1、二次函数综合1.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（秒）00160204060640 8（米）00405115162（米）025037804045040378025（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足用含的代数式表示；球网高度为014米，球桌长（142）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿
2、直线扣杀到点A，求的值2.一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离若行车道总宽度PQ（居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG，使H、G两点在抛物线上，A、B两点在地面DE上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之和为L，当n为何
3、值时L最大，最大值为多少？3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数的图像于点A，AOB90，点B在该二次函数的图像上，设过点(0，m)(其中m0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN（1）若点A的横坐标为8用含m的代数式表示M的坐标；点P能否落在该二次函数的图像上?若能，求出m的值，若不能，请说明理由（2）当m2时，若点P恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式4.如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）
4、求抛物线的表达式；（2）过点P作，垂足为点N设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由5.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标
5、；若不存在，请说明理由6.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点（1）求抛物线的解析式（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA，PB，PO，若POA的面积是POB面积的倍求点P的坐标；点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值7.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本（1）请直接写出y与x的函数关系式 ；（2）写出该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元与销售单价(元
6、)的函数关系式;当销售单价为何值时，利润最大?（3）试通过(2)中的函数关系式及其大致图象，帮助该文具店确定产品的销售单价范围，使利润不低于150元(请直接写出销售单价的范围).8.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），且与y轴交于点D（0，3），与x轴交于A、B两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线BD的解析式为y=mx+n，请直接写出不等式ax2+bx+cmx+n的解集；（3）在第一象限的抛物线上是否存在一个点P，使得四边形ABPD的面积等于10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由9.如图，已知二次函数ya(x26x8)（a0）的图象与x轴分别交于点A、B，
7、与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点 (1)该抛物线的对称轴为 ； A点的坐标 ；B点的坐标 ； (2)连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值； (3)如图，设点P(m，n)(n0）是该抛物线对称轴上的任意一点，连接P、PB、PC，试问：是否存在点P，使得线段PA、PB、PC、PD的长度与一个平行四边形的四条边长对应相等？若存在，请写出一个符合要求的点P的坐标：若不存在，请说明理由10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x1交z轴于点B连
8、接EC，AC点P，Q为动点，设运动时间为t秒 (1)填空：点A坐标为 ，抛物线的解析式为 ； (2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位秒的速度运动，过点P做PFAB，交AC于点F，过点F作FGAD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？11.已知点A(2，2)，原点O，以线段
9、OA为直径的B与x轴交于点C，若点C关于直线OA的对称点为D (1)求点D的坐标； (2)若抛物线经过D、C、D三点，求此抛物线的解析式；(3)若点P为线段AB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M问：是否存在这样的点P，使得四边形BPMD为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由12.已知二次函数yx2kxk(1)判断该二次函数的图象与x轴的交点情况；(2)设k0，当该二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为6时，求k的值；(3)在(2)的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M(0，m，)作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与ABC的外接圆有公共点？13.如
10、图，一次函数y=x2的图像交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图像经过A、B两点，与x轴交于另一点C（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；（2）如图，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PDx轴交AB于点D，PEy轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；14.如图，二次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点. (1)求该函数的表达式; (2)点为该函数在第一象限内的图像上一点，过点作，垂足为点，连接.求线段的最大值;15.如图甲,直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B. 点C,经过B.C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛
11、物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0x0)，顶点为点D.(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；(2)如图，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；(3)如图，当m取何值时，以A. D.C三点为顶点的三角形与OBC相似?17.如图,抛物线的顶点为D(1,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC，CD，AD，试证明ACD为直
12、角三角形；(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。18.如图，已知抛物线yx2bxc（b，c是常数，且c0，m0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，3)，点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE (1)用含m的代数式表示a； (2)求证：为定值； (3)设该二次函数图象的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如
13、果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由20.如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度数为 ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由21.如图，已知抛物线与轴相交于、两点，为顶点，点是第二象限内抛物线上一点，且 .(1)求点的坐
14、标;(2)向下平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线与轴相交于点、(点在点 的右侧).问:是否存在以点、为顶点且与相似的三角形?若存在，求出新抛物线对应的函数表达式;若不存在，请说明理由.二次函数压轴题精练1.抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请写出点的坐标？若不存在，请说明理由？2.如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标
15、；若不存在，请说明理由 3.已知：如图，抛物线（a0）与y轴交与点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）（1） 求该抛物线的解析式（2） 点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连结CQ当CQE的面积最大时，求点Q的坐标（3） 若平行于x轴的动直线l与该抛物线交与点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）问：是否存在这样的直线l使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 4.如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂
16、线，交抛物线于点P，交BC于Q（1）求点B和点C的坐标；（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围（3）在线段BC上是否存在点Q，使得DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由5.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在
17、，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由来% 6.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3与y轴负半轴交于点C.(1) 当三角形ABD为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式。(2) 是否存在a的值，使得三角形ABC为等腰三角形，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 7.如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G,且AGO=30。(1)点C、D的坐标(2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线沿直线y=平移，平移后的抛物
18、线交y轴于点F，顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。 8.已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：9.如图，
19、在RtABC中，B90，AB6cm，BC8cm点P从点A开始沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时点Q从B点开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动，当点Q到达点C时运动结束设移动的时间为t(S) (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，若PBQ的面积等于5cm2，求此时t的值；(2)如图，若点Q到达点C后继续沿CA运动，当点P到达点B时运动结束，求当PBQ的面积等于5cm2时t的值10.如图，抛物线y=ax2+bx+c (a0)经过A (3，0)，B (1，0)，C (2，1)，交y轴于点M (1) 求抛物线的表达式； (2) D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DEx轴于点E，交线段AM于点
20、F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3) 抛物线上是否存在异于M的一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似? 若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由?11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+2的图象与x轴交于A、B两点，过点B的直线BM交抛物线于点C（点C在x轴下方），交y轴于点M（1）求点A、B的坐标；（2）若点C为BM的中点，连接AC，求四边形OACM的面积；（3）在（2）的条件下，将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数图象，若直线BM沿y轴向上平移m个单位与新的函数图象只有2个交点，直接写
21、出m的取值范围12.如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D抛物线顶点为H（1）求抛物线的解析式（2）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD当SPAD3，若在x轴上存在以动点Q，使PQ+QB最小，若存在，请直接写出此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值13.如图，已知抛物线（a0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OC=OB（1）求此抛物线
22、的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求BCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若PAC的周长最小，求此时点P的坐标（4）点P在抛物线的对称轴上，问是否在抛物线上存在一点Q，使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出Q的坐标，如果不存在，请什么理由。14.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DEDC，DE=DC以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒过
23、点P作PFCD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由15.己知正方形中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点(4, 4).二次函数的图象经过点.点是轴上一动点，连接.(1)求此一次函数的解析式;(2)如图，过点作的垂线与线段交于点，当点在线段(点不与点重合)上运动至何处时，线段的长有最大值，求出这个最大值;(3)如图，过点作的垂线与直线交于点，二次函数的图像上是否存在点，使得以为
24、顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出的值:若不存在，请说明理由.16.在平面直角坐标系中，抛物线y1ax 23xc经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；（2）若将抛物线y1以x3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点动点P从O点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF当点E落在抛物线y1上时，求OP的长；若点P的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q点到达O点
25、时P、Q两点停止运动过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t的值（正方形在x轴上的边除外）xAyODBCPFEDQGNM17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点关于轴的对称点是，二次函数的图像经过点和点. (1)求二次函数的表达式; (2)如图1，平移线段，点的对应点落在二次函数在第四象限的图像上，点的对应点落在直线上，求此时点的坐标; (3)如图2，在(2)的条件下，连接，交轴于点，点为直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得以点为顶点的三角形与
26、相似?若存在，求点的横坐标:若不存在，请说明理由.18.如图，抛物线yx2bxc的顶点为M，对称轴是直线x1，与x轴的交点为A(3，0)和B将抛物线yx2bxc绕点B逆时针方向旋转90，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式：(2)求证A，M，A1三点在同一直线上：(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由19.如图，抛物线与轴交于两点，直线经过点，与抛物线的另一个交点为点，点的横坐标为3，线段在
27、线段上移动，=1，分别过点作轴的垂线，交抛物线于,交直线于. (1)求抛物线的解析式; (2)当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P，Q的坐标; (3)在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由.20.已知抛物线yax2+bx+c（a0）经过A(4，0)、B(1，0)、C(0，4)三点（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DNAC于点D，DMy轴交AC于点M，求DMN周长的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若3：5，求点P的坐标
