1、第 11 章 非对称弯曲与特殊梁 本章主要研究： 一般非对称弯曲正应力 一般薄壁梁的弯曲切应力 薄壁梁的截面剪心 复合梁与曲梁弯曲应力 1 惯性积惯性积与主惯性矩与主惯性矩2 非对称弯曲正应力非对称弯曲正应力 3 薄壁梁的弯曲切应力薄壁梁的弯曲切应力4 薄壁梁的截面剪心薄壁梁的截面剪心5 复合梁的弯曲应力复合梁的弯曲应力6 曲梁弯曲曲梁弯曲应力简介应力简介1 惯性积惯性积与主惯性矩与主惯性矩附录附录G G 截面惯性积 惯性积平行轴定理 转轴公式与主惯性矩 截面惯性积截面惯性积惯性积惯性积 AyzAyzId4L截面对截面对 y, z 轴的轴的惯性积惯性积当当 y 或或 z 轴为轴为截面对称轴时截
2、面对称轴时0 yzI跳过算例跳过算例试计算图示截面试计算图示截面的惯性积的惯性积 Iyz bbb-zhyzzyyzI0 )/(0 dd2422hbIyz bzbhy)(1 算例 byyzzyyzI0 0 1dd 惯性积惯性积平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系 AyzAyzIdCCzyyzzAyII 000d 0 AAy ACCyzAzzyyId00的关系的关系与与建立建立 00zyyzII AzyAzyId00000d 0 AAz注意：注意：的坐标的坐标形心形心 ),(CzyCC二者平行二者平行跳过算例跳过算例算例算
3、例)m1040m)(2010m)(-1010(20026-3-3- yzI000 zyImm -10 Czmm 20 CyCCzyyzzAyII 0048-m1016 yzI试计算试计算惯性积惯性积 Iyz 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩转轴公式转轴公式的关系的关系与与建立建立 11zyyzII sincos1zyy sincos1yzz AzyyzzyI)dAsincos)(sincos(11 cos2sin2 211yzzyzyIIII sin2 cos2 2 2 11yzzyzyzyIIIIIII p11IIIIIzyzy ：始边始边 y轴，轴，为正为正主轴与主惯性矩主轴与主惯性矩
4、yzyzIII 2tan2 sin2 cos2 2 2 yzzyzyzyIIIIIII 满足惯性积为零的坐标满足惯性积为零的坐标轴轴 主轴主轴, zy记为记为对主轴的惯性矩对主轴的惯性矩 主惯主惯性矩性矩记为记为zyII , 通过形心的主轴通过形心的主轴主形心轴主形心轴相应惯性矩相应惯性矩主形心惯性矩主形心惯性矩 sin2cos22yzyzyzIIII 0 主形心轴主形心轴主形心轴主形心轴跳过算例跳过算例算例算例确定主形心轴与主形心惯性矩，确定主形心轴与主形心惯性矩，h=2bbbbbbIIzy48sin481848cos4892182192182144444 415200b.Iy 412580
5、b.Iz 1836430bhbIy 9236430bbhIz AzyIICCyzzy 0000002tan2yzzyIII 2424- 78-1892)18(-2444 /b/b/b18-4b AzyhbCC 24222 非对称弯曲正应力非对称弯曲正应力 平面弯曲正应力分析 非对称弯曲正应力一般公式 平面弯曲正应力分析平面弯曲正应力分析 平面假设平面假设 单向受力假设单向受力假设假设 E 综合考虑三方面(a) E 中性层曲率半径中性层曲率半径(b) 0d AA (c) 0d AAz (d) d AzMAy 联立求解式联立求解式(a)(d)zzEIM 1zzIyM- 变形与应力变形与应力：详见详
6、见中性轴中性轴与主形与主形心轴心轴 z 重合重合中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式平面弯曲平面弯曲 中性中性轴轴：结论结论 非对称弯曲正应力一般公式非对称弯曲正应力一般公式非对称弯曲正应力zzyyIyMIzM zzyyIyMIzM yzzyMMIIyz tan最大应力位于离中最大应力位于离中性轴最远点性轴最远点 a, b 处处 应力一般公式应力一般公式 公式的简化公式的简化中性轴方位中性轴方位0 广义弯曲公式推导广义弯曲公式推导斜弯曲 tantanzyyzzyIIMMII cosMMy sinMMz 时时，zyII中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴不垂直于弯
7、矩作用面的变形形式斜弯曲斜弯曲几个概念及其间关系 对对 称称 弯弯 曲曲非对称弯曲非对称弯曲弯曲弯曲 平面弯曲平面弯曲（M 矢量矢量 / 主形心轴时主形心轴时）斜斜 弯弯 曲曲（M矢量不矢量不 / 主形心轴时主形心轴时）平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲两个互垂平面弯曲的组合两个互垂平面弯曲的组合 中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式斜弯曲斜弯曲 中性中性轴轴垂直垂直于弯矩作用面的变形形式于弯矩作用面的变形形式平面弯曲平面弯曲 几个概念间的关系几个概念间的关系非对称弯曲分析计算步骤 确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩 内力分析，求
8、出内力分析，求出 My 与与 Mz 确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力3 薄壁梁的弯曲切应力薄壁梁的弯曲切应力 薄壁梁弯曲切应力公式 例题 薄壁梁弯曲切应力公式薄壁梁弯曲切应力公式y、z 轴主形心轴轴主形心轴假设 切应力平行与中心线切线切应力平行与中心线切线 切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布弯曲切应力公式)()()(SsISFszz Iz- 整个截面对整个截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩Sz-截面截面 对对 z 轴的静矩轴的静矩推导推导详见详见例例 3-1 确定工字形截面梁的剪流分布确定工字形截面梁的剪流分
9、布 例例 题题解：解：1. 翼缘剪流计算翼缘剪流计算 zzISFq)(Sf zzIhFhIF22SS 2. 腹板剪流计算腹板剪流计算 221Sw422)(yhhbIFyqz zzIySFq)(Sw 2)(hbySz yhyh22121 3. 剪流方向判断剪流方向判断0d 0S MF0d1 F0d2 F f 指向腹板指向腹板 w 与与 FS 同向同向4. 剪流分布图剪流分布图zIhbhFq8)(41Smaxw, 下翼缘的剪流下翼缘的剪流均指均指向腹板；向腹板；上翼缘的剪流上翼缘的剪流 均背离腹板均背离腹板 腹板上的剪流与剪腹板上的剪流与剪力力 F FS S 同向同向 “视视”截面如管道，截面如管
10、道， “视视”剪流如管流，连剪流如管流，连续流动；由续流动；由q qw w推及其他推及其他解：解：1. 问题分析问题分析切应力分布对称于切应力分布对称于 y 轴，轴，A 处切处切应力为零应力为零, ,等价于开口薄壁截面等价于开口薄壁截面例例 3-2 确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布2. 切应力分析切应力分析 zzISF)()(S zzISF)()(S AySzd)( sindcos)(0 2000 RRRSz 30RIz 0SsinRF 0SmaxRF 4 薄壁梁的截面剪心 剪心概念 剪心位置的确定 剪心剪心概念概念现象与问题要使梁仅弯不要使梁仅弯不扭，横向载荷
11、扭，横向载荷 (F,q) 应满足何应满足何种条件？种条件？点击点击画面画面剪心演示剪心演示平面弯曲的外力条件 梁梁 z 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲zzyyISFsq)()(S Fsy位置位置： ez=? lyzyssqeFd)(S zlzzIsSe d)( 要使梁要使梁 z 轴发生平面轴发生平面弯曲弯曲, 外力外力 ( F, q ) 作用作用线线 y 轴，并距其轴，并距其 ez 处处根据合力矩定理：根据合力矩定理： 梁梁 y 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲yyzzISFsq)()(S Fsz位置位置：ey=?根据合力矩定理根据合力矩定理:ylyyIsSe d)( 要使梁要使梁 y 轴发生平面弯
12、曲，外力轴发生平面弯曲，外力( F, q )作用线作用线 z 轴，并距其轴，并距其 ey 处处 剪心定义剪心定义 剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外力无关，属于截面力无关，属于截面几何性质几何性质剪心概念剪心概念zlzzIsSe d)( ylyyIsSe d)( 剪心性质剪心性质 当横向外力作用线通过剪心时，梁将当横向外力作用线通过剪心时，梁将只弯不只弯不扭扭，故剪心又称，故剪心又称弯心弯心剪力剪力 Fsy, Fsz 作用作用线的交点线的交点E (ey, ez)问题回顾问题回顾何以伴随扭转？何以伴随扭转？存在附加扭力偶矩存在附加扭力偶矩对称截面的剪心剪
13、心位于对称轴上剪心位于对称轴上剪心与形心重合剪心与形心重合单对称截面单对称截面双对称截面双对称截面 剪心剪心位置的确定位置的确定槽形截面剪心槽形截面剪心 剪心剪心位于位于 z 轴轴zzyISFq)()(S 确定确定 ez设梁设梁绕绕 z 轴发轴发生平面弯曲生平面弯曲2132212 hbhIz 21ShIFzy 12612 bhh bqF01)d( )6(3121S1 bhhbFFy hFeFzy1S 12163 bhbez 根据合力矩定理：根据合力矩定理：zyIhFq2)(1S yzFhFeS1 剪心剪心位于位于z 轴，轴， ez=？zzyISFq)()(S 000dcos)(RRS230 R
14、Iz sin30R 圆弧形薄壁截面剪心0Ssin2)(RFqy 0 00Sd)( RqReFzy40Rez 40SRFy 5 复合梁的弯曲应力复合梁的弯曲应力 复合梁弯曲正应力复合梁弯曲正应力 转换截面法转换截面法 例题例题 复合梁弯曲正应力复合梁弯曲正应力复合梁由两种或两种以上材料所由两种或两种以上材料所构成的整体梁构成的整体梁复合梁复合梁 y 111 yEE 复合梁弯曲基本方程平面假设与单向平面假设与单向受力假设成立受力假设成立 yEE222 z 轴位于中性轴轴位于中性轴平面假设平面假设中性层中性层( (轴轴) )0dd212211 AAAA MAyAyAA 212211dd 确定中性轴位
15、置确定中性轴位置确定中性层曲率确定中性层曲率I1 ,I2截面截面A1, A1对中性轴对中性轴 z 的惯性矩的惯性矩0dd212211 AAAyEAyE021 nSS式中：式中：n=E2 / E1弹性模量比弹性模量比zIEMnIIEM1211)(1 221111IEIEyME 221122IEIEyME 正应变沿截面高度线性分布，但正应力正应变沿截面高度线性分布，但正应力分布出现非连续，呈现分布出现非连续，呈现分区线性分布分区线性分布弯曲正应力公式弯曲正应力公式zIMyn 2 zIMy 1 或写作或写作 转换截面法转换截面法21eqnSSS,z 中性轴通过等效截面的形心中性轴通过等效截面的形心
16、C截面转换 静矩等效静矩等效 惯性矩等效惯性矩等效z, zInIII 21eq 当当 n = E2/E1 时，时，将将截面截面 2 的的横向尺寸横向尺寸乘以乘以 n，得，得 “等效截面等效截面”结论：通过等效截面确定结论：通过等效截面确定中性轴位置中性轴位置与与弯曲刚度弯曲刚度0 eq, zS由由 计算弹性模量比计算弹性模量比 n 画等效截面图画等效截面图 由等效截面的形心，确定中性轴位置由等效截面的形心，确定中性轴位置 计算弯曲正应力计算弯曲正应力zI 按等效截面计算惯性矩按等效截面计算惯性矩复合梁弯曲应力分析计算步骤 zIMyn 2 zIMy 1 例题例题例例 5-1 图示截面复合梁，图示
17、截面复合梁，M=30kN.m，Ew=10GPa，Es=200GPa，求木与钢横求木与钢横截面上的弯曲正应力截面上的弯曲正应力解解： 1. 模量比计算模量比计算20120010sw EEn选钢为基本材料选钢为基本材料2. 等效截面几何性质等效截面几何性质m 1830.y 45m 10392 .IzzIMy1maxs, zIynM maxw, 3. 横截面上的应力横截面上的应力MPa 796maxs,. zIyhM)-( MPa 511. 6 曲梁弯曲曲梁弯曲应力简介应力简介 曲梁弯曲应力 大曲率梁与小曲率梁 曲梁弯曲曲梁弯曲应力应力未变形时轴线即为曲线的杆件未变形时轴线即为曲线的杆件曲杆曲杆 以
18、弯曲为主要变形的曲杆以弯曲为主要变形的曲杆曲梁曲梁曲梁曲梁弯曲正应力曲梁弯曲正应力 根据平面与单向受力根据平面与单向受力假设，并综合考虑几假设，并综合考虑几何、物理与静力学三何、物理与静力学三方面，进行分析方面，进行分析 分析原理与方法分析原理与方法 应力分布特点应力分布特点 中性轴不通过横截面形心中性轴不通过横截面形心 沿截面高度沿截面高度按双曲线规律分布按双曲线规律分布 横截面内、外侧边缘处的正应力最大横截面内、外侧边缘处的正应力最大zSMy AAAr d 应力计算应力计算 Sz截面对中性轴截面对中性轴 z 的静矩的静矩AeSz 积分计算查积分计算查阅表阅表10-1 中性层曲率半径中性层曲
19、率半径:rRe yr 大曲率与小曲率梁大曲率与小曲率梁大曲率梁小曲率梁小曲率梁小曲率梁应力小曲率梁应力zIMy 大、小曲率梁大、小曲率梁的曲梁的曲梁 10 c/R 的曲梁的曲梁 10 c/R 正应力沿截面高度线性分布正应力沿截面高度线性分布 中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心可近似认为：可近似认为：谢谢 谢谢 AA0d 中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心(e) )sincos( yzE /2 中性轴与主形心轴中性轴与主形心轴 z重合重合zzEIM 1zzIyM- (b) 0d AA (c) 0d AAz (d) d AzMAy (a) E (a)(b)(e)(c)(f)(d)(f) Ey
20、0yzI FxssFxd)d()( , 0 xFssdd)(1)( zzzIMSAIMyAF)(dd zzISxMss)(dd)(1)( )()()(SsISFszz Iz- 整个截面对整个截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩Sz-截面截面 对对 z 轴的静矩轴的静矩广义弯曲公式推导广义弯曲公式推导试验表明：试验表明：平面假设平面假设与与单向受力假设单向受力假设成立成立1）几何方面）几何方面平面假设平面假设应变呈平面分布应变呈平面分布令令aybzc 2）物理方面）物理方面pE当当时时，yz 3）静力学方面）静力学方面0AdA 0AAAydAzdAdA 0 zAyAy dAMz dAM zyzzyz
21、yyIIMIIM yzAIyzdA 面积面积A对对y, z轴的轴的惯惯性积性积22,zyyyzyzzyzyzyzyzyzM IM IM IM II III II 广义弯曲正应力公式广义弯曲正应力公式22zyyyzyzzyzyzyzyzyzM IM IM IM IyzI III II 中性轴方位中性轴方位设中性轴与设中性轴与+y轴夹角为轴夹角为则中性轴过形心，且则中性轴过形心，且tanzyyyzyzzyzM IM IM IM I 广义弯曲正应力公式广义弯曲正应力公式22zyyyzyzzyzyzyzyzyzM IM IM IM IyzI III II 中性轴方位中性轴方位设中性轴与设中性轴与+y轴夹角为轴夹角为则中性轴过形心，且则中性轴过形心，且tanzyyyzyzzyzM IM IM IM I
