1、专题16集合间的基本关系学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解空集的含义3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念知识点拨(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意xA能推出xB(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那
2、么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集(5)若AB，且AB，则AB高中必备知识点3：空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为.(2)规定：空集是任何集合的子集高中必备知识点4：集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC；若AB，BC，则AC(3)若AB，AB，则AB典例剖析高中必会题型1：确定集合的子集、真子集1（1）已知集合M满足1，2M1，2，3，4，5，写出集合M所有可能情况（2）已知非空集合M1，2，3，4，5，且当aM时，有6-aM，试
3、求M所有可能的结果【答案】（1）1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5；（2）3，1，5，2，4，1，3，5，2，3，4，1，2，4，5，1，2，3，4，5（1）因为1，2M，所以1M，2M，又因为M1，2，3，4，5，所以M是含有1，2的1，2，3，4，5的子集，故M的所有可能情况是1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5共8个（2）若M只含1个元素，则M=3；若M只含2个元素，则M=1，5，2，4；若M只含3个元素，则M=1，3，5，2，3，4；若M
4、只含4个元素，则M=1，2，4，5；若M含5个元素，则M=1，2，3，4，5所以M可能的结果为：3，1，5，2，4，1，3，5，2，3，4，1，2，4，5，1，2，3，4，5，共7个2写出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.【答案】见解析集合0,1,2的所有子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2.真子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2.3已知，则求：（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集【答案】（1）8， （2），（1）的子集有，共8个，其中.（2）集合A的所有非空真子集有，.4（1）写出集合a，b，c，d的所有
5、子集；（2）若一个集合有n(nN)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？【答案】（1）见解析；（2）有个子集，个真子集.（1）集合的所有子集有：、；（2）若一个集合有n(nN)个元素，则它有个子集，个真子集.5举出下列各集合的一个子集：（1）A=是立德中学的学生；（2）B=是三角形；（3）；（4）.【答案】（1）是立德中学的女生（2）是直角三角形（3）（4）（1）是立德中学的女生（2）是直角三角形（3）（4）高中必会题型2：集合间关系的判断1判断下列集合间的关系：(1)Ax|x32，Bx|2x50；(2)AxZ|1x3，Bx|x|y|，yA【答案】(1) AB(2) BA.(1)Ax|x32
6、x|x5，Bx|2x50x|x，利用数轴判断A、B的关系如图所示，AB.(2)AxZ|1x31,0,1,2，Bx|x|y|，yA，B0,1,2，BA.2判断下列各组中集合之间的关系：（1）Ax|x是12的约数，Bx|x是36的约数；（2）Ax|x是平行四边形，Bx|x是菱形，Cx|x是四边形，Dx|x是正方形；（3）Ax|1x4，Bx|x5.【答案】（1）AB；（2）DBAC；（3）AB.（1）因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.（2）由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.（3）易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如2B，但2A，故AB.3指出下
7、列集合之间的关系：，【答案】集合表示的是直线上的一些孤立的点的集合，而集合表示的是直线上所有的点的集合，因此.4写出下列每对集合之间的关系：（1），；（2），；（3），；（4）是对角线相等且互相平分的四边形，是有一个内角为直角的平行四边形【答案】（1） ；（2）；（3） ；（4）（1）因为B的每个元素都属于A，而且，所以（2）不难看出，C和D包含的元素都是1和，所以（3）在数轴上表示出区间E和F，如图所示由图可知（4）如果，则是对角线相等且互相平分的四边形，所以是矩形，从而可知是有一个内角为直角的平行四边形，所以，因此反之，如果，则是有一个内角为直角的平行四边形，所以是矩形，从而可知是对角线相
8、等且互相平分的四边形，所以，因此综上可知，5已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由【答案】A是B的真子集.，理由见解析因为，则的几何意义是轴上的点到定点与点的距离之差即三角形两边之差的绝对值小于第三边，且，三点不共线，即即；又，A是B的真子集.高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题1设集合，不等式 的解集为.（1）当时，求集合，.（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.（1）解：当时，解不等式得：，即.（2）解：若，则有：，即，即，符合题意，有，解得：.综合得：.2设集合，若，求实数a的值【答案】a1或a1.A0，4，BA，于是可分为以下几种情况(1)当AB时，B0，
9、4，由根与系数的关系，得解得a1.(2)当时，又可分为两种情况当时，即B0或B4，当x0时，有a1；当x4时，有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足条件；当时，4(a1)24(a21)0，解得a1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a1或a1.3设集合A=x|x2+3x+100，B=x|x23ax+2a20，若BA，求实数a的取值范围【答案】1，集合A=x|x2+3x+100=x|2x5，B=x|x23ax+2a20=x|（xa）（x2a）0，BA，当a=0时，B=，成立；当a0时，B=x|2axa，由BA，得，解得1a0，当a0时，B=x|ax2a，由BA，
10、得，解得0a，综上，实数a的取值范围是1，.4已知集合Ax|x1或x2，Bx|mxm，若BA，求m的取值范围【答案】m1BA，若B，则m0，满足BA，若B，则m0，由BA，得m1，解得，0m1综上所述：实数m的取值范围为m15设A=3，4，B=x|x22ax+b=0，B且BA，求a，b.【答案】答案见解析因为B，BA，所以B=3或4或3，4.当B=3时，解得a=3，b=9；当B=4时，解得a=4，b=16；当B=3，4时，解得a=，b=12.对点精练1若集合A=1，3，x，B=x2，1，且BA，则满足条件的实数x的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】C解析由BA，知x2=3或x2=x，解得x=
11、，或x=0，或x=1，当x=1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x=1舍去.故选：C2以下四个关系：0，0，0，0，其中正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】A集合与集合间的关系是，因此0错误；表示只含有一个元素(此元素是)的集合，所以0错误；空集不含有任何元素，因此0错误；0正确因此正确的只有1个故选：A.3设集合A=1，x2，B=x，且BA，则实数x为（ ）A0B1C0或1D0或-1【答案】A因为BA，所以xA，所以x=1或x=x2，x21，解得x=0故选：A.4已知集合，.若，则的值为（ ）A2B1C-1D-2【答案】A因为，所以集合为双元素集，即所以.故选：A.5下列集合与集合
12、相等的是（ ）ABCD【答案】C集合表示数字和的集合.对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.故选：C.6集合的真子集的个数是（）A16B8C7D4【答案】C解：，的真子集为：共7个故选：C7设A1，4，x，B1，x2，若BA，则x等于（）A0B2C0或2D0或2【答案】D因为A1，4，x，B1，x2，若BA，则x24或x2x，解得x2或2或1或0当x0，集合A1，4，0，B1，0，满足BA当x1，集合A1，4，1不满足元素的互异性当x2，集合A1
13、，4，2，B1，4，满足BA当x2，集合A1，4，2，B1，4，满足BA综上，x2或2或0故选：D8设集合Mx|x2n，nZ，Nx|x4n2，nZ，则（）AMNBMNCMND以上都不正确【答案】B集合Mx|x2n，nZ，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，Nx|x4n2，nZx|x2（2n1），nZ，故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，故NM，故选：B9对于两个非空数集A、B，定义点集如下：AB（x，y）|xA，yB，若A1，3，B2，4，则点集AB的非空真子集的个数是（ ）个.A14B12C13D11【答案】AAB（x，y）|xA，yB，且A1，3，B2，4，所以AB（1，2），（1，
14、4），（3，2），（3，4），共有四个元素，则点集AB的非空真子集的个数是：24214.故选：A.10设集合，若AB，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A，由数轴表示集合，作图如下：由图可知，即的取值范围是故选：A11已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）；.A1个B2个C3个D4个【答案】C因为，对于，显然正确；对于，是集合与集合之间的关系，显然用不对；对于，根据空集是任何集合的子集知正确；对于，根据子集的定义知正确故选：C12已知集合A0，1，B1，0，a3，且AB，则a等于A1B0C2D3【答案】C【解析】由题意得，选C.13当集合时，_，_，_.【答案】 详解：由已知，所以，从而，即
15、，故答案为1，1，014已知A=，B=，若BA，则实数m的取值范围为_【答案】A=，B=，BA，m2，实数m的取值范围为故答案为：15已知集合A=x|ax2+2x+a=0，aR，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是_.【答案】0或1因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0，A=0，符合题意；当a0时，=4-4a2=0，解得a=1. 此时A=-1或1，符合题意. 综上所述a=0或a=1.故答案为：0或1.16已知集合，若，则实数a的取值范围为_【答案】当时，方程化为，解得，此时，满足题意，当时，要使，则，解得且，所以使的实数a的
16、取值范围为故答案为：17已知集合，若，求实数，的值.【答案】或.解：由已知，得（1）或.（2）解（1）得或，解（2）得或，又由集合中元素的互异性得或.18已知A1，1+a，1+2a，B1，b，b2，若AB，求a，b【答案】a，b因为AB，则b1+a，b21+2a，或b1+2a，b21+a若b1+a，b21+2a，（1+a）21+2a，a0.此时A中三个都是1，不符合集合元素的互异性.若b1+2a，b21+a，（1+2a）21+a，4a2+3a0，由知a0不成立，a，b1+2a19已知A=1，1，B=x|x2ax+b0，若BA，求实数a，b的值【答案】a2，b1或a2，b1或a0，b1或a24b
17、0因为B=x|x2ax+b0，且BA，当B中有一个元素时，B1或B1当B1时，解得a2，b1；当B1时，解得a2，b1；当B中有两个元素时，BA，即B1，1，解得a0，b1；当时，只需满足a24b0，综上所述，a2，b1或a2，b1或a0，b1或a24b020已知Px|2x6，Qx|axa+1若QP，求a的范围.【答案】2，5因为Px|2x6，Qx|axa+1，且QP，所以，解得2a5所以a的取值范围是2，521已知集合,，且,求的取值范围.【答案】若A=，则a-2，故B=C=，满足CB；若A，即a-2， 由在上是增函数，得，即当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；综上所述，的取值范围是.22已知集合，判断这两个集合之间的关系.【答案】因为，所以.因为，所以.故，所以.
