1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 函数 y Asin(x )的图象及应用 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 y Asin(x )的有关概念 yAsin(x )(A0， 0)，x 0， ) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T 2 f 1T 2 x 考点 2 用五点法画 y Asin(x )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示 x 0 2 32 2 x 0 2 32 2 yAsin(x ) 0 A 0 A 0 考点 3 函数 y sinx 的图象经变换得到 y Asin(x )的图象的步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 函数 y Asin(x )(
2、A0， 0)的图象的两种作法： (1)五点法：用 “ 五点法 ” 作图，关键是通过变量代换，设 z x ，由 z 取 0， 2 ， ， 32 ， 2 来求出相应的 x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定 (2)图象变换法：由函数 y sinx 的图象通过变换得到 y Asin(x )的图象，有两种主要途径 “ 先平移后伸缩 ”( 即 “ 先 后 ”) 与 “ 先伸缩后平移 ”( 即 “ 先 后 ”) 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)将 y sin2x 的图象向右平移 3 个单位长度，得到 y sin? ?2x 3 的图
3、象 ( ) (2)函数 f(x) Asin(x )(A0) 的最大值为 A，最小值为 A.( ) (3)把 y sin12x 的图象上点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y sinx 的图象，则 的值为 14.( ) (4)利用图象变换作图时 “ 先平移，后伸缩 ” 与 “ 先伸缩，后平移 ” 中平移的长度一致 ( ) (5)函数 y Acos(x )的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.2018 柳州模拟 若函数 y sin(x )( 0)的部分图象如图，则 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 =
4、A 5 B 4 C 3 D 2 答案 B 解析 由图象可知， T2 x0 4 x0 4 ，即 T 2 2 ，故 4. 3 2016 全国卷 将函数 y 2sin( 2x ? 6 的图象向右平移 14个周期后，所得图象对应的函数为 ( ) A y 2sin? ?2x 4 B y 2sin? ?2x 3 C y 2sin? ?2x 4 D y 2sin? ?2x 3 答案 D 解析 函数 y 2sin? ?2x 6 的周期为 ，所以将函数 y 2sin? ?2x 6 的图象向右平移 4 个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为 y 2sin? ?2? ?x 4 6 2sin? ?2x 3 .故选
5、D. 4 2018 西安模拟 已知函数 f(x) cos? ?x 3 ( 0)的最小正周期为 ，则该函数的图象 ( ) A关于点 ? ? 3 ， 0 对称 B关于直线 x 4 对称 C关于点 ? ? 4 ， 0 对称 D关于直线 x 3 对称 答案 D 解析 2 得 2，函数 f(x)的对称轴满足 2x 3 k( k Z)，解得 x k2 6(k Z)，当 k 1 时， x3.选 D. 5已知函数 f(x) Asin(x )? ?A 0， 0， 0 2 的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.f(x) 2sin? ?2x 3 B f(x) 2s
6、in? ?x 3 C f(x) 2sin? ?2x 6 D f(x) 2sin? ?x 6 答案 B 解析 由图象知函数的最大值为 2， 即 A 2， 函数的周期 T 4? ?76 23 2 2 ，解得 1， 即 f(x) 2sin(x )， 由题图知 76 32 2k (k Z)， 解得 3 2k (k Z)， 又因为 00)个单位长度 【变式训练 1】 将函数 y cos? ?x 3 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )，再向左平移 6 个单位，所得函数图象的一条对称轴是 ( ) A x 4 B x 6 C x D x 2 答案 D 解析 y cos? ?x 3 横坐
7、标伸长到原来的 2倍纵坐标不变y cos? ?12x 3 向左平移 6 个单位ycos12? ?x 6 3，即 y cos? ?12x 4 . 由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当 x 2 时， y=【 ;精品教育资源文库 】 = cos(12 2 4) 1.故选 D. 考向 求函数 y Asin(x )的解析式 例 2 2016 全国卷 函数 y Asin(x )的部分图象如图所示，则 ( ) A.y 2sin? ?2x 6 B y 2sin? ?2x 3 C y 2sin? ?x 6 D y 2sin? ?x 3 答案 A 解析 由题图知 A 2， T2 3 ?
8、? 6 2 ，则 T ，所以 2，则 y 2sin(2x )， 因为题图经过点 ? ? 3 ， 2 ，所以 2sin? ?2 3 2， 23 2k 2 ， k Z，即 2k 6 ， k Z. 当 k 0 时， 6 ，所以 y 2sin? ?2x 6 .故选 A. 触类旁通 确定 y Asin(x ) b(A0， 0)的解析式的步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 A， b，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A M m2 ， b M m2 . (2)求 ，确定函数的周期 T，则 2T . (3)求 ，常用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入 (此 时 A， ， b 已知
9、)或代入图象与直线 y b的交点求解 (此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 ) 五点法：确定 值时，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的特殊点作为突破口 【变式训练 2】 已知函数 f(x) Atan(x )? ? 0， | |0， 0)的性质 (1)奇偶性：当 k( k Z)时，函数 y Asin(x )为奇函数；当 k 2(k Z)时，函数 y Asin(x )为偶函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)周期性： y Asin(x )的最小正周期为 T 2 . (3)单调性：根据 y sint 和 t x ( 0)的单调性来研究，由 2 2k x 2 2k( k Z)得单调递增区间；由 2 2k x 32 2k( k Z)得单调递减区间 (4)对称性：利用 y sinx 的对称中心为 (k ， 0)(k Z)求解，令 x k( k Z)求得对称中心的横坐标利用 y sinx 的对称轴为 x k 2(k Z)求解，令 x k 2(k Z)得其对称轴
