1、2021-2022学年第二学期二月阶段检测试卷高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1已知集合，则（）ABCD2已知z1，z2为复数若命题p：z1-z20，命题q：z1z2，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3某市有ABCDE五所学校参加中学生体质抽测挑战赛，决出第一名到第五名的名次A校领导和B校领导去询问成绩，回答者对A校领导说：“很遗憾，你和B校都没有得到第一名”，对B校领导说“你也不是最后一名”从这两个回答分析，这五个学校的名次排列的不同情况有（）A27种B36种C54种D72种42021年第十届中国花卉博览会在上海崇
2、明举办，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图，平面上有两定点，两动点，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为设函数，其中，令，作随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”则以下4幅图中，点的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（） A B C D5已知正方体的棱长为6，则过，三点的平面与该正方体内切球截面的面积为（）A3B6C9D126已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（）AB1CD7已知函数，若函数的图象与
3、轴的交点个数不少于个，则实数的取值范围是（）ABCD8已知，则下列说法正确的是（）ABCD二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知，且，则（）Axy的取值范围是B的取值范围是C的最小值是3D的最小值是10已知数列的前n项和，则下列结论成立的有（）A若，成等比数列，则B数列的前n项和为，则数列为单调递增数列C若，则n的最小值为6D若，则的最小值为11对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（）A若点C是线段AB的中点，则B在中，若，则C在中，D在正方形ABCD中，有12知函数，则下述结论
4、中正确的是（）A若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点B若在有且仅有个零点，则在上单调递增C若在有且仅有个零点，则的范是D若的图象关于对称，且在单调，则的最大值为三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13若与有公共零点，则a-b的取值范围是_.14抛物线的焦点为F，准线是l，O是坐标原点，P在抛物线上满足，连接FP并延长交准线l与Q点，若的面积为，则抛物线C的方程是15已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则的最小值为_.16九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开
5、圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n9，nN*）个圆环所需的最少移动次数，数列an满足a11，且an，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为.（用含n的式子表示）四、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知数列an满足a1=1，an1=2an1（nN*）.（1）求证：数列an1是等比数列；（2）设bn=（2n-1）an，求数列bn的前n项和Tn.18（12分）锐角中，角、所对的边分别为、，且.（1）求角的大小；（2）若边，边的中点为，求中线长的取值范围.19（12分）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，为底面圆上两点，且四边形为平行四边形，过点作，点为线段上一点，且满足(
6、1)证明：平面；(2)若圆锥的侧面积为底面积的2倍，求二面角的余弦值20（12分）乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为.在一局比赛中，若现在甲乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；(2)假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望.21（12分）已知椭圆的焦距为2，分别是C的左右两个
7、焦点，椭圆C上满足的点P有且只有两个.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且，求证：存在定点Q，使得Q到直线l的距离为定值，并求出这个定值.22（12分）已知函数（1）函数为的导函数，讨论的单调性；（2）当时，证明：存在唯一的极大值点，且参考答案123456789101112CBCBBACDBDABDACDACD13141516（，n为奇数）17.(1)证明：依题意，由an1=2an1，可得an11=2（an1），即，又数列an1是以2为公比的等比数列.(2)解：由（1）得an1=（a11）2n-1，又a1=1，an=2n-1（nN*），bn=（2n-1）an=（2
8、n-1）（2n-1）=（2n-1）2n-（2n-1）（nN*）.构造数列dn：令dn=（2n-1）2n，则bn=dn-（2n-1）（nN*）.设数列dn的前n项和为Sn，则Sn=d1d2dn=121322523（2n-1）2n，2Sn=122323（2n-1）2n1，两式相减，可得-Sn=12122222322n-（2n-1）2n1=223242n1-（2n-1）2n1=2-（2n-1）2n1=（3-2n）2n1-6，Sn=（2n-3）2n16（nN*），Tn=b1b2bn=（d1-1）（d2-3）dn-（2n-1）=（d1d2dn）-13（2n-1）=Sn-=（2n-3）2n16-n2.Tn
9、=（2n-3）2n16-n2.（nN*）.18.(1)解：由正弦定理得因角、为锐角，所以，于是，即，又角为锐角，则.(2)解：由余弦定理得，于是，因，两边同时平方得，由正弦定理得，所以，因0B2，解得，则，于是，所以中线长的取值范围为.19.(1)在圆锥中，平面，又平面，四边形为平行四边形，又在圆锥中，四边形为菱形，又，平面AOB，平面(2)在圆锥中，平面，又平面，由（1）知，又，以点为坐标原点，向量的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系设圆锥的底面半径为r，母线长为R则，由题意知，即，不妨令，则，设平面BPF的法向量为，则，令，则，是平面EPF的一个法向量设平面EPF的法向量为，则
10、，令，则，是平面BPF的一个法向量设二面角的大小为，则，二面角的余弦值为20. (1)设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则，事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则；则(2)X的可能取值为1，2，3，4.，所以X的分布列为：X1234p其中.即数学期望为.21.(1)设椭圆C的标准方程为，则，椭圆C上满足的点P有且只有两个，点P为短轴端点，故，故椭圆的标准方程为；(2)当直线l的斜率不存在时.设，由，不妨设，代入椭圆，得，直线，此时原点到直线l的距离为；当直线l的斜率存在时，设，联立，消去y，得，有从而，即，化简得满足，因此，原点到直线l的距离；综上，存在，使在Q到直线l的距离为定值.22.(1)，设，则当时，则在上单调递增；当时，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增所以在上单调递减，在上单调递增(2)证明：当时，由（1）可知的最小值为，而，又，由函数零点存在定理可得存在使得，又在上单调递减，所以当时，当时，故为的极大值点，又在上单调递增，故在上不存在极大值点，所以存在唯一的极大值点，又，所以因为，而，所以又为极大值，所以综上，
