1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 空间几何体的表面积和体积 A组 基础题组 1.(2018 北京朝阳期中 )一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积为 ( ) A.180 B.200 C.220 D.240 3.(2017 北京朝阳期末 )某四棱锥的三视图如图所示 ,其俯视图为等腰直角三角形 ,则该四棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 4.正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为 ,D为 BC中 点 ,则三棱锥 A-B1DC1的体积为 ( ) A.3 B. C.1
2、 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.如图 ,平面四边形 ABCD中 ,AB=AD=CD=1,BD= ,BDCD, 将其沿对角线 BD折成四面体 A-BCD,使平面ABD 平面 BCD,若四面体 A-BCD的顶点在同一个球面上 ,则该球的表面积为 ( ) A.3 B. C.4 D. 6.在棱长为 3的正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,P 在线段 BD1上 ,且 = ,M为线段 B1C1上的动点 ,则三棱锥 M-PBC的体积为 . 7.(2016 北京东城二模 )已知一个三棱锥的三视图如图所示 ,其中俯视图是等腰直角三角形 ,则该三棱锥的四个面中面积最大为 . 8.已知 H是球 O
3、的直径 AB上一点 ,AHHB=12,AB 平面 ,H 为垂足 , 截球 O所得截面的面积为 ,则球 O的表面积为 . 9.(2017 北京东城一模 )如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,四边形 ABCD是平行四边形 ,ADBD 且AD=BD,ACBD=O,PO 平面 ABCD. (1)E为棱 PC 的中点 ,求证 :OE 平面 PAB; (2)求证 :平面 PAD 平面 PBD; (3)若 PDPB,AD=2, 求四棱锥 P-ABCD的体积 . B组 提升题组 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图 ,则此几何体的体积为 (
4、 ) A.6 B.9 C.12 D.18 11.一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 12.(2015课标 ,10,5 分 )已知 A,B是球 O的球面上两点 ,AOB=90,C 为该球面上的动点 .若三棱锥O-ABC体积的最大值为 36,则球 O的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256 13.(2015北京朝阳一模 )一个四棱锥的三视图如图所示 ,其中侧视图为正三角形 ,则该四棱锥的体积是 ,四棱锥中侧面面积最大的是 . 14.(2017北京东城二模 )如图 ,在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E为体对角线
5、 B1D上的一点 ,M,N为面对角线 AC上的两个动点 ,且线段 MN的长度为 1. (1)当 N 为面对角线 AC的中点且 DE= 时 ,三棱锥 E-DMN 的体积是 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当三棱锥 E-DMN的体积为 时 ,DE= . 15.如图 ,菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD上 ,AE=CF,EF交 BD 于点 H.将 DEF沿 EF折到 DEF 的位置 . (1)证明 :ACHD; (2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D-ABCFE的体积 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析
6、 A组 基础题组 1.A 由几何体的三视图知 ,该几何体是由两个四棱柱组成的几何体 ,其体积 V= (1+2)2+112=5,故选 A. 2.D 由三视图知该几何体是如图所示的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1. =210=20, =(3+2+3)10=80, S 四边形 ABCD= = (2+8)4=20, = =105=50, 该几何体的表面积 =20+80+220+250=240. 故选 D. 3.C 还原几何体如图中四棱锥 P-ABCD所示 , AD= ,AP= ,ADAP,AP 为四棱锥的高 , 故四棱锥的体积为 2 = ,故答案为 C. 4.C 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中
7、, ADBC,ADBB 1,BB1BC=B, AD 平面 B1DC1, =【 ;精品教育资源文库 】 = = AD = 2 =1,故选 C. 5.A 由题意可得 BD=AC= ,BC= ,BDC 与 ABC 都是以 BC为斜边的直角三角形 ,由此可得 BC中点到 A,B,C,D四个点的距离相等 ,故可得该三棱锥的外接球的直径为 ,所以该外接球的表面积S=4 =3. 6. 答案 解析 = , 点 P到平面 BC1C的距离是点 D1到平面 BC1C距离的 , 即为 =1,M 为线段 B1C1上的点 , S MBC = 33= ,V M-PBC=VP-MBC= 1= . 7. 答案 2 解析 由三视
8、图将三棱锥还 原到长方体中 ,如图 . 易知该长方体的长为 2 ,宽为 ,高为 2, 又 ABC 为等腰直角三角形 , =【 ;精品教育资源文库 】 = AB=AC=2,PB=PC=2 , S ABC = 22=2, 且 PBC 为边长为 2 的正三角形 , PBC 的高为 2 = , S PBC = 2 =2 , 又 SPAB = 22=2, SPAC = 22=2, 所求最大面积为 2 . 8. 答案 解析 如图 ,设截面小圆的半径为 r,球的半径为 R,因为 AHHB=12, 所以 OH= R.由勾股定理 ,有R2=r2+OH2,又由题意得 r 2=, 则 r=1,故 R2=1+ , 即
9、 R2= .由球的表面积公式 ,得所求表面积 S=4 R2= . 9. 解析 (1)证明 :因为 O是平行四边形 ABCD对角线的交点 ,所以 O为 AC的中点 ,又 E为棱 PC的中点 ,所以 OE PA. 因为 OE?平面 PAB,PA?平面 PAB, 所以 OE 平面 PAB. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)证明 :因为 PO 平面 ABCD, 所以 PO AD. 又 BD AD,BD PO=O, 所以 AD 平面 PBD,因为 AD?平面 PAD, 所以平面 PAD 平面 PBD. (3)因为 O是平行四边形 ABCD 对角线的交点 , 所以 O为 BD的中点 . 又 PD
10、PB,AD=BD=2, 所以 PO= BD=1. 因为 PO 平面 ABCD, 所以 VP-ABCD= S 四边形 ABCD PO. S 四边形 ABCD=2S ABD=2 2 2=4, 所以 VP-ABCD= S 四边形 ABCD PO= 4 1= . B组 提升题组 10.B 由三视图可得 ,该几何体为如图所示的三棱锥 ,其底面 ABC为等腰直角三角形且 BA=BC,AC=6,AC边上的高为 3,SB 底面 ABC,且 SB=3,所以该几何体的体积 V= 6 3 3=9.故选 B. 11.D 该几何体可 视为正方体截去两个三棱锥所得 ,所以其体积为 8- - = .故选 D. 12.C A
11、OB的面积为定值 ,当 OC垂直于平面 AOB时 ,三棱锥 O-ABC的体积取得最大值 .由 R3=36得 R=6.从而球 O的表面积 S=4 R2=144 .故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 13. 答案 ; 解析 该四棱锥的直观图如图所示 , 其中 ,平面 ABE 平面 BCDE,BCDE是边长为 1的正方形 ,四棱锥的高为 ,四棱锥中面积最大的侧面的面积为 ACD的面积 ,易求得 S ACD= . 四棱锥的体积为 1 1 = . 14. 答案 (1) (2) 解析 易知点 D到 AC 的距离为 ,故 DMN的面积为定值 1= . 设三棱锥 E-DMN的高为 h, 则 sin
12、B1DB= = = , 则 h= DE, 故三棱锥 E-DMN的体积 = DE= DE. 故 (1)当 DE= 时 ,三棱锥 E-DMN的体积 = . (2)当三棱锥 E-DMN的体积 = 时 ,DE= . 15. 解析 (1)证明 :由已知得 AC BD, =【 ;精品教育资源文库 】 = AD=CD. 又由 AE=CF得 = , 故 AC EF.由此得 EF HD,EF HD, 所以 AC HD. (2)由 EF AC得 = = . 由 AB=5,AC=6得 DO=BO= =4. 所以 OH=1,DH=DH=3. 于是 OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2, 故 OD OH. 由 (1)知 AC HD, 又 AC BD,BD HD=H, 所以 AC 平面 BHD,于是 AC OD. 又由 OD OH,AC OH=O, 所以 OD 平面 ABC. 又由 = 得 EF= . 五边形 ABCFE的面积 S= 6 8- 3= . 所以五棱锥 D-ABCFE的体积 V= 2 = .
