1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 34 讲 基本不等式 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 . 2017 江苏卷， 10 2017 山东卷， 12 2017 天津卷， 13 对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查 . 分值： 5 分 1基本不等式 ab a b2 (1)基本不等式成立的条件： ！ _a0， b0_#. (2)等号成立的条件：当且仅当 ！ ！ _a b_#时取等号 2几个重要不等式 (1)a2 b2 ！ _2ab_#(a， b R) (2)ba ab
2、 ！ _2_#(a， b 同号 ) (3)ab ? ?a b2 2(a， b R) (4)a2 b22 ?a b22(a， b R) 以上不等式等号成立的条件 均为 a b. 3算术平均数与几何平均数 设 a 0， b 0，则 a， b 的算术平均数为！ _a b2 _#，几何平均数为！ _ ab_#，基本不等式可叙述为 ！ _两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数_#. 4利用基本不等式求最值问题 已知 x 0， y 0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 ！ _x y_#时， x y 有最 ！ _小 _#值，是！ _2 p_#(简记：积定和 最小 )； (2)如果和 x
3、y 是定值 p，那么当且仅当 ！ _x y_#时， xy 有最 ！ _大 _#值，是！ _p24_#(简记：和定积最大 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)函数 y x 1x的最小值是 2.( ) (2)函数 f(x) cos x 4cos x， x ? ?0， 2 的最小值等于 4.( ) (3)“ x 0， y 0” 是 “ xy yx2” 的充要条件 ( ) (4)若 a 0，则 a3 1a2的最小值为 2 a.( ) 解析 (1)错误因为 x 没有确定符号，所以不能说最小值为 2. (2)错误利用基本不等式时，等号不成立 (3)错误
4、不是充要条件，当 x0， n0， m n2 mn 18.当且仅当 m n 9 时，等号成立 3若 M a2 4a (a R， a0) ，则 M 的取值范围为 ( A ) A ( ， 4 4， ) B ( ， 4 C 4， ) D 4,4 解析 M a2 4a a4a. 当 a0 时， M4 ；当 a2， x 20， f(x) x 1x 2 (x 2) 1x 2 22 ?x 2? 1x 2 2 2 2 4， 当且仅当 x 2 1x 2，即 (x 2)2 1 时，等号成立 x 1 或 3. 又 x2， x 3，即 a 3. (3)因为 x0，则 f(x) 4x 2 14x 5 ? ?5 4x 15
5、 4x 3 2 3 1， 当且仅当 5 4x 15 4x， 即 x 1 时，等号成立 故 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 1. 【例 3】 (1)(2017 天津卷 )若 a， b R， ab0，则 a4 4b4 1ab 的最小值为 ！ _4_#. (2)已知 x 为正实数，且 x2 y22 1，求 x 1 y2的最大值 解析 (1)a4 4b4 1ab a3b4b3a 1ab，由基本不等式，得a3b4b3a 1ab2a3b4b3a 1ab4ab 1ab4 ，当且仅当 a3b4b3a ， 4ab1ab同时成立，即 a2 22 ， b2 24 时等号成立 (2)因为 x0， =【 ;精
6、品教育资源文库 】 = 所以 x 1 y2 2 x2? ?12 y22 22 ?x2?12y22 . 又 x2 ? ?12 y22 ?x2 y22 1232. 所以 x 1 y2 2? ?12 32 3 24 ， 当且仅当 x2 12 y22，即 x32 时，等号成立 故 (x 1 y2)max 3 24 . 三 利用基本不等式解决实际应用问题 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 【例 4】 (2
7、017 江苏卷 )某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则 x的值是 ！ _30_#. 解析 一年购买 600x 次，则总运费与总存储费用之和为 600x 6 4x 4? ?900x x8 900x x 240，当且仅当 x 30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30. 1已知 f(x) 32x (k 1)3x 2，当 x R 时， f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是 ( B ) A ( ， 1) B ( ， 2 2 1) C ( 1,2 2 1) D ( 2
8、2 1,2 2 1) 解析 由 32x (k 1)3x 20 恒成立，得 k 10，则下列不等式中，恒成立的是 ( C ) A a b2 ab B 1a 1b 1ab C ba ab2 D a2 b22ab 解析 ab 0， ba 0， ab 0， ba ab2 ba ab 2，当且仅当 a b 时取等号 3若 a0 ， b0 ，且 a(a 2b) 4，则 a b 的最小值为 ( C ) A 2 B 4 C 2 D 2 2 解析 a0 ， b0 ， a 2b0 ，又 a(a 2b) 4， 4 a(a 2b) ?a a 2b?24 ，当且仅当 a a 2b 2 时等号成立 (a b)24 ， a
9、 b2. 4函数 y x2 2x 1(x1)的最小值是 ( A ) A 2 3 2 B 2 3 2 C 2 3 D 2 解析 x 1， x 1 0. y x2 2x 1x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 2?x 1? 3x 1 ?x 1?2 2?x 1? 3x 1 x 13x 1 2 2 ?x 1? ?3x 1 2 2 3 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 x 1 3x 1，即 x 1 3时，取等号 5若正数 a， b 满足 a b 2，则 1a 1 4b 1的最小值是 ( B ) A 1 B 94 C 9 D 16 解析 1a 1 4b 1 ? ?1a 1 4b 1
10、?a 1? ?b 1?4 14 ? ?1 4 b 1a 1 4?a 1?b 1 14(5 2 4) 94，当且仅当 b 1a 1 4?a 1?b 1 ，即 b 1 2(a 1)时取等号故选 B 6小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a0)图象上的点，则 x y 的最小值为 ！ 2 2 #. 解析 因为 x 0，所以 y 0，且 xy 2.由基本不等式得 x y2 xy 2 2，当且仅当 x y 时等号成立 8 (2017 山东卷 )若直线 xa yb 1(a 0， b 0)过点 (1,2)，则 2a b 的最小值为 ！_8_#. 解析 直线 xa yb 1(a0， b0)过点 (1,
11、2)， 1a 2b 1.又 a0， b0， 2a b (2a b)? ?1a 2b 4 ba 4ab 4 2 ba 4ab 8，当且仅当 ba 4ab ，即 a 2， b 4 时等号成立， 2a b 的最小值为 8. 9已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10，则 3x 2y的最大值为 ！ 2 5 #. 解析 由 a b2 a2 b22 ，得 3x 2y 2 ? 3x?2 ? 2y?2 2 3x 2y2 5， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 x 53， y 52时取等号 三、解答题 10设 a， b， c 均为正数，且 a b c 1，证明： a2bb2cc2a1. 证明 因为
12、 a2b b2 a，b2c c2 b，c2a a2 c， 故 a2bb2cc2a (a b c)2( a b c)， 即 a2bb2cc2a a b c，所以a2bb2cc2a1. 11已知 x0， y0，且 2x 8y xy 0，求： (1)xy 的最小值； (2)x y 的最小值 解析 (1) x0， y0,2x 8y xy 0， xy 2x 8y2 16xy 8 xy， xy( xy 8)0 ，又 xy0 ， xy8 ，即 xy64. 当且仅当 x 4y，即 8y 8y 4y2 0，即 y 4， x 16 时取等号， xy 的最小值为 64. (2) 2x 8y xy0， 2y 8x 1
13、， x y (x y)? ?2y 8x 10 2xy 8yx 10 2 2xy 8yx 18. 当且仅当 2xy 8yx ，即 x 2y，即 4y 8y 2y2 0， 即 y 6， x 12 时取等号， x y 的最小值为 18. 12某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站 (又称泵站 )经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油 管道的费用为 x2 x 万元设余下工程的总费用为 y 万元 (1)试将 y 表示成 x 的函
14、数； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？ 解析 (1)设需要修建 k 个增压站，则 (k 1)x 240，即 k 240x 1， 所以 y 400k (k 1)(x2 x) 400 ? ?240x 1 240x (x2 x) 96 000x 240x 160. 因为 x 表示相邻两增压站之间的 距离，则 0 x 240. 故 y 与 x 的函数关系为 y 96 000x 240x 160(0 x 240) (2)y 96 000x 240x 1602 96 000x 240 x 160 24 800 160 9 440， 当且仅当 96 000x 240x，即 x 20 时等号成立， 此时 k 240x 1 24020 1 11. 故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9 440 万 元
