1、昌平区20212022学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷 2022.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知 ，那么 “”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C） 充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）已知抛物线上一点到抛物线
2、的焦点的距离为，则点到轴的距离为（A）（B）（C）（D）（5）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（6）如图，在正方体中，过点且与直线垂直的所有面对角线的条数为（A）（B）（C）（D）（7）已知函数的最小正周期为，则（A）在内单调递增（B）在内单调递减（C）在内单调递增（D）在内单调递减（8）在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为（A）（B）（C）（D）（9）算盘是中国传统的计算工具东汉徐岳所撰的数术记遗中记载：“珠算，控带四时，经纬三才”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用.如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三
3、档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（A）（B）（C）（D）（10）若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. (11)已知双曲线的一个焦点的坐标是，则此双曲线的离心率为_.(12)已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则=_;=_.（13）若函数, 对任意的都满足，则常数的一个取值为_.（14）在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为;下部为圆柱形，底面直径和高均为（如图所示）.他希望当如图放置的容器内液体高
4、度为时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为_.（15）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，前项乘积为，则数列的通项公式； 满足的最大正整数的值为三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16)（本小题13分）在中，. （I）求；（II）再从条件 、条件 这两个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，求 BC 边上高线的长条件：；条件：.注：如果选择的条件不符合要求，第（II）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 (17)（本小题13分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，,平面，是的中点，与平面交于点
5、，.()求证:是的中点;()若为棱上一点,且直线与平面所成的角的正弦值为，求的值. (18)（本小题14分）随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展.某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：(I)从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；(II)规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；(ii) 为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑
6、雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”.能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由. (19)（本小题15分）已知函数.()若求曲线在点处的切线方程；()曲线在直线的上方，求实数的取值范围. (20)（本小题15分）已知椭圆过点.() 求椭圆的方程；()若过点的直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点.求证：线段的中点为定点 . (21)（本小题15分）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列
7、的长度为的“等比伴随数列”（）数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；（）等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；（）数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值昌平区20212022学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2022.1一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)题号 1 2345678910答案ABACDCBDCD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12） （13）（答案不唯一）（14） （15）三、解答题(共6小题，共85分)（16)（共13分）解：（I）由余弦
8、定理及，得.因为，所以. 5分（II）选条件：.由正弦定理及，得.在中，,设，由，得，解得.设BC 边上高线的长为由，解得13分（17）（共13分）解：因为，平面，平面,所以平面.因为平面，平面平面,所以.所以.因为点是的中点,所以点是的中点.5分()因为平面，平面,所以.由，如图建立空间直角坐标系，则,，.设,所以.设平面的一个法向量为,则即令，则，所以.所以.设直线与平面所成的角为,则,解得：或.所以或. 13分(18)（共14分）解：（I）设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人” “自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以4分（II）(i
9、) X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所所以,.所以X的分布列为X0123P所以11分（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为优秀”，则参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化理由如下：比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化理由如下：事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 14分(19)（
10、共15分）解：（I）时，.所以曲线在点处的切线方程为即. 5分（II）只需求满足恒成立的实数的取值范围.设其中.若在上单调递增.因为所以不满足条件.若令当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以令，解得综上，实数的取值范围为15分（20）（共15分）解：()由题设，得 解得.所以椭圆的方程为：. 5分()依题意，直线的斜率存在，设其方程为.由得.由得，即.设,则.直线的方程为，令，得点的纵坐标.同理可得点的纵坐标.所以因为所以.所以线段的中点坐标为是定点.15分（21）（共15分）（）数列的一个长度为的“等比伴随数列”为（答案不唯一）.4分（）由题意，即 ，则.又数列符合题意，所以的最大值为.9分（）设长度为的“等比伴随数列”的公比为，则对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立.当时，有；当时，即;当，有恒成立，即当时，.令当时，所以在单调递减，所以当时，.同理，令，则在上单调递减，即时，.则，即.令，当时，所以在上单调递减.又由于，所以，存在，使得，所以的最大值为 15分
