1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 直接证明与间接证明 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 直接证明 考点 2 间接证明 1反证法的定义 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 假设错误 ，从而证明 原命题成立 的证明方法 2利用反证法证题的步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； (3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立简言之，否定 归谬 断言 必会结论 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论 进行分析，寻求结论与条件、基础知
2、识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明 ( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件 ( ) (3)用反证法证明结论 “ a b” 时，应假设 “ a b” ( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾 ( ) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决 问题的过程 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2要证明 3 7b0， m a b， n a b，则 m
3、， n 的大小关系是 _ 答案 m a?a0，显然成立 6下列条件： ab0， ab0， b0， a0 且 ab0 成立，即 a， b 不为 0 且同号即可，故 都能使 ba ab2 成立 板块二 典例探究 考向突破 考向 综合法证明 例 1 已知 sin ， sinx， cos 成等差数列， sin ， siny， cos 成等比数列证明 ： 2cos2x cos2y. 证明 sin 与 cos 的等差中项是 sinx，等比中项是 siny， sin cos 2sinx， sin cos sin2y， 2 2 ，可得 (sin cos )2 2sin cos 4sin2x 2sin2y，即
4、4sin2x 2sin2y 1. 4 1 cos2x2 2 1 cos2y2 1，即 2 2cos2x (1 cos2y) 1. 故证得 2cos2x cos2y. 触类旁通 综合法证明的思路 (1)综合法是 “ 由因导果 ” 的证明方法，它是一种从已知到未知 (从题设到结论 )的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断 (命题 )出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性 (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 【变式训练 1】 已知 f(x) 12x 2，证明： f(x) f(1 x) 22 . 证明 f(x) 12x 2， f(x) f(1 x) 12x 2 1
5、21 x 2 12x 2 2x2 22 x22 22 x2x2 22 x 2 2x2 22 x2 2x2? 2 2x?1222 . 故 f(x) f(1 x) 22 成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考向 分析法证明 例 2 已知 a0，证明： a2 1a2 2 a 1a 2. 证明 要证 a2 1a2 2 a 1a 2， 只需证 a2 1a2 ? ?a 1a (2 2) 因为 a0，所以 ? ?a 1a (2 2)0， 所以只需证 ? ?a2 1a2 2 ? ? ?a 1a ?2 2? 2， 即 2(2 2)? ?a 1a 8 4 2，只需证 a 1a2. 因为 a0， a 1a2 显
6、然成立 ? 当且仅当 a 1a 1 时等号成立 )，所以要证的不等式成立 触类旁通 分析法证题的技巧 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分 )的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论， 从而使原命题得证 【变式训练 2】 已知正数 a， b， c 满足 a b c 1. 求证： a b c 3. 证明 欲证 a b c 3， 则只需证 ( a b c)23 ， 即证 a b c 2( ab bc ac)3 ， 即证 ab
7、 bc ac1. 又 ab bc ac a b2 b c2 a c2 1，当且仅当 a b c 13时取 “ ” ， 原不等式 a b c 3成立 考向 反证法的应用 命题角度 1 证明否定性命题 例 3 设 an是公比为 q 的等比数列， Sn是它的前 n 项和 (1)求证：数列 Sn不是等比数列； (2)数列 Sn是等差数列吗？为什么？ 解 (1)证明：若 Sn是等比数列，则 S22 S1 S3，即 a21(1 q)2 a1 a1(1 q q2)， a10 ， (1 q)2 1 q q2，解得 q 0，这与 q0 相矛盾，故数列 Sn不是等比数=【 ;精品教育资源文库 】 = 列 (2)当
8、 q 1 时， Sn是等差数列 当 q1 时， Sn不是等差数列假设 q1 时， S1， S2， S3成等差数列，即 2S2 S1 S3， 2a1(1 q) a1 a1(1 q q2) 由于 a10 ， 2(1 q) 2 q q2，即 q q2， q1 ， q 0，这与 q0 相矛盾 综上可知，当 q 1 时， Sn是等差数列；当 q1 时， Sn不是等差数列 命题角度 2 证明存在性问题 例 4 设 x、 y、 z0， a x 1y， b y 1z， c z 1x，求证： a、 b、 c 三数至少有一个不小于 2. 证明 假设 a、 b、 c 都小于 2， 则 a b c0，m2 2m13，
9、 2 2)，使函数 h(x) 1x 2是区间 a， b上的 “ 四维光军 ” 函数？若存在，求出 a， b 的值；若不存在，请说明理由 解 由已知得 g(x) 12(x 1)2 1，其图象的对称轴为 x 1，区间 1， b在对称轴的右边， 所以函数在区间 1， b上单调递增由 “ 四维光军 ” 函数的定义可知 g(1) 1， g(b)b， 即 12b2 b 32 b，解得 b 1 或 b 3. 因为 b1，所以 b 3. 假设函数 h(x) 1x 2在区间 a， b(a 2)上是 “ 四维光军 ” 函数，因为 h(x) 1x 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 在区间 ( 2， ) 上单调递减
10、，所以有? h?a? b，h?b? a， 即 ? 1a 2 b，1b 2 a，解得 a b，这与已知矛盾故不存在 核心规律 1.分析法的特点：从未知看需知，逐 步靠拢已知 2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知 3.分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来 满分策略 1.当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法，但在证明中，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律 2.当题目条件较少，可逆向
11、思考时，执果索因，使用分析法解决但在证明过程中，注意文字 语言的准确表述 3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的 . 板块三 启智培优 破译高考 创新交汇系列 10 分析法与综合法的交汇整合 2018 长沙模拟 已知函数 f(x) log2(x 2)， a， b， c 是两两不相等的正数，且 a， b，c 成等比数列，试判断 f(a) f(c)与 2f(b)的大小关系，并证明你的结论 解题视点 (1)先判断它们的大小，可用特例法 (2)用分析法探寻证题思路 (3)用综合法完成证明事实上，取 a 1， b 2， c
12、 4，则 f(a) f(c) f(1) f(4) log218， 2f(b) 2f(2) log216，于是由 log218log216，猜测 f(a) f(c)2f(b) 要证 f(a) f(c)2f(b)，则只需证 log2(a 2) log2(c 2)2log2(b 2)，即证 log2(a 2)(c 2)log2(b 2)2，也即证 (a 2)(c 2)(b 2)2.展开整理得 ac 2(a c)b2 4b. 因为 b2 ac，所以只要证 a c2 ac，显然是成立的 解 f(a) f(c)2f(b) 证明如下：因为 a， b， c 是两两不相等的正数， 所以 a c2 ac. 因为
13、b2 ac，所以 ac 2(a c)b2 4b， 即 ac 2(a c) 4b2 4b 4， 从而 (a 2)(c 2)(b 2)2. 因为 f(x) log2x 是增函数， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 log2(a 2)(c 2)log2(b 2)2， 即 log2(a 2) log2(c 2)2log2(b 2) 故 f(a) f(c)2f(b) 答题启示 ?1?综合法和分析法各有其优缺点，分析法 利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程 .有时要把分析法和综合法结合起来交替使用，才
14、能成功 .,?2?本题易错的原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范 .将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法 . 跟踪训练 2018 安徽模拟 (1)设 x1 ， y1 ，证明： x y 1xy 1x 1y xy； (2)11， x logab1 ， y logbc1 ， 由 (1)知所证明的不等式成立 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 绵阳周测 设 t a 2b， s a b2 1，则下列关于 t 和 s 的大小关系中正确的是 ( ) A ts B t s C tabb2 C.1aab 答案 B 解析 a2 ab a(a b)， =【 ;精品教育资源文库 】 = a0， a2ab. 又 ab b2 b(a b)0， abb2， 由 得 a2abb2. 3下列不等式一定成立的是 ( ) A lg ? ?x2 14 lg x(x0) B sinx 1sinx2(x k
