1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 福建漳州八校联考 已知点 P(a， b)(ab0) 是圆 x2 y2 r2内的一点，直线 m是以 P 为中点的弦所在的直线，直线 l 的方程为 ax by r2，那么 ( ) A m l，且 l 与圆相交 B m l，且 l 与圆相切 C m l，且 l 与圆相离 D m l，且 l 与圆相离 答案 C 解析 点 P(a， b)(ab0) 在圆内， a2 b2r2r r， m l， l 与圆相离故选 C. 2已知过点 P(2,2)的直线与圆 (x 1)2 y2
2、5 相切，且与直线 ax y 1 0 垂直，则 a等于 ( ) A 12 B 1 C 2 D.12 答案 C 解析 圆心为 C(1,0)，由于 P(2,2)在圆 (x 1)2 y2 5 上， P 为切点， CP 与过点 P 的切线垂直 kCP 2 02 1 2.又过点 P 的切线与直线 ax y 1 0 垂直， a kCP 2，选 C. 3 2018 湖北武汉调研 圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 4x 4y 12 0 的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为 ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 答案 B 解析 圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 4x 4y 12 0 的公共弦所
3、在直线的方程为 x y 20，它与两坐标轴分别交于 ( 2,0)， (0,2)，所以直线和两坐标轴 所围成图形的面积为 1222 2.故选 B. 4已知圆 x2 y2 2x 2y a 0 截直线 x y 2 0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解析 由圆的方程 x2 y2 2x 2y a 0 可得，圆心为 ( 1,1)，半径 r 2 a.圆心到直线 x y 2 0 的距离为 d | 1 1 2|2 2.由 r2 d2 ? ?42 2，得 2 a 2 4，所以 a 4. 5 2018 安徽模拟 若过点 P( 3， 1)的直线 l 与圆 x
4、2 y2 1 有公共点，则直线 l的倾斜角的取值范围是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.? ?0， 6 B.? ?0， 3 C.? ?0， 6 D.? ?0， 3 答案 D 解析 设直线 l 的方程为 y 1 k(x 3)， 即 kx y 3k 1 0. 由 d | 3k 1|k2 1 1, 得 0 k 3，所以直线 l 的倾斜角的取值范围是 ? ?0， 3 . 6圆 C1： x2 y2 2x 2y 2 0 与圆 C2： x2 y2 4x 2y 4 0 的公切线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 解析 圆 C1： (x 1)2 (y 1)2 4，
5、 圆心 C1( 1， 1)，半径 r1 2；圆 C2： (x 2)2 (y 1)2 1， 圆心 C2(2,1)，半径 r2 1. 两圆心的距离 d 1 2 1 2 13， r1 r2 3， dr1 r2， 两圆外离， 两圆有 4 条公切线 7由直线 y x 1 上的一点向圆 x2 y2 6x 8 0 引切线，则切线长的最小值为 ( ) A. 7 B 2 2 C 3 D. 2 答案 A 解析 如图，在 Rt PAB 中，要使切线 PB 最小，只需圆心与直线 y x 1 上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即 |AP|min 42 2 2，故 |BP|min 2 2 1
6、2 7. 8 2018 太原质检 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x y 1 0 相切于 B(2,1)，则圆 C 的方程为 _ 答案 (x 3)2 y2 2 解析 设圆 C 的方程为 (x a)2 (y b)2 r2，由题意知：点 (a， b)既在直线 y 1(x 2)上，又在 AB 的垂直平分线上，由? x y 3 0，x 3 0， 得圆心坐标为 (3,0)， r |AC| 2 12 2，所以圆 C 的方程为 (x 3)2 y2 2. 9 2016 全国卷 设直线 y x 2a 与圆 C： x2 y2 2ay 2 0 相交于 A， B 两点，若 |AB| 2 3，则圆 C 的 面积为 _
7、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 4 解析 圆 C 的方程可化为 x2 (y a)2 a2 2，可得圆心的坐标为 C(0， a)，半径 ra2 2，所以圆心到直线 x y 2a 0 的距离为 | a 2a|2 |a|2，所以 ? ?|a|2 2 ( 3)2( a2 2)2，解得 a2 2，所以圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4. 10 2018 沈阳质检 过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C： (x 3)2 (y 4)2 25 交于 A， B 两点， C 为圆心，当 ACB 最小时，直线 l 的方程是 _ 答案 x y 3 0 解析 依题意得知，当 ACB 最小时，圆心
8、C 到直线 l 的距离达到最大，此时直线 l 与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率为 1，因此所求的直线 l 的方程是 y 2 (x 1)，即 x y 3 0. B 级 知能提升 1已知圆 C： (x 3)2 (y 1)2 1 和两点 A( t,0)， B(t,0)， (t0)，若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90 ，则 t 的取值范围是 ( ) A (0,2 B 1,2 C 2,3 D 1,3 答案 D 解析 由题意可知，若使圆 C 上存在点 P，使得 APB 90 ，即圆 C 与以原点 O 为圆心，半径为 t 的圆有交点，即 |OC| 1 t| OC| 1，即 1 t3 ， t
9、的取值范围为 1,3，故选D. 2 2017 河南洛阳二模 已知圆 C 的方程为 x2 y2 1，直线 l 的方程为 x y 2，过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45 的直线交 l 于点 A，则 |PA|的最小值为 ( ) A.12 B 1 C. 2 1 D 2 2 答案 D 解析 解法一：由题意可知，直线 PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线 PA 与 y 轴平行或重合，设 P(cos ， sin )，则 A(cos ， 2 cos )， |PA| |2 cos sin |?2 2sin? 4 ， |PA|的最小值为 2 2.故选 D. 解法二：由题意可 知圆心 (0,0)到直线
10、 x y 2 的距离 d 22 2， 圆 C 上一点到直线 x y 2 的距离的最小值为 2 1.由题意可得 |PA|min 2( 2 1) 2 2.故选 D. 3 2017 江苏高考 在平面直角坐标系 xOy 中， A( 12,0)， B(0,6)，点 P 在圆 O： x2 y2 50 上若 PA PB20 ，则点 P 的横坐标的 取值范围是 _ 答案 5 2， 1 解析 解法一：因为点 P 在圆 O： x2 y2 50 上， 所以设 P 点坐标为 (x， 50 x2)( 5 2 x5 2) 因为 A( 12,0)， B(0,6)，所以 PA ( 12 x， 50 x2)或 PA ( 12
11、x， 50 x2)，=【 ;精品教育资源文库 】 = PB ( x， 6 50 x2)或 PB ( x,6 50 x2) 因为 PA PB20 ，先取 P(x, 50 x2)进行计算， 所以 ( 12 x)( x) ( 50 x2)(6 50 x2)20 ，即 2x 5 50 x2. 当 2x 50 ，即 x 52时，上式恒成立； 当 2x 50 ，即 x 52时， (2x 5)250 x2，解得 5 x1 ，故 x1. 同理可得 P(x， 50 x2)时， x 5. 又 5 2 x5 2，所以 5 2 x1. 故点 P 的横坐标的取值范围为 5 2， 1 解法二：设 P(x， y)，则 PA
12、 ( 12 x， y)， PB ( x， 6 y) PA PB20 ， ( 12 x)( x) ( y)(6 y)20 ， 即 2x y 50. 如图，作圆 O： x2 y2 50，直线 2x y 5 0 与 O 交于 E， F 两点， P 在圆 O 上且满足 2x y 50 ， 点 P 在 EDF上 由? x2 y2 50，2x y 5 0 得 F 点的横坐标为 1. 又 D 点的横坐标为 5 2， P 点的横坐标的取值范围为 5 2， 1 4 2017 全国卷 已知抛物线 C： y2 2x，过点 (2,0)的直线 l 交 C 于 A， B 两点，圆M 是以线段 AB 为直径的圆 (1)证明
13、：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4， 2)，求直线 l 与圆 M 的方程 解 (1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， l： x my 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? x my 2，y2 2x 可得 y2 2my 4 0，则 y1y2 4. 又 x1 y212， x2y222，故 x1x2y1y2 24 4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 y1x1 y2x2 44 1，所以 OA OB. 故坐标原点 O 在圆 M 上 (2)由 (1)可得 y1 y2 2m， x1 x2 m(y1 y2) 4 2m2 4. 故圆心 M 的坐标
14、为 (m2 2， m)， 圆 M 的半径 r m2 2 m2. 由于圆 M 过点 P(4， 2)， 因此 AP BP 0， 故 (x1 4)(x2 4) (y1 2)(y2 2) 0， 即 x1x2 4(x1 x2) y1y2 2(y1 y2) 20 0. 由 (1)可得 y1y2 4， x1x2 4. 所以 2m2 m 1 0， 解得 m 1 或 m 12. 当 m 1 时，直线 l 的方程为 x y 2 0，圆心 M 的坐标为 (3,1)，圆 M 的半径为 10，圆 M 的方程为 (x 3)2 (y 1)2 10. 当 m 12时，直线 l的方程为 2x y 4 0，圆心 M的坐标为 ?
15、?94， 12 ，圆 M的半径为 854 ， 圆 M 的方程为 ? ?x 94 2 ? ?y 12 2 8516. 5 2015 全国卷 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： (x 2)2 (y 3)21 交于 M， N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若 OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求 |MN|. 解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y kx 1. 因为 l 与 C 交于两点，所以 |2k 3 1|1 k2 1， 解得 4 73 k4 73 ， 所以 k 的取值范围为 ? ?4 73 ， 4 73 . (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2) 将 y kx 1 代入方程 (x 2)2 (y 3)2 1， 整理得 (1 k2)x2 4(1 k)x 7 0. 所以 x1 x2 k1 k2 ， x1x2 71 k2. =【 ;精品教育资源文库 】 = OM ON x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1 4k k1 k2 8. 由题设可得
