1、第六章第六章 线性变换和特征值线性变换和特征值6.1 n维空间的线性变换维空间的线性变换6.2 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 6.3 相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化 6.4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 6.5 二次型及其标准形二次型及其标准形 6.6 奇异值分解简介奇异值分解简介 6.7 应用实例应用实例 6.8 习题习题 6.1 n维空间的线性变换维空间的线性变换 定义定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x ,按照一定的对应法则T，总有Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T 为从集合X到集合Y的映射映射，记为 或 ， 称y是X
2、在映射T下的像，x是y在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作 。 y = T(x)y = TxxX T X 定义定义6.2 设 是实数域上的向量空间， T是一个从 到 的映射，若映射T满足 1) 2) 则称T为从 到 的线性映射，或称线性变换。线性映射就是保持线性组合的映射。 nmV ,UnVmU,12n1212x ,xVT(x +x ) = T(x+T(x )有）,k nxVR,TxT(x有 (k )=k）nVmU例例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 即 都是 的线性映射。证证：利用矩阵的数乘及乘法运算，是 的映射。 显然有 及 即T是 的线性映射。 y =
3、 T(x)Ax1111121221222212nnmmmnmnyxaaayaaaxaaayxnmRR到y = T(x)AxnmRR到1122,y = Axy = Ax若121212yy = AxAxA xx11kkyAxnmRR到 例例6.2 向量空间V中的恒等变换 是线性变换。 证明：设 ，则有 所以恒等变换E是线性变换。E:E()=, V,k,VRkkkE(+)=+=E()+E(),E( )= = E()6.2 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算特征值和特征向量的定义和计算 定义定义6.3 设 是 阶方阵，若存在数 和 维非零列向量 ，使得
4、 （6-1） 成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向量 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将（6-1）式变形为 (或 ) （6-2） ()ijaAnnxAx =xx( I-A)x00)(xIA 满足这个方程的 和 就是我们要求的特征值和特征向量。 （6-2）式是含个 方程的 元齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 （6-3) 记作 （6-4） 称 为方阵A的特征多项式，方程 称为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程的根。由于 是 的 次多项式，所以方程 在复数域内有 个根（重根按重数计算）。 xnnI-A0111212122212( )0nnnnnnaaaaaafaaa( )f( )0f(
5、 )fn( )0fn 矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤： 第一步第一步：求特征值。先通过行列式（6-4）的计算，写出其特征多项式 ，这一步的难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需要很大的计算工作量； 第二步第二步：并进行因式分解 然后求出特征方程 的全部根 这就是A的所有特征值； 第三步第三步：把每个特征值 分别代入方程，求齐次线性方程组 的非零解 ，它就是A对应于特征值 的一个特征向量（不是惟一的）。 )(f)()()(21nf0)(fn,21i()iI-A x0ipi 例例6.4 求矩阵 的特征值和特征向量。 解： A的特征多项式 所以A的全部特征值为 对于特征值 解齐次线性方程组 ，即
6、可得它的一个基础解系 324202423A232422(1) (8)423IA1231,8 121, 0(-I-A)x123424021104240 xxx 所以 都不为 零）是A对应于特征值 的全部特征向量。 对于特征值 ，解齐次线性方程组 ，得它的一个基础解系 ，所以 是A对应于特征值8的全部特征向量。 112,0,01121212( ,kkk k1211 388( I-A)x0212333,(0)kk 36.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质方阵的特征值和特征向量的性质 性质性质1 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值。 性质性质2 设 是矩阵A的 个特征值，则 1) 2) 称 为矩阵A
7、的迹，记为 n12,n n121122nnnaaa12n A1122nnaaa( )tr A 性质性质3 设 为方阵A的特征值，则 1）当A可逆时， 是 的特征值 2） 是A的伴随矩阵 的特征值 3） 是 的特征值；进而有矩阵A的 次多项式 的特征值为11AA()adj A()mmNmAm1011( )mmmmfaaaaAAAAI1011( )mmmmfaaaa 例例6.5 设矩阵 1)求及的特征值； 2)进一步求矩阵的特征值。 解： 1）由A的特征方程 可得A的全部特征值为1，2，-1。 的特征值为 ，即-2,13,-8。 112021001A112021(1)(2)(1) 0001I-A=
8、f3(A) = 2A +A-5I3()25iiif 2） 解法1：先计算 ，令 ，求出特征方程 的根即可。 解法2：因为 所以A可逆， 为对应于A的特征值 的特征向量，则 又 所以 从而矩阵 的特征值为 ，即 1A-1B = I+A0I-B12320, Aipi1ipp-1iiAppiiI=1(1),1,2,3ippi-1ii(I+ A )1IA11i32,02 定理定理6.1 设 为方阵A的互不相同的特征值， 分别为对应于特征值 的特征向量，则 线性无关。 推论推论 矩阵A的 个互不相同特征值所对应的 组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。 12,m ,12m , ,12,m ,1
9、2m , ,mm6.2.3 特征值和特征向量的特征值和特征向量的MATLAB求法求法 MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向量各步骤的函数。这三个步骤是： （1）用f=poly(A)可以计算方阵A的特征多项式系数向量f； （2）用lamda=roots(f)可以求特征多项式f的全部根lamda（表示为列向量）； （3）用函数p=null(lamda*I-A)直接给出基础解p,将n个特征列向量p排在一起，就是的特征向量矩阵。 取例6.4为典型，解题的程序ea604为 A=3,2,4;2,0,2;4,2,3; f=poly(A), r=roots(f),r=real(r) B1= r(1)*e
10、ye(3)-A; B1=rref(B1,1e-12), p1=null(B1,r) B2=r(2)*eye(3)-A; p2=null(B2,r) B3=r(3)*eye(3)-A; p3=null(B3,r) 程序运行的结果为： f = 1.0000 -6.0000 -15.0000 -8.0000 (特征多项式系数向量) r = 8.0000(三个特征根即特征值,后两个是重根) -1.0000 + 0.0000i (微小虚数可用r=real(r）去除) -1.0000 - 0.0000i 实际上MATLAB已经把求特征根和特征向量的步骤集成化，其中也包括了处理计算误差的功能，所以一条命令就
11、解决问题了。这个功能强大的子程序名为eig(特征值英文是eigenvalue, 特征向量英文是eigenvector)，调用的形式是： p, lamda=eig(A) 输出变元中的lamda是特征值，p是特征向量。把例6.4的系数矩阵A代入，即可得到： -0.4941 -0.5580 0.6667 -1.0000 0 0 -0.4720 0.8161 0.3333, 0 -1.0000 0 0.7301 0.1500 0.6667 0 0 8.0000plamda6.3 相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化 定义定义6.4 设A和B是 阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得 ，则称矩阵A与与B
12、相似相似，把A变成 的变换称为相似变换相似变换，可逆矩阵P被称为把A变成B的相似变换矩阵相似变换矩阵。 相似矩阵具有以下性质。设矩阵A与B相似 1) 2) n-1P AP = B-1P AP()( )RRABA = B 3)A与B的迹相同 4)若A可逆，则B必可逆，且 也相似 定理定理6.2 设矩阵A与B相似，则它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值. 推论推论 若 阶方阵A与对角矩阵 相似，则 是矩阵A的全部特征值。此时，必存在可逆矩阵P，使得 ，称为把矩阵矩阵A对角对角化，也称矩阵化，也称矩阵A可对角化。可对角化。11AB与n12nOO12,n -1P AP = 定理定理6.3 阶方阵A
13、可对角化的充分必要条件A是有 个线性无关的特征向量。 证明： 必要性必要性 设 阶方阵A可对角化，则存在可逆矩阵 使 ， 从而 即 于是有 ， 所以 是方阵A的特征值， 是对应于特征值 的特征向量。由于矩阵P可逆，det(P) 0， 必线性无关。 nnn12nP = p ,p ,p-1P AP = AP = P1212,nn12n12n12nOA p ,p ,p= p ,p ,ppppO1,2,iiniiAp =piipi,12np ,p ,p 充分性充分性 设 是A的 个特征值， 是与之对应的 个线性无关的特征向量， 令 ，则有 即 所以方阵A可对角化。 推论推论 若 阶方阵A的特征值互不相
14、同，则方阵A一定可对角化。 12,n n12np ,p ,pn12nP = p ,p ,pAP = P12n-1OP AP = On 例例6.7 判断矩阵 能否对角化？ 解： 由 得A的特 征值为 求得 对应的特征向量 ，再求 对应的特征向量。 把 作行阶梯变换，得到 相当于方程组 它只有一个线性无 关的特征向量 ,即A总共只有两个线性无关的特征向量，所以A不能对角化。110430102A2110|430(2)(1) ,102I-A1232,112010T1p231210420101I-A10101200013232xxxx 12 1 T2p 用MATLAB解此题时，要检验特征向量组的秩，判断
15、独立的特征向量数。故程序如下： A=-1,1,0;- 4,3,0;1,0,2, p,lamda=eig(A), rp=rank(p) 运行的结果是： 由于特征向量组的秩为2，说明只有两个线性无关的特征向量，因此不能对角化。 0 0.4082 0.4082 2 0 0 0 0.8165 0.8165, 0 1 0,2 1 -0.4082 -0.4082 0 0 1rpplamda6.4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 定理定理6.4 实对称矩阵的特征值必为实数。 定理定理6.5 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量必正交。 证明： 设A为n阶实对称矩阵， 是矩阵A的两个不同的特征值， 是
16、矩阵A对应的特征向量，即 因为 于是 由于 ，所以 ，即 正交。 12, 12p ,p12121122App , App ,1122TTTTTT121212121212p p( p ) p(Ap ) p =p Ap =ppp p12()0T12p p12T12p p = 012p,p 定理定理6.6 设A为n阶对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得 这里 是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。 推论推论1 设A为n阶实对称矩阵， 是A的 重特征值，则A必有 个对应于特征值 的线性无关的特征向量. 推论推论2 实对称矩阵一定可对角化. 推论推论3 n阶实对称矩阵A，存在n个正交单位特征向量。 -1T
17、P AP = P AP = rr n阶实对称矩阵对角化的步骤阶实对称矩阵对角化的步骤 第一步：解特征方程 ，求出A的全部互不相等的特征值 它们的重数依次为 第二步：求出矩阵A的特征值 对应的特征向量，得到 个线性无关的特征向量； 第三步：将每个特征值 对应的 个线性无关的特征向量正交化、单位化，这样得到n个两两正交的单位特征向量 ； 第四步：令 ，P是正交矩阵，使得 。 必须注意必须注意： 中对角元素的排列次序与P中列向量的排列次序要一致。 0I-A12,r 22, , ()rrttttn11ttiitiit,ip (i =1,2n),n1ppP-1P AP = 例例6.10 设解： 当 时，
18、 ，即 解得 单位特征向量可取为 400031013A,-1PP AP = 求一个正交矩阵使为对角矩阵22400|031(4)(68)(2)(4) ,013 AI1232,4故得特征值12(A-2I)x012320000110 ,0110 xxx 121301,1xxkx012.121p 解得 为任意常数。 基础解系中的两个向量恰好正交,只需单位化,可得两个单位正交的特征向量234,(4 )0,AI x当时由即：112233000001100110 xxxxxx 任取122331001 ,01xxkkx 23,k k010 ,12012 23pp 从而得到正交矩阵 有 本例用MATLAB解时的
19、程序为： A=4,0,0;0,3,1;0,1,3; p,lamda=eig(A) 程序运行的结果与笔算的相同，为： 0101/201/21/201/2123P = p ,p ,p244-1TP AP = P AP 0 0 1.0000 2 0 0 -0.7071 0.7071 0, 0 4 0 0.7071 0.7071 0 0 0 4Plamda6.5 二次型及其标准形二次型及其标准形 6.5.1 二次型的概念二次型的概念 定义定义6.5 含有n个变量 的二次齐次函数： (6-10) 称为n元二次型元二次型，简称二次型。 为实数时，称 为实二次型； 为复数时，称 为复二次型。本章书仅讨论实二
20、次型。 1,2,nx xx21,2,11 112 1213 1 31122222232322(,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa xijafijaf 令 ，则二次型（6.10）可写成 用矩阵形式表示为 （6-11） 其中 ijjiaa21,2,11 112 1213 1 3112212 122223232221122(,)nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x1111212122221,2,12,nnnnnnnnxaaaaaax
21、x xxaaax f Tx Ax11121121212212,nnnnnnnaaaxaaaxaaaxAx 例例 6.13 写出下列二次型的矩阵 解： 由已知的二次型系数，得矩阵元素为： 故得的 矩阵为3231212423222143213223),(xxxxxxxxxxxxxxf1, 1, 3, 144332211aaaa1221133114411,1,0aaaaaa2332244234433,0,02aaaaaa100001231023310111Af6.5.2 二次型的标准形及惯性定理二次型的标准形及惯性定理 定义定义6.6 若秩为r 的二次型 通过可逆线性变换x=Cy 可化为只含平方项的
22、二次型，即 (6-12) 那么，此二次型称为 的标准形标准形，标准形中所含平方项的个数等于二次型 的秩. 例例6.15 设二次型 分别作下列二个可逆线性变换，求新二次型. f Tx Axf TTTx Axy (C AC)y2221122rrd yd yd yff22121223244fxxx xx x1) =2)解： 1）将线性关系直接代入并化简、整理 112233112012001xyxyxyBY1122331211011001/2xyxyCYxy22123232(2)(2)fyyyyy123233234(2)(2)4()yyyyyyyy 22212324yyy 2） 由于 因此， 此例表明
23、：二次型 的标准形不是唯一的。 12312002201211( ,)11021201111 1/2020001y y yTC AC2222012 1101201100200 1/21111123231(,)11yfy yyyy222123yyyf *实二次型的规范形的定义：实二次型的规范形的定义：对秩为r的实系数二次型 ，设它通过可逆线性变换x=Cy化为下面的标准形： 其中 ( )0，若再作如下的可逆变换： 则上面的标准形可进一步化为如下的形式： 这个二次型称为实二次型的规范形规范形，显然它是唯一的. f Tx Ax22221111pppprrfk yk ykyk yik1,2,irrizky
24、iii, 2 , 1,1222211pprfzzzz 定理定理6. 7（惯性定理）（惯性定理） 设秩为r的实二次型 ，通过可逆线性变换，可化为如下的标准形： 其中 0( )，则数p称为实二次型 的正惯性指数，q=r-p称为负惯性指数. 惯性定理是指：实二次型的标准形中正系数的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数也是唯一确定的，它就等于负惯性指数。 f Tx Ax22221111pppprrfk yk ykyk yik1,2,irf 6.5.3 化实二次型为标准形的方法化实二次型为标准形的方法 1）正交变换法）正交变换法 正交变换法的具体步骤与求特征值和特征向量相
25、仿 第一步：写出二次型 的矩阵A,并由特征方程 求出全部互不相同特征值 第二步：求出A的对应于 的特征向量，即求齐次线性方程组 的基础解系。如果某些 是重根，则将其对应的特征向量正交化、单位化。这样便可得到n个两两正交的单位特征向量 f0AI(1,2, )iiti(1,2, )it0iAI xi,1,2,n 第三步：令 ，则P是正交矩阵，二次型 通过正交变换x=Py化为标准形 上述步骤也可用eig函数来完成。其调用格式为： P, lamda=eig(A) P和lamda将分别给出特征向量组（即正交矩阵）和特征向量。此外MATLAB中还提供了一个用以计算正交变换矩阵的函数Rorth(A)。它的结
26、果和eig函数算出的特征向量矩阵是一样的，只是排列的顺序不同. ,1,2,nP = ( )f Tx Ax2221122nnfyyy 2）配方法）配方法 如果二次型中含有变量 的平方项，则先把含有 的各项集中，按 配方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项. 如果二次型中不含平方项，但某个 则先作一个可逆线性变换： 使二次型 出现平方项，再按上面方法配方。 ixixix0()ijaij,iijjijkkxyyxyyxy ki jf 例例6.16 设 令A的二次型 等于常数， 这是一个椭圆的方程，其图形如图6.1(a）所示。现要求将它变为标准形并画出图形。 5225ATx Ax1221211
27、 222525454825xfxxxx xxxTx Ax图6.1 两种二次型经坐标变换到主轴方向 （1）正交变换法）正交变换法 如果做一个基坐标的旋转变换，让坐标轴转过45度，这个椭圆的主轴就与新的坐标方向 , 相同，如图6.1（b）所示，其方程将变为标准形椭圆方程。从解析几何知此变换关系为： cos sin sin cos 写成矩阵形式y Px 其中 cossinsincosP1y2y1y2y1x1x2x2x 或取其逆变换，写成x Ry 其中 用此变换式代入二次型的表达式，有 本题的数据是45度，得到 1yP1cossinsincosR = P1122524825TyxyyyTTTTAx =
28、 y R ARy =RRy Dy0.70710.70710.70710.70710.70710.70710.70710.70711RR= P 及 便有 及 所以从几何图形上寻找二次型主轴的问题，在线性代数中就等价于：使矩阵A经过正交变换R实现对角化。 （2）用配方法）用配方法3007TR AR1221212230374807yyyyyyTx Ax22221211 22122221,545555f x xxx xxxxx 令 得到 它所对应的变换 图6.1中的（c）和（d）表示了对另一种双曲线二次型的坐标变换，它的方程为： 112222,5yxxyx122121212250,54.24804.2
29、yf x xyyyyyTx Ax1122125125,021 5021 5yxyx1R即2211228516xx xx 图6.2 两种对角化方法的不同变换：正交变换法，图形相似（左），配方法，图形崎变（右）6.5.4 二次型的正定和负定二次型的正定和负定 图6.3 二次型曲面的几种类型 一般的，二元变量的二次圆锥曲线 在非退化（指它的二次项系数不全为零）情况下，它的类型决定于其二次项的对称矩阵A的特征值。具体如下：2211 112122221 12220a xa x xa xb xb xcA的特征值 对应圆锥曲线的类型 驻点是否极值点 (正定或负定) 椭圆极值点 (不定 )双曲线 鞍点（费极值
30、点） 或 (半正定 )抛物线极值线 12120 120 1020 定义定义6.8 若对任给定的 1）恒有 ，则称 为正定（负定）二次型，此时对称矩阵A称为正定（负定）矩阵； 2）恒有 ，则称 为半正定（半负定）二次型，此时对称矩阵A称为半正定（半负定）矩阵。 3）其它的二次型称为不定二次型。 定理定理6.8 n元实二次型 正定的充要条件是它的标准形中的n个系数全为正，或 的正惯性指数为n。 0 x0( 0)f Tx Axf Tx Ax0( 0)f Tx Axff Tx Axf 证明： 设 经过可逆线性变换化为标准形， 充分性充分性 若 ，对任意 有 ，所以 必要性必要性 设 为正定二次型。假设
31、有 ,取 时， 从而 ，这与 是正定的相矛盾。所以 推论推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全大于零。 f Tx Ax2222211nnydydydfnidi, 2 , 1, 0, 0 x 0 xCy12222211nnydydydf00kdkey 0eCx1k0kdfnidi, 2 , 1, 0ff 定义定义6.9 设 为n阶方阵，依次取A的前k行与前k列所构成的行列式 称为A的k阶顺序主子式阶顺序主子式。 定理定理 6.9 设n元实二次型 为正定，则下列结论等价： 1）对任意n维非零向量 2） 的标准形中的n个系数全为正； 3） 实对称矩阵A的特征值全大于0； 4） 正惯性指数
32、p=n； )(ijaA11121212212kkkkkkkkaaaaaaaaa f Tx Ax0f Tx,x Ax有f 5） 实对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于0，即 结论5）称为霍尔维茨定理。 类似地，n元实二次型 为负定，则下列结论等价 1） 的标准形中的n个系数全为负 2）实对称矩阵A的特征值全小于0 3）负惯性指数q=n 4）实对称矩阵A的各阶顺序主子式中，奇数阶的全小于0，偶数阶的全大于0 11121121220,0,0aaaaaAf Tx Axf 例例6.19 判断二次型 的负定性. 解： 二次型 的矩阵为 由 可知 为负定二次型 注注:本题也可通过判断-A为正定矩阵来解决 222
33、56644fxyzxyxz f522260206A11121121225250,260,80026aaaaa Af 例例6.20 求 的取值，使得二次型 为正定二次型. 解： 二次型 的矩阵为 由于 为正定二次型，故所有顺序主子式全大于零，即 解出 ，即为所求 .32312123222132122232),(xxxxxxxxxxxxf1111213A21110,0,211212012 A(12)21f6.6 奇异值分解的简介奇异值分解的简介 定义定义6.10 设矩阵 ，若存在非负实数 和n维非零向量 m维非零向量v使得 (6-13 ) 则称 为A的奇异值，奇异值，u和和v分别称为A对应于奇异值
34、 的右奇异向量和左奇异向量。右奇异向量和左奇异向量。 由式（6-13）可得 (6-14) (6-15) m nA,u,AuvAvu2=TTA AuA vu2=TAA vAuv 定理定理6.10（矩阵的奇异值分解）（矩阵的奇异值分解） 设A是mn矩阵，设 是A的奇异值， 则 ，其中U是m阶正交矩阵，V是n阶正交矩阵， ，而 此式也可以表示为： (6-16) 其中， 是矩阵U的第i列 是矩阵V的第j列 .12,n 1210,rnTAUSVr0S0012(,.)rdiag r12nTTTT1122nnA = U SVu v +u v +u v(i1,2,m)(j1,2,n)iujv MATLAB中设
35、有奇异值分解函数，其调用格式为U,S,V = svd(A)，其中U是mm归一化正交矩阵，S是mn对角矩阵，它的左上方是rr rmin(m,n) 对角矩阵，其r个特征值已按递减规则，其余各块元素都是全零。排列的V是nn归一化正交矩阵。根据S中大于门限值的特征值数目，就可以求出矩阵的数字秩，rank(A)就是按这个思路编写的。在大于门限值的特征值中，最大和最小的两个元素之比，就是矩阵的条件数，可以调用r=cond(A)算出。 例例6.21 设 求它的各奇异值，及条件数。解：这样阶次的问题，只能用计算机来解了。程序为 A=2,7,9,-5,4;-9,-9,5,3,-2;-2,5,-1,-3,5;-4
36、,9,0,9,-4 U,S,V=svd(A), condA= S(1,1)/S(4,4) 运行结果为： 2 7 9 -5 4 -9 -9 5 3 -2 -2 5 -1 -3 5 -4 9 0 9 -4A 0.6084 -0.1647 0.7126 -0.3081 -0.7146 -0.0499 0.6750 0.1767 0.3385 -0.0071 0.1132 0.9341 0.0679 0.9851 0.1541 -0.0358U 不难验证：U,V都是规范正交矩阵，都有 A的四个奇异值为：16.5933 13.9809 11.2638 5.9432， A的条件数为：condA = 16.
37、5933/5.9432 = 2.7920 16.5933 0 0 0 0 0 13.9809 0 0 0 0 0 11.2638 0 0 0 0 0 5.9432 0S 0.4037 -0.2723 -0.4876 -0.6615 0.2957 0.7831 0.5813 0.0769 0.1011 -0.1810 0.0943 -0.1233 0.8590 -0.4750 0.1115 -0.3369 0.6838 -0.0436 -0.1774 0.6209 0.31V84 -0.3243 0.1287 0.5432 0.6941TTU U = I, V V = I,6.7 应用实例应用实
38、例 6.7.1 人口迁徙模型人口迁徙模型 假设在一个大城市中的总人口是固定的，人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？ 解：这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量 其中 为市区人口所占比例， 为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k0的初始状态为： 一年以后，市区人口为 郊区人口 用矩阵乘法可写成： ,ckskxxkxcxsx000.30.7csxx0 x100(10.06)0.02ccsxxx1000.
39、06(10.02)scsxxx110.94 0.020.3 0.29600.06 0.980.7 0.7040csxx 10 xAx 从初始时间到k年，A不变，因此 用下列MATLAB程序ea661进行计算： A0.94,0.02;0.06,0.98 x00.3;0.7, x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 程序运行的结果为： 2kk-1k-2x = Ax= A x=k0A x 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508, 0.7040 0.7283 0.7459 0.74921103050 xxxx 无限增加时间k，市区和郊区人口之比将
40、趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，可以改变一下坐标系统，在这个坐标系统中可以更清楚地看到矩阵乘幂的效果，为此将A对角化。令 ，其中为对角矩阵，则有 于是 对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次 所以，它就很容易计算。键入p,lamda=eig(A)，得到 -1A = ppkkk-1-1-1-1A = pp ppppp p 00kk-1kx= A x = p p x1122kkk k令于是整理后得到 0.7071 0.3162 0.9200 0,0.7071 0.9487 0 1.0000plamda110.7071, 0.316213 12p = p ,pk10k 0.9200 00.7071 0.31620.30.7071 0.94870.7 0 1.0000k-1k12x =p p xp ,p kk1211-0.0707 0.92-0.7906 1.0.25(1)0.05(0.92)31kk kxpp 式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k27，这第二项就可以忽略不计，从而得到 可见，适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，使得问题简单化。系统进入稳态的时间取决于特征值 而达到的稳态值取决于特征向量 这也是方阵求特征值的基本思想之一。 2710.250.2530.75k kk0 xA x12p
