1、1. 引言引言(introduction)2. 均匀随机数的产生均匀随机数的产生(Random number generation)3. 任意分布的随机变量的抽样任意分布的随机变量的抽样4. Monte Carlo积分法积分法5. 常用常用Monte Carlo模拟软件的使用模拟软件的使用2022-5-301Monte Carlo模拟第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-5-302Monte Carlo模拟2022-5-303Monte Carlo模拟亦称统计模拟方法（亦称统计模拟方法（statistical simulation method）一种采用统计抽样理论近似地
2、求解物理或数学问一种采用统计抽样理论近似地求解物理或数学问题的方法题的方法2022-5-304Monte Carlo模拟1. 建立与待解问题相似或相关联的概率模型或概率过程，建立与待解问题相似或相关联的概率模型或概率过程，利用这种相似性把概率模型的某些特征量与待求解问题利用这种相似性把概率模型的某些特征量与待求解问题的解联系起来：的解联系起来：概率模型：概率模型：待求解问题的解：待求解问题的解：随机事件的概率随机事件的概率定积分的值定积分的值随机变量的数学期望值随机变量的数学期望值微分方程的解微分方程的解2. 对概率模型进行随机模拟或统计抽样，用所得样本得到对概率模型进行随机模拟或统计抽样，用
3、所得样本得到这些特征量的估计值这些特征量的估计值问题的近似解问题的近似解第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-5-305Monte Carlo模拟2022-5-306Monte Carlo模拟1768年，法国数学家年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估利用投针实验估计计 的值的值dLp2dL2022-5-307Monte Carlo模拟Problem of Buffons needle:If a needle of length l is dropped at random on the middle of a horizontal surface r
4、uled with parallel lines a distance d l apart, what is the probability that the needle will cross one of the lines?2022-5-308Monte Carlo模拟Solution: The positioning of the needle relative to nearby lines can be described with a random vector which has components:),0),0dA The random vector is uniforml
5、y distributed on the region 0,d)0,). Accordingly, it has probability density function 1/d. The probability that the needle will cross one of the lines is given by the integraldldAdpld20sin01 2022-5-309Monte Carlo模拟 1930年年,利用利用Monte Carlo方法研究中子的扩散方法研究中子的扩散 并设计了一个并设计了一个Monte Carlo机械装置，机械装置，Fermiac,用于计
6、算核用于计算核反应堆的临界状态反应堆的临界状态2022-5-3010Monte Carlo模拟S. Ulam is credited as the inventor of Monte Carlo method in 1940s, which solves mathematical problems using statistical sampling.2022-5-3011Monte Carlo模拟The algorithm by Metropolis (and A Rosenbluth, M Rosenbluth, A Teller and E Teller, 1953) has been
7、cited as among the top 10 algorithms having the greatest influence on the development and practice of science and engineering in the 20th century. 2022-5-3012Monte Carlo模拟Metropolis coined the name “Monte Carlo”, from its gambling Casino.Monte-Carlo, Monaco第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-5-3013Monte C
8、arlo模拟2022-5-3014Monte Carlo模拟Monte Carlo模拟的应用：模拟的应用：自然现象的模拟：自然现象的模拟：宇宙射线在地球大气中的传输过程；宇宙射线在地球大气中的传输过程；高能物理实验中的核相互作用过程；高能物理实验中的核相互作用过程；实验探测器的模拟实验探测器的模拟数值分析：数值分析：利用利用Monte Carlo方法求积分方法求积分2022-5-3015Monte Carlo模拟Monte Carlo模拟在物理研究中的作用模拟在物理研究中的作用2022-5-3016Monte Carlo模拟注意以下两点：注意以下两点：qMonte Carlo方法与数值解法的不
9、同方法与数值解法的不同:Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理方法利用随机抽样的方法来求解物理问题问题;数值解法数值解法:从一个物理系统的数学模型出发从一个物理系统的数学模型出发,通过通过求解一系列的微分方程来的导出系统的未知状态求解一系列的微分方程来的导出系统的未知状态;qMonte Carlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题:许多利用许多利用Monte Carlo方法进行求解的问题中并不包含随方法进行求解的问题中并不包含随机过程机过程 例如例如:用用Monte Carlo方法计算定积分方法计算定积分. 对这样的问题可将其转换成
10、相关的随机过程对这样的问题可将其转换成相关的随机过程, 然后用然后用Monte Carlo方法进行求解方法进行求解第一章第一章 引言引言（Introduction)2022-5-3017Monte Carlo模拟2022-5-3018Monte Carlo模拟Monte Carlo模拟的步骤：模拟的步骤：1. 根据欲研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性根据欲研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；的理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模从概率密度函数出发进行随机抽样，
11、得到特征量的一些模拟结果；拟结果；3. 对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。2022-5-3019Monte Carlo模拟Monte Carlo算法的主要组成部分算法的主要组成部分概率密度函数概率密度函数(pdf)随机数产生器随机数产生器抽样规则抽样规则模拟结果记录模拟结果记录记录一些感兴趣的量的模拟结果记录一些感兴趣的量的模拟结果如何从在区间如何从在区间0,1上均匀分布的随机数出发上均匀分布的随机数出发,随机抽随机抽取服从给定的取服从给定的pdf的随机变量的随机变量;能够产生在区间能够产生在区间0,1上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数;2022-5-3020Monte Carlo模拟误差估计误差估计减少方差的技术减少方差的技术并行和矢量化并行和矢量化可以在先进的并行计算机上运行的有效算法可以在先进的并行计算机上运行的有效算法利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些量的变化；量的变化；
