1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 直线与圆锥曲线的位置关系 1.了解圆锥曲线的简单应用 . 2.理解数形结合的思想 . 3.能解决直线与圆锥曲线的位置关系等问题 . 掌握 15,4分 21,15分 22(文 ), 约 8分 16,4分 21,15分 22(文 ), 约 7分 19,约 7分 15(文 ),4分 19(文 ), 约 7分 19(1),8分 19(2)(文), 9分 21,15分 分析解读 1.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的常考内容 ,常以解答
2、题的形式呈现 ,试题具有一定的难度 . 2.直线与圆锥曲线的位置关系综合性较强 ,要注重与一元二次方程中的判别式、韦达定理、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合 . 3.预计 2019年高考中 ,仍将以直线与圆锥曲线的位置关系等问题为重点进行考查 . 五年高考 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2017课标全国 文 ,12,5 分 )过抛物线 C:y2=4x的焦点 F,且斜率为 的直线交 C于点 M(M在 x轴的上方 ),l为 C的准线 ,点 N在 l上且 MNl, 则 M到直线 NF的距离为 ( ) A. B.2 C.2 D.3 答案 C 2.(2017课标全国 理 ,10,5 分
3、 )已知 F为抛物线 C:y2=4x 的焦点 ,过 F作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C交于 A,B两点 ,直线 l2与 C交于 D,E两点 ,则 |AB|+|DE|的最小值为 ( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A 3.(2014辽宁 ,10,5分 )已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px的准线上 ,过点 A的直线与 C在第一象限相切于点 B,记 C的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为 ( ) A. B. C. D. 答案 D 4.(2014四川 ,10,5分 )已知 F为抛物线 y2=x的焦点 ,点 A,B在该抛物线上且位于 x轴的两侧 , =2
4、(其中 O为坐标原点 ),则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 ( ) A.2 B.3 C. D. 答案 B 5.(2014课标 ,10,5 分 )设 F为抛物线 C:y2=3x的焦点 ,过 F且倾斜角为 30 的直线交 C于 A,B两点 ,O 为坐标原点 ,则 OAB 的面积为 ( ) A. B. C. D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 6.(2015江苏 ,12,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,P为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点 .若点 P到直线 x-y+1=0的距离大于 c恒成立 ,则实数 c的最大值为 . 答案 7.(2015浙江文 ,19,15分
5、 )如图 ,已知抛物线 C1:y= x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O的直线PA,PB分别与抛物线 C1和圆 C2相切 ,A,B为切点 . (1)求点 A,B的坐标 ; (2)求 PAB 的面积 . 注 :直线与抛物线有且只有一个公共点 ,且与抛物线的对称轴不平行 ,则称该直线与抛物线相切 ,称该公共点为切点 . 解析 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在 ,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t), 由 消去 y,整理得 : x2-4kx+4kt=0, 由于直线 PA 与抛物线相切 ,得 k=t. 因此 ,点 A的坐标为 (2t,t2). 设
6、圆 C2的圆心为 D(0,1),点 B的坐标为 (x0,y0),由题意知 :点 B,O关于直线 PD对称 ,故 解得 因此 ,点 B的坐标为 . (2)由 (1)知 |AP|=t , 和直线 PA的方程 tx-y-t2=0. 点 B到直线 PA的距离是 d= , 设 PAB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|d= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.(2017天津理 ,19,14分 )设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 .已知 A是抛物线y2=2px(p0)的焦点 ,F 到抛物线的准线 l的距离为 . (1)求椭圆的方程和抛物线的方程 ; (2)
7、设 l上两点 P,Q关于 x轴对称 ,直线 AP与椭圆相交于点 B(B异于点 A),直线 BQ与 x轴相交于点 D.若 APD的面积为 ,求直线 AP的方程 . 解析 本小题主要考查椭圆、抛物线的标准方程和几何性质 ,直线方程等基础知识 .考查用代数方法研究圆锥曲线的性 质 .考查运算求解能力 ,以及用方程思想解决问题的能力 . (1)设 F的坐标为 (-c,0).依题意 , = , =a,a-c= ,解得 a=1,c= ,p=2,于是 b2=a2-c2= . 所以 ,椭圆的方程为 x2+ =1,抛物线的方程为 y2=4x. (2)设直线 AP的方程为 x=my+1(m0), 与直线 l的方程
8、 x=-1联立 ,可得点 P ,故 Q .将 x=my+1与x2+ =1联立 ,消去 x,整理得 (3m2+4)y2+6my=0,解得 y=0或 y= .由点 B异于点 A,可得点 B .由Q ,可得直线 BQ的方程为 (x+1)- =0,令 y=0,解得 x= ,故 D .所以|AD|=1- = .又因为 APD 的面积为 ,故 = ,整理得 3m2-2 |m|+2=0,解得 |m|= ,所以m= . 所以 ,直线 AP的方程为 3x+ y-3=0或 3x- y-3=0. 9.(2016课标全国 ,20,12 分 )已知椭圆 E: + =1的焦点在 x轴上 ,A是 E的左顶点 ,斜率为 k(
9、k0)的直线交 E于 A,M两点 ,点 N在 E上 ,MANA. (1)当 t=4,|AM|=|AN|时 ,求 AMN 的面积 ; (2)当 2|AM|=|AN|时 ,求 k的取值范围 . 解析 (1)设 M(x1,y1),则由题意知 y10. 当 t=4时 ,E 的方程为 + =1,A(-2,0).(1分 ) 由已知及椭圆的对称性知 ,直线 AM 的倾斜角为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此直线 AM 的方程为 y=x+2.(2分 ) 将 x=y-2代入 + =1得 7y2-12y=0. 解得 y=0或 y= ,所以 y1= .(4分 ) 因此 AMN 的面积 SAMN =2 =
10、.(5分 ) (2)由题意知 ,t3,k0,A(- ,0).将直线 AM的方程 y=k(x+ )代入 + =1得 (3+tk2)x2+2 tk 2x+t2k2-3t=0.(7分 ) 由 x1( - )= 得 x1= , 故 |AM|=|x1+ | = .(8分 ) 由题设 ,直线 AN的方程为 y=- (x+ ), 故同理可得 |AN|= .(9分 ) 由 2|AM|=|AN|得 = ,即 (k3-2)t=3k(2k-1). 当 k= 时上式不成立 ,因此 t= .(10分 ) t3等价于 = 0). (1)若直线 l过抛物线 C的焦点 ,求抛物线 C的方程 ; (2)已知抛物线 C上存在关于
11、直线 l对称的相异两点 P和 Q. 求证 :线段 PQ的中点坐标为 (2-p,-p); 求 p的取值范围 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 , 由点 在直线 l:x-y-2=0 上 ,得 -0-2=0,即 p=4. 所以抛物线 C的方程为 y2=8x. (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点 M(x0,y0). 因为点 P和 Q关于直线 l对称 ,所以直线 l垂直平分线段 PQ, 于是直线 PQ 的斜率为 -1,则可设其方程为 y=-x+b. 证明 :由 消去 x得 y2+2py-2pb=0.(*) 因为 P和
12、 Q是抛物线 C上的相异两点 ,所以 y1y 2, 从而 =(2p) 2-4( -2pb)0,化简得 p+2b0. 方程 (*)的两根为 y1,2=-p ,从而 y0= =-p. 因为 M(x0,y0)在直线 l上 ,所以 x0=2-p. 因此 ,线段 PQ的中点坐标为 (2-p,-p). 因为 M(2-p,-p)在直线 y=-x+b上 , 所以 -p=-(2-p)+b,即 b=2-2p. 由 知 p+2b0,于是 p+2(2-2p)0,所以 pb0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为 ,点 M在椭圆上且位于第一象限 ,直线 FM被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c,|FM|= . (1
13、)求直线 FM的斜率 ; (2)求椭圆的方程 ; (3)设动点 P在椭圆上 ,若直线 FP 的斜率大于 ,求直线 OP(O为原点 )的斜率的取值范围 . 解析 (1)由已知有 = ,即 a2=3c2,又由 a2=b2+c2,可得 b2=2c2. 设直线 FM的斜率为 k(k0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c).由已知 ,有 + = ,解得 k= . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)得椭圆方程为 + =1,直线 FM的方程为 y= (x+c),两个方程联立 ,消去 y,整理得 3x2+2cx-5c2=0,解得 x=- c或 x=c.因为点 M在第一象限 ,可得 M的坐
14、标为 . 由 |FM|= = ,解得 c=1, 所以椭圆的方程为 + =1. (3)设点 P的坐标为 (x,y),直线 FP 的斜率为 t,得 t= ,即 y=t(x+1)(x -1),与椭圆方程联立得 消去 y,得 2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知 ,得 t= ,解得 - 0,于是 m= ,得 m . 当 x( -1,0)时 ,有 y=t(x+1)0,因此 mb0)的一个焦点 ,C1与 C2的公共弦的长为 2 . (1)求 C2的方程 ; (2)过点 F的直线 l与 C1相交于 A,B两 点 ,与 C2相交于 C,D两点 ,且 与 同向 . (i)若 |AC|=|BD|,求直线 l的
15、斜率 ; (ii)设 C1在点 A处的切线与 x轴的交点为 M,证明 :直线 l绕点 F旋转时 ,MFD 总是钝角三角形 . 解析 (1)由 C1:x2=4y知其焦点 F的坐标为 (0,1).因为 F也是椭圆 C2的一个焦点 ,所以 a2-b2=1. 又 C1与 C2的公共弦的长为 2 ,C1与 C2都关于 y轴对称 ,且 C1的方程为 x2=4y,由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为 ,所以 + =1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立 得 a2=9,b2=8.故 C2的方程为 + =1. (2)如 图 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
16、(i)因 与 同向 ,且 |AC|=|BD|,所以 = ,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是 (x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4. 设直线 l的斜率为 k,则 l的方程为 y=kx+1. 由 得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2是这个方程的两根 ,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 由 得 (9+8k2)x2+16kx-64=0.而 x3,x4是这个方程的两根 ,所以 x3+x4=- ,x3x4=- . 将 代入 , 得 16(k2+1)= + , 即 16(k2+1)= , 所以 (9+8k2)2=169, 解得 k= ,即直线
17、l的斜率为 . (ii)证明 :由 x2=4y得 y= ,所以 C1在点 A处的切线方程为 y-y1= (x-x1),即 y= - . 令 y=0,得 x= ,即 M ,所以 = .而 =(x1,y1-1),于是 = -y1+1= +10, 因此 AFM 是锐角 ,从而 MFD=180 -AFM 是钝角 . 故直线 l绕点 F旋转时 ,MFD 总是钝角三角形 . 13.(2014辽宁 ,20,12分 )圆 x2+y2=4的切线与 x轴正半轴 ,y 轴正半轴围成一个三角形 ,当该三角形面积最小时 ,切点为 P(如图 ),双曲线 C1: - =1过点 P且离心率为 . (1)求 C1的方程 ; (
18、2)椭圆 C2过点 P且与 C1有相同的焦点 ,直线 l过 C2的右焦点且与 C2交于 A,B两点 ,若以线段 AB为直径的圆过点 P,求 l的方程 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)设切点坐标为 (x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为 - ,切线方程为 y-y0=- (x-x0),即 x0x+y0y=4,此时 ,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S= = .由 + =42x 0y0知 ,当且仅当 x0=y0= 时 x0y0有最大值 ,即 S有最小值 ,因此点 P的坐标为 ( , ). 由题意知 解得 a2=1,b2=2, 故 C1的方程为 x2- =1. (2)
