1、（11）空间向量与立体几何（A卷）2021-2022学年高二数学（理科）人教A版1.空间直角坐标系中，已知，则线段AB的中点坐标为( )A.B.C.D.2.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，则用基底表示向量为( )A.B.C.D.3.已知，且，则( )A.，B.，C.，D.，4.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足，点N满足，当AM、BN最短时，( )A.B.C.D.5.在三棱锥中，CP，CA，CB两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是( )A.B.C.D.6.如图，正方体的棱长为1，中心为O，则四面体的体积为( )A.B.C
2、.D.7.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，则点到平面的距离为( )A.B.C.D.8.在正方体中，点E为的中点，则平面与平面ABCD的夹角的余弦值为( )A.B.C.D.9.如图，在直三棱柱中，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为( )A.B.C.D.10.如图，N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是( )A.二面角是直二面角B.直线BM，EN是异面直线C.D.直线EN与平面MCB所成角的正弦值为11.如图，在和中，B是EF的中点，.若，则与的夹角的余弦值为_.12.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三
3、角形的三棱锥称为鳖曘.如图，在鳖曘中，平面ABC，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为_.13.如图所示，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为时，线段PM的长度是_.14.如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，平面平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值为_.15.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，D，E分别为线段AB，BC上的点，且，.（1）求证：平面ABC；（2）若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的二面角的大小.答案以及解
4、析1.答案：D解析：设中点坐标为，根据中点坐标公式得，.故选D.2.答案：C解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.3.答案：B解析：由题意可得，.，使，得解得故选B.4.答案：A解析：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面BCD，直线AC，当AM、BN最短时，平面BCD，所以M为的中心，N为AC的中点，此时，平面BCD，平面BCD，.又，.故选A.5.答案：A解析：由题意可得，则，设平面PAB的一个法向量为，由得令，则，.又，平面PAB的一个法向量为.故选A.6.答案：D解析：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，因此，所以，.易得，所
5、以.设平面EBF的一个法向量为，则令，得，所以点O到平面EBF的距离为，所以四面体的体积.7.答案：B解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，则即令，则.点到平面的距离.8.答案：B解析：以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，.设平面的法向量为，则有即令，得 .易得平面ABCD的一个法向量，即平面与平面ABCD的夹角的余弦值为.9.答案：B解析：解法一 取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，D为BC的中点，又，为直角三角形，即异面直线AD与所成的角
6、为，故选B.解法二 易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，即异面直线AD与所成的角为.故选B.10.答案：D解析：如图，构造长方体，则E是GH的中点.在A中，二面角是直二面角，二面角是锐二面角，故A错误；在B中，连接BD，MN，则N是BD的中点，BM与EN是相交直线，故B错误；在C中，以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CG所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，CM与EN不垂直，故C错误；在D中，设平面MCB的一个法向量为，则令，得，设直线EN与平面MCB所成的角为，则，直线EN与平
7、面MCB所成角的正弦值为，故D正确.故选D.11.答案：解析：由题意得，所以.由，可得.所以，即，所以.12.答案：解析：易知，故以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由M为PC的中点可得，则，.设为平面MBA的一个法向量，则即令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.13.答案：解析：以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题意，知，.是棱PB的中点，点E的坐标为.设，则，解得.，.14.答案：解析：取BC的中点E，连接OE，易得OA，OE，O
8、P两两互相垂直，故以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因此，设平面PCO的一个法向量为，则即令，得，因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值为.15.答案：(1)见解析(2)解析：(1)因为，所以，所以，可得，又因为，所以，可得，又因为，所以，所以，因为平面平面ABC，平面平面，面ABC，所以平面PAB，因为面PAB，所以，因为，所以平面ABC.(2)由(1)知DC，DB，DP两两垂直，如图分别以DC，DB，DP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为直线PA与平面ABC所成的角为，即，所以，则，所以，因为，所以，由(1)知，所以，又平面ABC，面ABC，所以，因为，所以平面PDE，所以为平面PDE的一个法向量，设平面PAC的法向量为，由，令，得，所以为平面PAC的一个法向量.所以，所以平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为.
