1、（一）外接球类型一、正方体 （，为正方体的边长）例1、 已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为_：外接球的表面积为_1、已知正方体外接球的表面积为，那么正方体的棱长等于_。2、球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，若正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S1，球O的表面积为S2，则S1S2=_3/已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_.【答案】【解析】如图所示,作出圆锥的一个轴截面,其中为母线, 为底面直径, ,是正方体的棱长,是正方体的上、下底面的对角线,设
2、正方体的棱长为,则,又,.故高.依题意得,即.故正方体的体对角线,即外接球的直径.故外接球表面积.故答案为：4、已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则正方体的棱长为_；正方体的外接球的表面积为_【答案】4 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球与内切球半径分别为，正方体的外接球的表面积为故答案为：4，类型二、长方体（，为长方体的长、宽、高）例1、已知在长方体中，棱长，,则该长方体的外接球的表面积为（ ）ABCD1、已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是 ；它的外接球的体积是 2、如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该
3、长方体外接球体积为（ ）A B C D3、鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）ABCD【答案】D【解析】由题意知，当该球为底面边长分别为、，高为的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为，因此，该球形容器的表面积的最小值为.故选：D.4
4、、如图，将一个圆柱2n（nN*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为_，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为_【答案】8 【解析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为，高为，则可得，所以圆柱的侧面积为；（2）设圆柱的外接球的半径为，依题得，所以外接球的表面积，当且仅当时，最小，此时，外接球的体积.故答案为：（1）8；（2）5、一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为_类
5、型三、圆柱（，）例1、若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_1、球的内接圆柱的底面积为，侧面积为，则该球的表面积为_【答案】【解析】因为球的内接圆柱的底面积为，侧面积为，所以圆柱的底面半径为2，高为3，所以外接球的半径为，有，所以球的半径为，所以球的表面积为，故答案是.2、若半径为2的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为时，圆柱的体积为_3、 若侧面积为4的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_.4、半径为的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（ ）ABCD5、有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与
6、底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的（ ）A倍B2倍C倍D3倍6、九章算术是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 ( )ABCD【答案】C【解析】解：如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，则，解得，又，解得，外接球的半径为，外接球的体积为故选：7、如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个
7、圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为，则圆柱的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】解析：设球的半径为，则，解得.如图，设圆锥的高，底面半径.则圆锥的母线长，圆柱的高为，依题意可得，解得所以圆柱的体积，故选C. 类型四、圆锥（，）例1、底面半径为3，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为( )A6 B12 C8 D161、已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )ABCD2、已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为_3、已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的表面积为，外接球的表面积为，则（ ）ABC
8、D4、（2015秋唐山校级期末）轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是 5、已知球的体积为，则球的内接圆锥的体积的最大值为_【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的球的体积求得球的半径的大小，之后利用对应几何体的轴截面，找出内接圆锥的底面圆的半径，圆锥的高和球的半径之间满足的等量关系式，将圆锥的体积转化为高的函数，借助于均值不等式求得最大值.详解：设球的半径为，则有，整理得，即，设给球的内接圆锥的底面圆的半径为，高为，则有，而该圆锥的体积，利用均值不等式可得当的时候，即时取得最大值，且最大值为.类型五、直棱柱与正棱柱（补圆柱，）例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，
9、体积为，则这个球的表面积是（ ）A B C D1、一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 。2、在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 。3、已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，则多面体的外接球的表面积为 。4、直四棱柱的底面边长，高为，则它的外接球的表面积为_【答案】【解析】试题分析：由于四边形ABCD的边长为AB=BC=CD=2,AD=4，这恰好是一个边长为2的正六边形的一半，所以可以将直四棱柱补成正六棱柱，其体对角线长为42+42=42，由此求得其外接圆的半径为，故它的外接圆的表面积为考
10、点：几何体外接球5、已知正四棱台的上、下底面边长分别为，高为2，则其外接球的表面积为（ ）ABCD6、已知直三棱柱外接球的表面积为，若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（ ）AB2C4D不是定值类型六、对棱相等的三棱锥（补长方体、，为三棱锥的棱长）例1、在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 。1、已知正四面体外接球的表面积为，则该正四面体的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设外接球半径为，则，解得，将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，故，解得，故该正四面体的表面积为，故选：C.2、过球表面上一点引三条长度相等的弦、，且、两两夹角都为，若，
11、则该球的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题：在四面体中，所以均为等边三角形，且边长均为，所以四面体是正四面体，棱长为，如图：根据正四面体特征，点在底面正投影是底面正三角形的中心，外接球球心在线段上，设外接球半径为，取中点过点的截面圆的半径，在中，则球心到截面的距离在中，解得，所以球的体积.故选：A3、蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，蹴最早系外包皮革、内饰米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D满足，
12、则该“鞠”的表面积为_cm2【答案】【解析】如图将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，则“鞠”的表面积为四面体外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为，则有，设长方体外接球半径为,则有，解得，所以外接球的表面积为：.故答案为：4、如图，多面体，两两垂直，则经过的外接球的表面积是_【答案】.【解析】根据两两垂直构造如图所示的长方体，则经过的外接球即为长方体的外接球，故球的直径为长方体的体对角线的长设,由题意得，解得所以球半径为，球的表面积为 答案： 5、如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ）ABCD【答案
13、】A【解析】将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形,在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即,因为正四面体,所以,所以,因为是棱的中点,所以，所以,设,则,所以,则,所以,则正四面体的棱长为,所以正四面体的外接球半径为,所以该正四面体外接球的表面积为,故选：A6、正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，则该正四面体的外接球的体积为_，线段长度的取值范围为_.【答案】 【解析】【分析】由图可知正四面体的外接球的体积等于正方体的外接球的体积，求正方体外接球体积即可；点在以的中点圆心，以为半径的圆上，线段长度最小为点到圆心的距离减去半径，最大为点到圆心的距离加上半径，代入数据求解即可.【详解
14、】如图，由题可得正四面体与正四面体全等，所以正四面体的外接球的体积等于正四面体的外接球的体积，也即是正方体的外接球的体积，因为正方体棱长为1，所以外接球直径为，所以正方体的外接球的体积为：，所以正四面体的外接球的体积为；分析可知点在以的中点圆心，以为半径的圆上，由点在圆内，且，所以长度最小为，长度最大为，所以长度的取值范围为.故答案为：；.类型七、三棱两两互相垂直的三棱锥（补长方体、为三棱锥两两互相垂直的棱长）例1、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、，那么它的外接球的表面积是 1、已知三棱锥，若，两两垂直，且，则三棱锥外接球的体积为 .2、如图，边长为2的正方形中，点、分别是边、
15、的中点，、分别沿、折起，使、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_.【答案】【解析】由题意，知是等腰直角三角形，且平面，三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线长就是外接球的直径，所以球的半径，所以该球的表面积为故答案为：3、在三棱锥中，中点为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：如图,易知，由余弦定理可得，因，故;同理，故，所以是棱长为的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为，所以外接球的面积为，应选C4、已知四点均在球O的球面上，是边长为6
16、的等边三角形，点D在平面上的射影为的中心，E为线段的中点，若，则球O的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设的中心为G，连接并延长交于F，则F为中点，连接、，由题知平面，所以，又，所以平面，所以，又，平面，又为正三棱锥，两两垂直，故三棱锥可看作以，为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由得，故正方体外接球直径，所以球O的表面积为.故选：C.5、在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。类型八、有一条棱垂直底面的棱锥，（补圆柱、为外接球半径、为底面外接圆半径、为棱锥的高）例1、在四面体中，则该四面体的外接球的表面积为（ ） 1、已知三棱锥中，平面，若，则其外
17、接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示：是三棱锥外接球的球心，是外接圆的圆心，三棱锥中，平面，若，所以在中，由余弦定理得，解得，设的外接圆的半径为，则，解得，所以,设外接球的半径为，由题得，所以所以故选：A2、中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（）ABCD【答案】A【解析】由题意，因为平面，四边形为正方形，又由鳖牖的体积为，所以，解得，而阳马的外接
18、球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，所以，即，球的表面积为故选A3、在平面四边形ABCD中，ABBD，BCD=30，若将ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( )A4B5C6D8【答案】C【解析】【分析】根据已知条件折叠后，平面平面，转化为线面垂直关系，再结合球的的性质，确定球心位置，求出半径，即可求解.【详解】取中点，设的外心为，连，则分别过作的平行线，交于点，即，为的外心，平面平面，平面，平面，平面，同理平面，分别为，外心，为三棱锥的外接球的球心，为其半径,，.故选:C4、在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是一个正三角形，若平面平面，则该四棱锥
19、的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，过作，交于，取的中点，连接，在的三等分点（），取的中点，在平面过分别作的垂线，交于点因为为等边三角形，所以因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因平面，故 又因为四边形为正方形，而为的中点，故，故，因，故平面在中，因，故，故平面，同理平面因为正方形的中心，故球心在直线上，因为的中心，故球心在直线上，故为球心，为球的半径在中，故，所以球的表面积为故选D5、正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面
20、，.因为，故，因为，故.由正弦定理可得，故，又因为，故.因为，故平面，所以，因为平面，平面，故，故，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.6、如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC中，AB=，ACB=60，BCD=90，ABCD，CD=，则该球的体积为_【答案】【解析】以ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为依题意得CD平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为，所以球的体积为答案：7、九章算术中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直
21、的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图，由可得,即为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心，设三棱锥外接球球心为，连接，则
22、平面，连接,在中作,垂足为，如图，因为,所以是的中点，由矩形可知,因为为三角形的中心，所以在中，,所以,故答案为：8已知是边长为2的等边三角形，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_【答案】【解析】取的中点，连接，设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，因为是边长为2的等边三角形，所以面积确定，要使三棱锥体积最大，即要使点到平面的距离最大，只有当平面平面时，体积最大，即点到边的距离最大，三棱锥的体积最大，因为，且，外接圆的半径为，又为的外心，在的中垂线上，且,当点满足时，共线，点到边的距离最大，三棱锥的体积最大.此时三棱锥的高即为的长，此时外接圆的圆心在上，根据球的性质可知，故四边形为矩形，故
23、，在中，球的半径平方为，所以球的表面积为.类型九、顶点的射影在底面的外心上的棱锥（补圆锥、为外接球半径、为底面外接圆半径、为棱锥的高）常见的有：正棱锥、侧棱相等的棱锥例1、已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为（ ）A B C D1、在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A B. C. 4 D.2、正四棱锥的底面积为3，其外接球的表面积为，且外接球的球心在正四棱锥的内部，则正四棱锥的体积为（ ）ABCD3、已知体积为3的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O，满足OA+OB+OC=0, 则该三棱锥外接球的体积为 4、如图所示，在直三棱柱中，CC，C=
24、2，C=4，点是线段的中点，则三棱锥-C的外接球的体积是（ ）A 36 B2053 C6 D435、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为OE，F，G，H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】D【解析】如图：连接交于点，设重合交于点，设正方形的边长为，则，因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则，解得，设该四
25、棱锥的外接球的球心为，半径为，则有，因为，所以.则，解得，外接球的表面积为，故选.6、已知平面四边形中，是等边三角形，现将沿折起到，使得点在平面上的射影恰为的外心，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为是等边三角形，所以，因为，所以，四点共圆，所以的外心也是的外心，记为，取中点，则，共线，连结，取的外心，则点在线段上，且，过点作平面的垂线交于点，则是三棱锥外接球的球心，且，所以，因为 所以，, ，所以即，所以外接球的表面积为.故选C7、已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥的高为2，则球的表面积为（ ）ABCD【
26、答案】A【解析】【分析】根据四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，考虑将底面ABCD和一个侧面PAB放入同一个圆中，来计算相应的边长,再根据球的性质计算半径即可得球表面积.【详解】如图所示，圆是正方形ABCD和等腰PAB的外接圆，设圆的半径为r,则，所以所以设点O是四棱锥P - ABCD的外接球的球心，F为正方形ABCD的中心，如图，则PF平面ABCD，所以在AFP中有又因为AF的长度为圆的半径,所以所以设四棱锥P - ABCD的外接球的半径为R,在中，所以，因为，所以所以解得所以四棱锥P - ABCD的外接球的表面积为，故选：A类型十、两个面垂直，其中一个面为直角三角形（公共边的对
27、角为直角）的三棱锥，则另一个面的外接圆半径为该三棱锥的外接球半径。例1、在三棱锥中，面面， 则三棱锥的外接球的表面积是_1、已知三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图，取的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，平面，所以面，又平面，所以，在上取一点，使得，则为球心，设球的半径为，因为，所以为直角三角形，又为的中点，所以，又，又在中，即，解得.所以外接球表面积为.故选：C.2、如图，在四棱锥中，四边形为矩形，则四棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为四边形为矩形，所以 又，且，所以 平面，所以 平面平面，又，所以是等腰直角三角形，所以
28、其外接圆的圆心是CD的中点，又四边形为矩形的外接圆的圆心为AC，BD的交点，所以四棱锥的外接球的球心为AC，BD的交点，所以外接球的半径为,所以四棱锥的外接球的体积为.故选：D3、已知等腰中， ， 分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意得四点共圆，设圆心为O，则半径为， O到直线DE距离为 因为 ,所以O为外接球的球心，半径为，因此外接球的表面积为 4、如图所示，在平面四边形中，现将 沿边折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】先利用条件判断平面ACD平面ABC时体积最大，再计算知空间中A
29、B对的角，即判断AB为外接球的直径，计算表面积即可.【详解】因为的面积不变，要使体积最大，需D到平面ABC的距离最大，即当平面ACD平面ABC时，体积最大，因为等腰直角三角形，取AC中点E,则DE平面ABC，高为DE=最大，AC=，则Rt中，BC=2，AB=4，所以EB=，故Rt中BD=，所以中，即得空间中即AB为球的直径，故半径，所以外接球的表面积.故选：D.5、已知点在同一个球的上,.若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据几何体的特征,小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积SABC不变,高最大时体积最大,可得DQ与面ABC
30、垂直时体积最大,从而求出球的半径,即可求出球的表面积.【详解】根据题意知,A、B、C三点均在球心O的表面上,且,由余弦定理可得BC,ABC为直角三角形,ABC外接圆直径,即,且,的中点即为小圆的圆心设为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积SABC不变,高最大时体积最大,所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为SABCDQ,设球的半径为R,则在直角AQO中,OA2AQ2+OQ2,即,球的表面积为,故答案为：.类型十一、两直角共斜边的三棱锥，外接球的半径为公共斜边的一半例1、在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）A B C D1、在四面体中，则它的外接球的
31、表面积A B C D2、在三棱锥中，已知，且平面平面，三棱锥的体积为，若点都在球的球面上，则球的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】【分析】取中点，连接，设球半径为，由题意可知，由，可列出关于的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积.【详解】解：取中点，连接，设球半径为，因为，所以，因为，所以，则,因为平面平面，所以平面，即，所以，球的表面积为.故选:A.3、在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，设的中点为，的中点为，连接，因为，所以，所以所以为棱锥外接球的球心，设半径为，又，且，所以，则又由，且可证平面，所以，解得所以外接球的体积
32、故选：B4、如图，在三棱锥ABCD中，点E在BD上，EAEBECED，BDCD，ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AMCN，则当四面体CEMN的体积取得最大值时，三棱锥ABCD的外接球的表面积为_.【答案】32【解析】设EDa，则CDa.可得CE2+DE2CD2，CEED.当平面ABD平面BCD时，当四面体CEMN的体积才有可能取得最大值，设AMx.则四面体CEMN的体积（ax）axax（ax），当且仅当x时取等号.解得a2.此时三棱锥ABCD的外接球的表面积4a232.故答案为：32类型十二、棱锥外接球一般方法。（1） 找球心（找两个面的外接圆圆心，并分别过两外
33、接圆圆心作两面的垂线，两垂线的交点为球心）（2） 求球半径（利用勾股定理求解）例1、三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .1、在四面体中，则它的外接球的面积（ ）ABCD2、在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】分析：先证明于CD中点E,再由OC=OA算出球的半径，再求球的表面积解析：根据题意画出三棱锥，如下图由所以AB直线在面BCD上的身影在底面正三角形的角平分线BE(E为CD中点)，即，点F为等边三角形BCD的中心，OF/AE,球心一定在OF上，设球半径为R,解得,选A.3、四面体中，点是的中点，点在平
34、面的射影恰好为的中点，则该四面体外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】分析：由题意得BCD为等腰直角三角形，故BCD外接圆的圆心为斜边BC的中点E，从而得到球心O在过点E且与面BCD垂直的直线上，根据条件及球心到四面体的顶点的距离相等可得球的半径，从而可求得外接球的表面积详解：如图，由题意得BCD为等腰直角三角形，且，点E是BCD外接圆的圆心点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，, 设球心到平面BCD是距离为h，则有，解得，四面体外接球的半径，该四面体外接球的表面积为故选A4、四边形是菱形，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析
35、】【分析】取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，利用二面角的定义得出，并设，计算出的值，可得出的长度和的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥外接球的半径，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，所以，设，则，则，球的半径，所求外接球的体积为，故选B.5、10在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】做 中点，的中点，连接，由已知条件可求出，运用余弦定理可求，从而在平面中建立坐标系，则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为
36、在该平面坐标系的坐标可求，通过球心满足，即可求出的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.【详解】解：如图做 中点，的中点，连接 ，由题意知，则 设的外接圆圆心为，则在直线上且 设长方形的外接圆圆心为，则在上且.设外接球的球心为 在 中，由余弦定理可知，.在平面中，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点垂直于 轴的直线为 轴，如图建立坐标系，由题意知，在平面中且 设 ，则，因为，所以 解得.则 所以球的表面积为.故答案为: .6、已知在三棱锥中， ，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】设中心为，外心为，则是斜边的中点，设三棱锥外接球球心为，则平面平面，求得，利用勾股定理
37、可得，从而可得结果.【详解】,是正三角形，是等腰直角三角形，设中心为，外心为，则是斜边的中点，所以，设三棱锥外接球球心为，则平面平面，由余弦定理，设球半径为，球的表面积为，故答案为.例2、【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_1、已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（）A B C D2、已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（ ）A
38、B C D3、已知三棱锥的体积为，的中点O为三棱锥外接球球心，且平面，则球O的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】为等边三角形，边长为球的半径，三棱锥的体积：，解得，球的体积为故选：4、已知点，在球的表面上，且，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据条件可知球心是侧棱中点.利用三棱锥的体积公式，求得设点到平面的距离，又由球的性质，求得，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，满足，所以为直角三角形，根据条件可知球心是侧棱中点.设点到平面的距离为，则，解得，又由球的性质，可得球半径为，满足，所以，所以这个球的表面积.5、我国古代有一种容器叫“
39、方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为升（一升为一立方分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则该方斗的外接球的表面积为_平方分米. 【答案】【解析】作图，由台体体积公式，所以，如图所示：根据正四棱台对称性可知，球心在直线上，设，解得：，所以，所以外接球表面积故答案为：（二）内切球一、正方体的内切球问题例1、若一个与正方体各个面都相切的球的表面积为4，则此正方体的体积为（ ）A4B1C8D6【答案】C【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，球的表面积为，球与正方体各个面都相切，正方体的体积.故选：.1已知一个表面积为24的正方体，假设有
40、一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为( )ABCD【答案】D【解析】设正方体的棱长为，则，解得.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为.故选：D2如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】分析：由题意，可以判断出两个球都与正方体相切，要使得球的半径最大，则球的直径等于正方体的棱长，即可求解球的体积.详解：由题意，可以判断出两个球都与正方体相切，要使得球的半径最大，则球的直径等于正方体的棱长，即，所以，则球的体积为，故选B.3若正方体的棱长为2，则与正方体的各个面都相切的球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：球与棱长为2的正方体的各个面相切，球是正方体的内切球，可得球直径等于正方体的棱长，设球的半径为，得，解得，因此，该球的表面积故
