1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考数学一轮复习圆锥曲线与方程专题检查试题及答案 02 三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17过点 C(0， 1)的椭圆 22 1 ( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 32，椭圆与 x轴交于两点 (,0)Aa 、( ,0)Aa? ，过点 C的直线 l与椭圆交于另一点 D，并与 x轴交于点 P，直线 AC与直线 BD交于点 Q (I） 当直线 l过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长； ( ）当点 P异于点 B时，求证： OPOQ? 为定值 【答案】（ ）由已知得 31,2cb a?，解得 2a?
2、 ，所以椭圆方程为 2 2 14x y? 椭圆的右焦点为 ( 3,0) ，此时直线 l 的方程为 3 13yx? ?，代入椭圆方程得 27 8 3 0xx?， 解得12830, 7xx?，代入直线 l 的方程得 1211, 7yy? ?，所以 8 3 1( , )77D ?， 故 228 3 1 1 6| | ( 0 ) ( 1 )7 7 7CD ? ? ? ? ? ? ( ）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符 设直线 l 的方程为 11( 0 )2y kx k k? ? ? ?且代入椭圆方程得 22(4 1) 8 0k x kx? ? ? 解得12 280, 41kxx k? ?，代入直
3、线 l 的方程得 212 2141, 41kyy k? ?， 所以 D点的坐标为 2228 1 4( , )4 1 4 1kkkk? =【 ;精品教育资源文库 】 = 又直线 AC的方程为 12x y?，又直线 BD的方程为 12( 2)24kyxk?，联立得 4,2 1.xkyk? ?因此 ( 4 ,2 1)Q k k?，又 1( ,0)Pk? 所以 1( , 0 ) ( 4 , 2 1 ) 4O P O Q k kk? ? ? ? ? ? 故 OPOQ? 为定值 18已知双曲线 C： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 233 ，且过点 P（ 6 ， 1）求出
4、此双曲线 C的方程； 【答案】 2 2 13x y? 19已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1( )0 22， ?， F2（ 0，2），且离心率e?2 23。 (I）求椭圆的方程； (II） 直线 l（与坐标 轴不平行）与椭圆交于不同的两点 A、 B，且线段 AB中点的横坐标为?2，求直线 l的斜率的取值范围。 【答案】（ I）设椭圆方程为 ya xb c ca2222 1 2 2 2 23? ? ? ?，由已知 ，又解得 a=3，所以 b=1，故所求方程为 y x2 29 1? ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 k k? ? ?3 3或 又直线 l与坐标轴不平行 故直线 l斜率的取值
5、范围是 k k k? ? ?3 3或 20在平面直角坐标系 xoy 中，经过点 ? ?0, 2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2 2 12x y?有两个不同的交点 PQ和 . (1）求实数 k 的取值范围； (2）设椭圆与 x 轴正半轴， y 轴正半轴的交点分别为 ,AB，是否存在常数 k ，使得向量OP OQ AB? 与 共线？如果存在，求 k 的值；如果不 存在，请说明理由 . 【答案】 (2）设 1 1 2 2( , ), ( , ),P x y Q x y则 1 2 1 2( , ) ,O P O Q x x y y? ? ? ? 由方程，知12 24212kxx k? ? ? ?
6、， 又1 2 1 2 222( ) 2 2 12y y k x x k? ? ? ? ? ?， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 ( 2, 0), (0,1),AB得 ( 2,1)AB? . OP OQ AB? 与 共线等价于 1 2 1 22 ( ),x x y y? ? ? ?将代入，解得 2.2k? 由知 2 ,2k ? 2或 k 2故不存在符合题意的常数 k 21若直线 l： 0? cmyx 与抛物线 xy 22? 交于 A、 B两点， O点是坐标原点。 (1)当 m= 1,c= 2时，求证： OA OB； (2)若 OA OB，求证：直线 l恒过定点；并求出这个定点坐标。 (3)
7、当 OA OB时，试问 OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。 【答案】设 A(x1,y1)、 B(x2,y2)，由? ? ? 2 02 xy cmyx得 0222 ? cmyy 可知 y1+y2= 2m y1y2=2c x1+x2=2m2 2c x1x2= c2, (1) 当 m= 1,c= 2时， x1x2 +y1y2=0 所以 OA OB. (2) 当 OA OB时， x1x2 +y1y2=0 于是 c2+2c=0 c= 2(c=0不合题意 ),此时，直线 l：02 ?myx 过定点 (2,0). (3) 由题意 AB的中点 D(就是 OAB外接圆圆心 )到原点的距离就
8、是外接圆的半径。 ),( 2 mcmD ? 而 (m2 c+21 )2 (m2 c)2+m2 = c?41 由 (2)知 c= 2 圆心到准线的距离 大于半径 ,故 OAB的外接圆与抛物线的准线相离。 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为 F（ 1， 0）过抛物线在 x轴上方的不同两点 A 、 B 作抛物线的切线 AC 、 BD ，与 x 轴分别交于 C 、 D 两点，且 AC与 BD 交于点 M ，直线 AD 与直线 BC 交于点 N =【 ;精品教育资源文库 】 = (1） 求抛物线的标准方程； (2） 求证： MN ? x 轴； (3） 若直线 MN 与 x
9、 轴的交点恰为 F（ 1， 0），求证：直线 AB 过定点 【答案】（ 1）设抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p?， 由题意，得 12p? ，即 2p? 所以抛物线的标准方程为 2 4yx? (2）设 11( )Ax y， ， 22( )Bx y， ，且 1 0y? ， 2 0y? 由 2 4yx? （ 0y? ），得 2yx? ，所以 1yx? 所以切线 AC 的方程为1111 ()y y x xx? ? ?，即1112 ()y y x xy? ? ? 整理，得 112( )yy x x?， 且 C点坐标为 1( 0)x?， 同理得切线 BD 的方程为 222( )yy x x?， 且 D点坐标为 2( 0)x?， 由消去 y ，得 1 2 2 112Mx y x yx yy? ? 又直线 AD 的方程为 1212()yy x xxx?， 直线 BC 的方程为 2112()yy x xxx? 由消去 y ，得 1 2 2 112Nx y x yx yy? ? =【 ;精品教育资源文库 】 =
