1、3.1.53.1.5空间向量运算的空间向量运算的 坐标表示坐标表示( ,)pxiy j i jx y (1)若分别是轴上同方向的两个单位向量( ,)px y则的 坐 标 为1212(,),(,)aaabb b(2)若11221122(,),(,)a bab aba bab ab 则 121122(,)(),aaaRaba ba b11221 12 2/,(),0a bab abR ababa b 11222121(,),(,)(,)A x yB xyABxx yy (3)若则一复习回顾一复习回顾 若是若是 空间的一个基底，空间的一个基底， 是空间任意一向量，存在是空间任意一向量，存在唯一的实数
2、组使唯一的实数组使 px ay bz c , , a b c p （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1 1，这个基底叫这个基底叫单位正交基底单位正交基底 ,ij k 用表 示 (2)(2)在空间选定一点在空间选定一点 和一个单位和一个单位正交基底正交基底 ，以点，以点 为原点，分为原点，分别以别以 的方向为正方向建立三的方向为正方向建立三条数轴：条数轴： 轴、轴、 轴、轴、 轴轴 ，它们，它们都叫都叫坐标轴坐标轴我们称建立了一个我们称建立了一个空间空间直角坐标系直角坐标系 , ,点点 叫叫原点原点，向量向量 都叫都叫坐标向量坐标向
3、量通过每通过每两个坐标轴的平面叫两个坐标轴的平面叫坐标平面坐标平面，分别称为分别称为 平面，平面， 平面，平面， 平面；平面； O , , i j k O,ij k xyzOxyzO,ij k xO yyO zzO xxyzkjiO一复习回顾一复习回顾 （4）在空间直角坐标系中，）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向让右手拇指指向 轴的正轴的正方向，食指指向方向，食指指向 轴的正轴的正方向，如果中指指向方向，如果中指指向 轴轴的正方向，称这个坐标系为的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系右手直角坐标系。本书建立。本书建立的坐标系都是右手直角坐标的坐标系都是右手直角坐标系系. . xyzxyzkj
4、iO（3）作空间直角坐标系）作空间直角坐标系 时，一般使时，一般使135 (45 ),90 xOyyOz或Oxyz如图给定空间直角坐标系和向量如图给定空间直角坐标系和向量 ，设设 为坐标向量为坐标向量,则存在唯一的则存在唯一的有序实数组有序实数组 ，使使 ， 有序实数组有序实数组 叫作向量叫作向量 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 中的坐标，中的坐标，记作记作 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 中，对中，对空间任一点空间任一点 ，存在唯一的有序实数，存在唯一的有序实数组组 ，使，使 ，有序实数组有序实数组 叫作向量叫作向量 在在空间直角坐标系空间直角坐标系 中的中的坐标坐标， 记作记作 ， 叫
5、叫横坐标横坐标， 叫叫纵坐标纵坐标， 叫叫竖坐标竖坐标 a,ij k 123(,)aaa123aa iaja k123(,)aaaaOxyz123(,)aa aaAOxyz( , )x y zOAxiy jzk ( , )x y zOA Oxyz( , , )A x y zxzy123123(,),( ,)aa a abb b b设则;ab;ab;a; a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b一、向量的直角
6、坐标运算一、向量的直角坐标运算新课新课2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1. 1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。的对角线的长度。二、距离与夹角二、距离与夹角| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的
7、距离公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2. 2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b例例1已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4),|,8 ,abab ab aa a b 求(2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab (2,
8、 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 222| |2( 3)538a 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例例例2已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29 .A BdO
9、ABM（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。 、AB(, )P xy z,xy z解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则(, )P xy z 、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是 、AB(, )xy z46870 xyzF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4B
10、E11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例3如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 例例 3 3 如如图图， 正正方方体体1111ABCDA B C D 中中，E，F分分别别是是1BB，11D B中
11、中点点，求求证证：1EFDA 证明：不妨设已知正方体的棱长为证明：不妨设已知正方体的棱长为1 1个单个单位长度位长度, ,设设 1,DAi DCj DDk 分别以分别以 为坐标向量建立空间直为坐标向量建立空间直角坐标系角坐标系 则则, ,i j k Dxyz11(0,0,0) (1,0,0)( 1,0,0),(0, , 1)2ADDF 11( 1,0,0) (0, 1)02AD D F 1D FAD1(0,1, )2AE 又 11111(0,1,) (0,1)02222AE D F 1D FAEADAEA又 1D FADE 平面1(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)DAD11(0,0
12、),(1,1,)22FE11111,ABCDABC DE FBB CD中分别是的中点1D FADE求证平面例例4 在正方体在正方体 练习练习 3 3 已知已知 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面, , 分分别是别是 的中点的中点, ,并且并且 , ,求证求证: :PAABCD,M N,AB PCPA ADMNPDC平面证明证明: 分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 则则 , ,i j k AxyzADBPCMNxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且平面可设(0,0,0), (0,1,0),( 1,1,0),( 1
13、,0,0),ABCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MN PDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MN DCMNDC PDDCDMNPDC又平面练习练习4：如图，已知线段：如图，已知线段AB，AC，BDAB，DE ，DBE=30，如果，如果AB=6，AC=BD=8，求，求CD的长及异的长及异面直线面直线CD与与AB所成角的大小。所成角的大小。练习：平行六面体练习：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=
14、BAA1=DAA1=60，E、 H、F分别是分别是D1C1 、AB、CC1的中点。（的中点。（1）求）求AC1的长；（的长；（2）求）求BE的的长；（长；（3）求）求HF的长；（的长；（4）求）求BE与与HF所成角的大小。所成角的大小。886 EDCBA534FHED1C1B1A1DCBA1053arccos97372151371512125arccos证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 则则11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又A AD DA AE E= =A A, ,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE练练习习 5 5. .在在正正方方体体1111ABCDA B C D 中中, ,EF、 分分别别是是1BBCD、的的中中点点, ,求求证证: :1D FADE 平平面面. . 练习练习 5 5. .如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点，求证：B1C面 ODC1. a b c
