1、1第四章第四章 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律质心系整体运动规律质心系整体运动规律质点系动量定理与守恒定律质点系动量定理与守恒定律任务：任务：力的时间累积规律力的时间累积规律质心运动定律质心运动定律应用举例：应用举例：变质量系统变质量系统本章以牛顿定律为基础本章以牛顿定律为基础，给出冲量、动量等概念的现给出冲量、动量等概念的现代定义以及关系。代定义以及关系。质点系质心运动质点系质心运动 质心系质心系 质心的特点与求法质心的特点与求法 质心与质心运动定律质心与质心运动定律 质点系的质心运动质点系的质心运动 2动画演示动画演示质点系质心与质心运动定律质点系质心与质心运动定律 2112
2、13112ddrFFFmt222123222ddrFFFmt233132332ddrFFFmt上述三式相加有：上述三式相加有：222312123123222ddddddrrrFFFmmmttt31Niimm推广多个质点组成的质点系：推广多个质点组成的质点系：iiF0ca22ddNiiCiCmaratm筛选法（大小土豆）筛选法（大小土豆）0F4质心运动定律：质心运动定律：22ddCiCirFFmmat质心位置矢量质心位置矢量: :Ni iiCm rrmddvv NiiCiCmrtm质心速度质心速度: :质心加速度质心加速度: :应用：应用：运动员、炮弹等的轨迹运动员、炮弹等的轨迹，自然界如没摩擦
3、力，自然界如没摩擦力的情形设想的情形设想质点系质心运动质点系质心运动 质心系质心系 质心的特点与求法质心的特点与求法 质心与质心运动定律质心与质心运动定律 质点系的质心运动质点系的质心运动 5质心的求法质心的求法 (1) (1) 分立质点系的质心分立质点系的质心 在直角坐标系下可以表示为：在直角坐标系下可以表示为： ,iiiiiiiiiCCCm xm ym zxyzmmm1Ni iiCmrrm6 例例4.1.2-1 4.1.2-1 、 、 三质点在某一时刻的位置坐三质点在某一时刻的位置坐标分别为标分别为: 、 、 , 的质量的质量是是 的两倍，而的两倍，而 的质量是的质量是 的两倍。求此时由的
4、两倍。求此时由此三质点组成的体系的质心的位置。此三质点组成的体系的质心的位置。ABD(3, 2,0)( 1,1,4)( 3, 8,6)ABBD系统质心的坐标系统质心的坐标: :(1, 2,2)解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得7432( 1)( 3)142AABBDDDDDcABDDDDmxmxmxmmmxmmmmmm 4( 2)2(1)( 8)242AABBDDDDDcABDDDDmymymymmmymmmmmm 4(0)2(4)(6)242AABBDDDDDcABDDDDmzmzmzmmmzmmmmmm(2) (2) 连续质点系的质心连续质点系的质
5、心 01limdii iiCNmmrrr mmm111d ,d ,dCCCxx m yy m zz mmmm在直角坐标系下可以表示为：在直角坐标系下可以表示为： 8例例4.1.2-24.1.2-2 求半径为求半径为 , ,质量分布均匀的半圆形薄板质量分布均匀的半圆形薄板的质心位置。设圆心在原点，薄板位于的质心位置。设圆心在原点，薄板位于 平面中的平面中的 的一侧。的一侧。(3) (3) 规则形状、密度均匀的物体的质心规则形状、密度均匀的物体的质心 RxOy0y 解：如例解：如例4.1.2-24.1.2-2图所示，设质心坐标为（图所示，设质心坐标为（ , , ），平板），平板的质量为的质量为 ,
6、 ,密度为密度为 。因为平板质量分布均匀，且圆心在因为平板质量分布均匀，且圆心在原点，由对称性知原点，由对称性知 。对于板边缘上。对于板边缘上的每一点有，的每一点有， 。CY0CX222xyR边边m9CX014(2d)3RRyym边边011d(2d)RcCYymyxymm边边边即质心位置为即质心位置为 。40,3R将半圆形板分割成无数个平行于将半圆形板分割成无数个平行于 轴的细条，每细条轴的细条，每细条的质心为的质心为 ，则系统的质心为：，则系统的质心为：0,Cyy边x10Cyy边dy边22Ry边 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每个物体的质心
7、，再用分立质点系质心的求法，求出公个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公共质心。共质心。例例4.1.2-34.1.2-3 如例如例4.1.2-34.1.2-3图所示，半径为图所示，半径为 、质量为、质量为 、 质量分布均匀的圆盘，沿某半径方向挖去半径为质量分布均匀的圆盘，沿某半径方向挖去半径为 的小圆的小圆盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。 2RRm(4) (4) 多个规则形状物体组成系统的质心多个规则形状物体组成系统的质心 11x,0Cxm)0 ,2(Rm解：由对称性可知，所求剩余部分质心在解：由对称性可知，所求剩余部分质心在 轴上，设轴上，设在（在（
8、）处。挖去的小圆盘（设质量为）处。挖去的小圆盘（设质量为 ）原来的）原来的质心位置为质心位置为 ，与所求剩余圆盘（设质量为，与所求剩余圆盘（设质量为 ）质）质心之和应为原点处，即心之和应为原点处，即 20CRm xmmm34mmmm221()24RmmmR6CRx 其中其中解得所求质心位置为：解得所求质心位置为： 12Cx质点系质心运动质点系质心运动 质心系质心系 质心的特点与求法质心的特点与求法 质心与质心运动定律质心与质心运动定律 质点系的质心运动质点系的质心运动 13质心系质心系 如图如图4.1.3-14.1.3-1所示，坐标原点始终跟随质心，坐所示，坐标原点始终跟随质心，坐标轴保持平行
9、。标轴保持平行。14例例4.1.3-14.1.3-1 质量分别为质量分别为 和和 的两个质点，用长为的两个质点，用长为 的轻绳连接，置于光滑的平面内，绳处于自然伸长的轻绳连接，置于光滑的平面内，绳处于自然伸长状态。现突然使状态。现突然使 获得与绳垂直的初速度获得与绳垂直的初速度 ，求此，求此时绳中的张力。时绳中的张力。1m2ml2m0v2m1m1m2m解：由于两个质点是自由置于光滑的平面上，所以解：由于两个质点是自由置于光滑的平面上，所以 获得初速度的瞬时，并不绕获得初速度的瞬时，并不绕 作圆周运动，而是绕二作圆周运动，而是绕二者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对者的质心作圆周运动。在
10、质心系（惯性系）下，对 , , 分别应用牛顿第二定律：分别应用牛顿第二定律：151m2m0vc其中，其中， 是是 相对质心的距离，相对质心的距离， 分别分别是是 和和 相对质心的速度，分别为：相对质心的速度，分别为：2212T1211vvCCFmmxlx121120Cmm lxmm1m12,v v1m2m1200,vvvvvCC2120T12v（）m mFmml 联立得：联立得：161m2m0vc1Cx1Clx120120vvCmmmm质心速度：质心速度：相对质心速度：相对质心速度：质点系运动定理质点系运动定理与守恒定律与守恒定律 质点系动量定理质点系动量定理 质心动量定理质心动量定理 质点系
11、动量守恒质点系动量守恒 质心系下质点系动量质心系下质点系动量 质点的动量定理质点的动量定理 质点系动量定理与守恒定律质点系动量定理与守恒定律17质点的动量定理质点的动量定理 由牛顿第二定律原始表达式：由牛顿第二定律原始表达式：对上式积分得：对上式积分得：质点的动量定理质点的动量定理: : 外力冲量等于质点动量的改变量外力冲量等于质点动量的改变量 d()( )vv tttF tmttmt18定义：定义： vPmdtttIF t 称为力在称为力在 时间内的冲量时间内的冲量t称为质点的动量称为质点的动量0.15040m/sv13550m/sv0.02例例4.2.1-1 4.2.1-1 一质量为一质量
12、为 千克的棒球以千克的棒球以 的水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但的水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但与原来方向成与原来方向成 角，大小为角，大小为 。 如果棒如果棒与球的接触时间为与球的接触时间为 s s，求棒对球的平均打击力。，求棒对球的平均打击力。解：建立如例解：建立如例4.2.1-14.2.1-1图所示坐图所示坐标系，以球为研究对象，应用标系，以球为研究对象，应用动量定理，动量定理，19x0(cos45 )vv xFtmm方向方向：ysin450v yFtm方向：方向：解得解得：22624 NxyFFF20质点系运动定理质点系运动定理与守恒定律与守恒定律 质点系
13、动量定理质点系动量定理 质心动量定理质心动量定理 质点系动量守恒质点系动量守恒 质心系下质点系动量质心系下质点系动量 质点的动量定理质点的动量定理 质点系动量定理与守恒定律质点系动量定理与守恒定律21质点系动量定理质点系动量定理 初态与末态初态与末态动画演示动画演示211213312332,FFFFFF 为质点之间的相互内力为质点之间的相互内力12131()dtttFFFt 21232()dtttFFFt 31323()dtttFFFt 221111()( )mttmt vv2222()( )mttmt vv3333()( )mttmt vv三式相加有：三式相加有：12311223311223
14、3()d()()() ( )( )( )tttFFFtmttmttmttmtmtmt vvvvvv0111d()( )vv NNttiiiiitiiiIF tmttmtpp同理，对同理，对 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：个质点组成的质点组进行类似推导可以得到： N231d ttitiIF t1vNiiipm定义：定义： 质点组总动量质点组总动量外力的冲量和外力的冲量和质点组动量定理：质点组动量定理：质点系所受合外力的冲量等于质点系质点系所受合外力的冲量等于质点系 动量的变化量动量的变化量0dttixxxtiFtpp 0dttiyyytiFtpp 0dttizzztiFtpp 在直角坐
15、标系下，质点系动量定理的分量形式可表示为：在直角坐标系下，质点系动量定理的分量形式可表示为：0mm1v2v例例4.2.2-14.2.2-1质量为质量为 的板静止于水平桌面上，板上放有的板静止于水平桌面上，板上放有一质量为一质量为 的小物体。当板在水平外力的作用下从小物的小物体。当板在水平外力的作用下从小物体下抽出时，物体与板的速度分别为体下抽出时，物体与板的速度分别为 和和 。已知各。已知各接触面之间的摩擦因数均相同，求在此过程中所加水平接触面之间的摩擦因数均相同，求在此过程中所加水平外力的冲量。外力的冲量。0021()()0vv 外Imm gtmm0mm解：对解：对 和和 构成的系统应用质点
16、系动量定理：构成的系统应用质点系动量定理： 10v mgtmm对对 应用动量定理应用动量定理: :联立得：联立得：0102(2 )vv外Immm24质点系运动定理质点系运动定理与守恒定律与守恒定律 质点系动量定理质点系动量定理 质心动量定理质心动量定理 质点系动量守恒质点系动量守恒 质心系下质点系动量质心系下质点系动量 质点的动量定理质点的动量定理 质点系动量定理与守恒定律质点系动量定理与守恒定律25质心动量定理质心动量定理由质心运动定律：由质心运动定律：22ddd()dddvvCCCiCirmFmmrmttt积分得：积分得： C00()dvv ttiCCCtiFtmmpp 也可以表示为：也可
17、以表示为： 质心动量定理：质心动量定理：合外力的冲量等于质心动量的增量合外力的冲量等于质心动量的增量因此，质点系的总动量既可以表示为：因此，质点系的总动量既可以表示为： 1vNiiipmvCpm26质点系运动定理质点系运动定理与守恒定律与守恒定律 质点系动量定理质点系动量定理 质心动量定理质心动量定理 质点系动量守恒质点系动量守恒 质心系下质点系动量质心系下质点系动量 质点的动量定理质点的动量定理 质点系动量定理与守恒定律质点系动量定理与守恒定律27质点系动量守恒质点系动量守恒 推论：推论：质心位置不变或质心速度不变质心位置不变或质心速度不变质心速度不变应用质心速度不变应用：台球台球+ +滑冰
18、接力滑冰接力若系统所受合外力为零，则若系统所受合外力为零，则, , 1vvNiiCipmmC28质心位置不变应用：质心位置不变应用：爆炸爆炸C0111d()( )NNttiiiiiCtiiiF tmttmtmm vvvv0动量守恒动量守恒, , mR2Rm例例4.2.4-14.2.4-1 如例如例4.2.4-14.2.4-1图所示，质量为图所示，质量为 ，半径为，半径为的球，放在一个质量相同，内半径为的球，放在一个质量相同，内半径为 的大球壳内。的大球壳内。它们置于一质量也为它们置于一质量也为 的槽的底部。槽置于光滑的水的槽的底部。槽置于光滑的水平面上。释放后，球最终静止于槽的底部，问此时槽移
19、平面上。释放后，球最终静止于槽的底部，问此时槽移动了多远？动了多远？解：水平方向动量守恒解：水平方向动量守恒, ,质心位置不变质心位置不变290203CmmRxm 33Cmxxm0CCxx解得：解得： 向右移动向右移动103xR例例4.1.2-24.1.2-2 一物体在光滑水平面上以一物体在光滑水平面上以 的速度沿的速度沿 正方向运动。当它到达坐标原点时，由于内部原因而突正方向运动。当它到达坐标原点时，由于内部原因而突然分裂成然分裂成5 5块碎片，其中块碎片，其中4 4块质量相等，而另一块的质量块质量相等，而另一块的质量为其它任一碎片的三倍。这些碎片均沿水平面继续运动为其它任一碎片的三倍。这些
20、碎片均沿水平面继续运动，经过，经过 后，大碎片的位置坐标为后，大碎片的位置坐标为 ，某一小碎，某一小碎片的位置坐标为片的位置坐标为 ，求由另三块小碎片组成的系统，求由另三块小碎片组成的系统的质心在此时的位置。的质心在此时的位置。x5m/s2s (15, 6)(4,9)30联立解得：另三块小碎片组成系统的质心位置坐标联立解得：另三块小碎片组成系统的质心位置坐标(7,3)23 (15)(4)3 ()=5t=5 233Ctsmxmxmxmmm xXmmmmmm大大小小其他其他其他大小其他31解：系统任意时刻质心可标记为：解：系统任意时刻质心可标记为：CCtCtrX iY j0t时，000,0CCXY
21、，005/,0CXCY米 秒vv系统动量守恒，因此，系统动量守恒，因此，00CtCYYY Y方向系统质心位置不变：方向系统质心位置不变：X X方向系统质心速度不变：方向系统质心速度不变：05CtCXXttv23 ( 6)(9)3033CtsmymymymmmyYmmmmmm大大小小其他其他其他大小其他解：以解：以 为研究对象，在碰撞过程中，尽管系统受为研究对象，在碰撞过程中，尽管系统受到地面的摩擦力和弹簧弹性力的作用，但是，这些外力到地面的摩擦力和弹簧弹性力的作用，但是，这些外力远小于内力，而且作用时间很短，近似认为系统动量守远小于内力，而且作用时间很短，近似认为系统动量守恒，即恒，即12,m
22、 m例例4.2.4-3 4.2.4-3 如例如例4.2.4-34.2.4-3图所示，子弹图所示，子弹 以初速度以初速度 水水平入射到静止的木块平入射到静止的木块 上（地面与木块之间有摩擦）。上（地面与木块之间有摩擦）。求入射后，求入射后， 的共同速度的共同速度 。1m0v2m12,m mv由此确定共同速度由此确定共同速度: :1012vvmmm321012()vvmmm其中，其中， ， 分别是木板和人相对地面的速度。分别是木板和人相对地面的速度。vv人例例4.2.4-44.2.4-4 置于冰面上长为置于冰面上长为 、质量为、质量为 的均匀分的均匀分布的木板，板右端站质量也为布的木板，板右端站质
23、量也为 的人（视为质点）。当的人（视为质点）。当人相对板以人相对板以 向左运动，求板运动速度向左运动，求板运动速度 与人运动速与人运动速度的关系。度的关系。lmmuv解：以木板和人为研究对象，系统在水平方向动量守恒解：以木板和人为研究对象，系统在水平方向动量守恒330vv人mmvv 人u相对速度关系：相对速度关系：联立解得：联立解得：2v u质点系运动定理质点系运动定理与守恒定律与守恒定律 质点系动量定理质点系动量定理 质心动量定理质心动量定理 质点系动量守恒质点系动量守恒 质心系下质点系动量质心系下质点系动量 质点的动量定理质点的动量定理 质点系动量定理与守恒定律质点系动量定理与守恒定律34
24、质心系下质点系动量质心系下质点系动量因此，无论质心系是惯性系，还是非惯性系，质心系下因此，无论质心系是惯性系，还是非惯性系，质心系下质点组的总动量均守恒，即质点组的总动量均守恒，即在任何参考系下，质点系的动量定理可以统一表示为：在任何参考系下，质点系的动量定理可以统一表示为：0dCCFtpp外惯（+F ）35对于质心参考系（平动非惯性系）：对于质心参考系（平动非惯性系）：()iCFma惯亦即，亦即，0F外惯+F 0CCppC其恒量其恒量 值为多少？值为多少？CiCma F 由此得出结论：由此得出结论：无论质心系是否是惯性系，质心系下质点系的总动量无论质心系是否是惯性系，质心系下质点系的总动量始
25、终为零始终为零 。在质心系下，由动量的定义：在质心系下，由动量的定义： iiCm v质心系下质点系的质心位置，因此，质心系下质点系的质心位置，因此，0C 36d=di im rtd()di im rmtm037第四章第四章 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律质心系整体运动规律质心系整体运动规律质点系动量定理与守恒定律质点系动量定理与守恒定律任务：任务：力的时间累积规律力的时间累积规律质心运动定律质心运动定律应用举例：应用举例：变质量系统变质量系统本章知识单元与知识点小结本章知识单元与知识点小结质点系动量定理应用质点系动量定理应用变质量质点系运动方变质量质点系运动方程应用举例程应用举例
26、 变质量系统动力学方程变质量系统动力学方程3839变质量系统动力学方程变质量系统动力学方程以火箭发射为例以火箭发射为例主体：主体：某时刻火箭本身的总质量某时刻火箭本身的总质量附体：附体：某某 时间段内，离开火箭本身的微小质量时间段内，离开火箭本身的微小质量相对速度：相对速度：附体相对主体的离开速度附体相对主体的离开速度u需要解决的两个问题：需要解决的两个问题：1.1.附体与主体之间的相互作用力附体与主体之间的相互作用力2.2.主体（变质量）所满足的动力学方程主体（变质量）所满足的动力学方程0( ) tmdt000()( )tdtm tdm dm= -(m401.1.附体与主体之间的相互作用力求
27、法如下：附体与主体之间的相互作用力求法如下：以附体为研究对象，以附体为研究对象，以以 和和 时刻为初末态，对附体应用动量定理时刻为初末态，对附体应用动量定理t设设 时刻与主体具有相同的速度时刻与主体具有相同的速度tv 时刻，以相对速度时刻，以相对速度 离开主体离开主体u 时刻，主体的速度为时刻，主体的速度为v+dvdd ()d ( )Ftmdum 主-附vv+v解得：解得：0ddddmmFuutt主-附 t+dtt+dtt+dt4141变质量系统动力学方程变质量系统动力学方程以火箭发射为例以火箭发射为例主体：主体：某时刻火箭本身的总质量某时刻火箭本身的总质量附体：附体：某某 时间段内，离开火箭
28、本身的微小质量时间段内，离开火箭本身的微小质量相对速度：相对速度：附体相对主体的离开速度附体相对主体的离开速度u需要解决的两个问题：需要解决的两个问题：1.1.附体与主体之间的相互作用力附体与主体之间的相互作用力2.2.主体（变质量）所满足的动力学方程主体（变质量）所满足的动力学方程0( ) tmdt000()( )tdtm tdm dm= -(m42422.2.主体（变质量）所满足的动力学方程求法如下：主体（变质量）所满足的动力学方程求法如下：以以主体主体+ +附体附体为研究对象，为研究对象，以以 和和 时刻为初末态，时刻为初末态，t可得：可得：00ddddmFumttvt+dt00d(d
29、)(d )() F tmmdmdumvvvv+v利用利用 ，整理得：，整理得：0dm dm0ddddmmFFuutt附-主主-附 0ddddmmFuutt主-附 由前面结果：由前面结果：主体满足的方程：主体满足的方程：0ddFFmt附-主v对对主体主体+ +附体附体应用动量定理应用动量定理无论是附体离开或者进入主体，其主附体之间的作用力无论是附体离开或者进入主体，其主附体之间的作用力主体（变质量系统）所满足的动力学方程：主体（变质量系统）所满足的动力学方程：可以一般性证明，得出结论：可以一般性证明，得出结论：430ddmFFut附-主主-附 0ddFFmt附-主v由此可以看出，只要将附体的作用
30、力作为变质量系统由此可以看出，只要将附体的作用力作为变质量系统的外力，对于主体而言，仍然可以取牛顿第二定律方的外力，对于主体而言，仍然可以取牛顿第二定律方程的形式，只不过系统的质量程的形式，只不过系统的质量 是变量是变量0m质点系动量定理应用质点系动量定理应用变质量质点系运动方变质量质点系运动方程应用举例程应用举例 变质量系统动力学方程变质量系统动力学方程44例子，例子，将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高出盒底后从高出盒底 处将小钢珠以每秒处将小钢珠以每秒 个的速率由静止开个的速率由静止开始掉入盒内，每一小钢珠的质量为始掉入盒内，每一
31、小钢珠的质量为 。若钢珠与盒底碰。若钢珠与盒底碰撞后即静止，忽略小球在空中的时间，试求自钢珠落入盒撞后即静止，忽略小球在空中的时间，试求自钢珠落入盒内起，经过内起，经过 秒后秤的读数。秒后秤的读数。45hBmt解：解： 秒时秤盘受力为落下钢珠的秒时秤盘受力为落下钢珠的重力重力与与冲击力冲击力之和之和t重力：重力：2mgBtmBghmgBt由：由：0ddmFut主-附 得冲击力：得冲击力：d()22dBmtFghBmght主-附 秤盘读数：秤盘读数：变质量系统动力学方程应用举例变质量系统动力学方程应用举例例例4.3.2-1 4.3.2-1 火箭发射，沿地面向上，求火箭发射的推力火箭发射，沿地面向上，求火箭发射的推力及火箭的速度。及火箭的速度。46解：以火箭主体为研究对象，应用变质量动力学方程解：以火箭主体为研究对象，应用变质量动力学方程ddmgFFmt附-主阻力vddmFut附-主 0F阻力dddvmg tum整理得：整理得：忽略阻力：忽略阻力：积分得：积分得：00lnmgtumv= v本章知识单元和知识点小结本章知识单元和知识点小结 47
