，仅有外施激励引起的响 应称为零状态响应。应称为零状态响应。一一. .二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应: :以以RL
49、C电路为例电路为例: :dtduRCRidtudLCdtdiLudtduCiccLc R22u 以以uC为未知量为未知量, ,则则: :_RLiuL+ +- -S(t=0)uc+_+uR_Csu+列写列写KVL列方程列方程, ,有有: :ScccUudtduRCdtudLC 22特解为特解为: :* * * *此方程为二阶常系数非齐次微分方程。方程的解由此方程为二阶常系数非齐次微分方程。方程的解由非齐次方程的非齐次方程的特解特解和对应的齐次方程的和对应的齐次方程的通解通解构成。构成。. 的的稳稳态态解解相相当当于于电电压压CscuUu齐次方程的特征方程为齐次方程的特征方程为: :012 RCp
50、LCp其特征根为其特征根为: :LC)LR(LRp,122221 分分00或或1.1.二阶电路的零状态响应仍有非振荡，振荡，临界三种状态。二阶电路的零状态响应仍有非振荡，振荡，临界三种状态。2.2.全解由特解和对应的齐次方程的通解组成，即稳态解为特解，全解由特解和对应的齐次方程的通解组成，即稳态解为特解， 而通解与零输入响应形式相同。而通解与零输入响应形式相同。3.3.根据初始条件确定积分常数，写出全解。根据初始条件确定积分常数，写出全解。).(),(),( .0, 0)0(, 0)0( ,10,1,10,20,tutitutiuFCmHLRVULcLcS求求开开关关闭闭合合时时刻刻, ,当当
