1、2022年中考数学二轮专题复习：最值问题1. 在等边ABC中，AB2，点D是BC边的中点，点E是AC边上一个动点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90，得到DE，连接CE，则CE的最小值是（ ）A. 1B. C. D. 2. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 3. 在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（）.A. B. C. 5D. 64. 如图，在中，点是边上一动点，过点作交的延长线于若，则的最小值
2、为（）A. B. 1C. D. 5. 如图，在RtABC中，ABBC、AB6，BC4，点P是ABC内部的一个动点，连接PC，且满足PABPBC，过点P作PDBC交BC于点D（1）APB_；（2）当线段CP最短时，BCP的面积为_；6. 直线yx3与x轴交于点A、与y轴交于点B，经过A、B两点的二次函数yx22xc的图象与x轴的另一个交点为点C，P是抛物线上第一象限内的点，连接OP，交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为n（1）c_；（2）n的最大值为_7. 如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且，（1）_；（2）E为BD边上的一个动点，当最小时_8. 二次函数yax2bx
3、c（a0）的图象过点A（0，1）和C（1，0）（1）若函数图象的对称轴是x1，则函数解析式为_（2）当a2时，作直线xh（h0）交直线AC于P，交抛物线于点Q，交x轴于点D，当PQQD时，h_9.如图（1），点P从点A出发，匀速沿等腰三角形ABC的边运动，设点P的运动时间为t（s），AP的长为y（cm），点P回到A点时停止运动Y与t的函数关系式如图（2）所示，点Q为曲线部分的最低点，则m的值为_10. 平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，抛物线yax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的_两点；（2）平移抛物线yax2+
4、bx+1，使其顶点在直线yx+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为_11. 已知，抛物线y=x2+(b+6)x+c，其中b，c为实数（1）若抛物线经过点P(1，b)，则c=_（2）过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y=x2+(b+6)x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB=3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是_12. 已知抛物线（为常数）的顶点为（1）求该抛物线的解析式；（2）点在该抛物线上，当时，比较与的大小；（3）为该抛物线上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标13. 已知：抛物线yx2kxk1（k1）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左
5、侧），与y轴交于点C（1）k2时，求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过一个定点，求这个定点的坐标；（3）点P为抛物线上一点，且位于直线BC上方，过点P作PFy轴，交BC于点F，求PF长度的最大值（用含k式子表示）14. 已知关于x的二次函数（1）当时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当时，直线与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线与直线交于点A，求点A到x轴的最小值15. 在直角坐标系中，设函数（，是常数且）（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由（3
6、）已知，当（，是实数）时，该函数对应的函数值分别为，若，求的最大值16. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，设抛物线的顶点为直线与抛物线交于，两点（1）求，值；（2）若点在线段上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，的延长线交抛物线于点，求线段的最大值17. 已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线（1）求的值；（2）当时，求的最大值；（3）平移抛物线，使其顶点始终在二次函数上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值18. 已知抛物线（1）无论m取何值，该抛物线总经过一定点，定点坐标为_（2）抛物线与直线yx1交于两点，且，若，求m的值（3）点P是抛物线上第四象限内一动点，在（2）的条件下，求PA
7、B面积的最大值19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中点A坐标为（3，0），点B坐标为（1，0），连接AC、BC，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值；（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？20. 如图，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，当点P
8、在直线AC下方时，过点P作轴，交直线AC于点E，作轴，交直线AC于点F，求的最大值21. 如图1，在平面直角坐标系中，直线yx4与抛物线yx2bxc（b、c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，设抛物线与x轴的另一个交点为点C（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D当点D为线段AB中点时，求P点坐标；过点P作PFBO交AB于点F，求PF的最大值22. 如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OAOC3OB，抛物线图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线顶点（1）求抛物线所对应的函数
9、表达式；（2）判断ADC的形状，并求ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PEAC于点E，PE的值是否存在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由2022年中考数学二轮专题复习：最值问题参考答案1. 在等边ABC中，AB2，点D是BC边的中点，点E是AC边上一个动点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90，得到DE，连接CE，则CE的最小值是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】解：如图：将绕点D顺时针旋转90，当时，最小；在等边ABC中AB2，点D是BC边的中点故选：C2. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，P是边A
10、D上的一动点，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】解：ADB90，AB2由勾股定理得BDADBD2BADABD45E是AB的中点，BEAEAB延长BD至点，使得DBD2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PEPB的值最小，如下图，理由如下： ，DBD2，AD垂直平分BAD上任意一点P,总有PBP，由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时，PEPB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EFB于点F，如上图，则EFBEF90，ABD45EFBFEF2BF2BE22EF2EFBF1FBDDBE3在RtEF中，由勾股定理得E即最小值为故选：C3. 在矩形ABCD中，AB=
11、10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（）.A. B. C. 5D. 6【答案】解：作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，如图所示，当H、M、F、G1在同一直线上时，GM+GN最小，最小值为FH-FM，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，CD=10，BC=6，ABC=90，DE为直径，DME=DMC=90，CD的中点为F，AB=10，FM= FM=5，由对称可知，BH=BN= ，CH=9，GM+GN最小值为，故选：A4. 如图，在中，点是边上
12、一动点，过点作交的延长线于若，则的最小值为（）A. B. 1C. D. 【答案】如图1，过点E作于F，AC是定值，当EF取最大值时有最小值，又，A，B，E，C四点共圆，设AB的中点为O，连接OE，当时，EF有最大值，如图2，当点E是中点时，EF的值最大，此时，E，F，O共线，的最小值为故选5. 如图，在RtABC中，ABBC、AB6，BC4，点P是ABC内部的一个动点，连接PC，且满足PABPBC，过点P作PDBC交BC于点D（1）APB_；（2）当线段CP最短时，BCP的面积为_；【答案】解：（1），；（2）设的中点为，连接， 则，点在以为直径的上，连接交于点，此时最小， 在中， ， ， ，
13、 ， ， 故答案为：6. 直线yx3与x轴交于点A、与y轴交于点B，经过A、B两点的二次函数yx22xc的图象与x轴的另一个交点为点C，P是抛物线上第一象限内的点，连接OP，交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为n（1）c_；（2）n的最大值为_【答案】解：（1）直线yx3与x轴交于点A、与y轴交于点B，令y=0，x3=0，解得：x=3，令x=0，y=3，点A（3，0），B（0，3），把B（0，3）代入yx22xc得：c=3，故答案是：3；（2）由（1）得：二次函数的解析式为yx22x+3，OB=3，如图，过点P作PEx轴交AB于点E，PEy轴，EPQ=BOQ，PQE=OQB
14、，PEQOBQ，PQ与OQ的比值为nOB=3，点P的横坐标为m，点P（m，m22m+3），点E（m，m3），则PE=（m22m+3）-（m3）=m23m=，P是抛物线上第一象限内的点，0m3，当时，PE有最大值，n的最大值为故答案为：7. 如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且，（1）_；（2）E为BD边上的一个动点，当最小时_【答案】（1）AC垂直平分线段BD，（2）在OC上截取OG=OA，连接BG，可得是等边三角形过点E作于点F要使最小，即A、E、F三点共线时最小此时，AF和OB都是等边三角形ABG的高，即故答案为：（1）75；（2）8. 二次函数yax2bxc（a0）的图象过点A（0
15、，1）和C（1，0）（1）若函数图象的对称轴是x1，则函数解析式为_（2）当a2时，作直线xh（h0）交直线AC于P，交抛物线于点Q，交x轴于点D，当PQQD时，h_【答案】解：（1）二次函数yax2bxc（a0）的图象过点A（0，1）和C（1，0），函数图象的对称轴是x1，解得，函数解析式为，故答案为：（2）设直线AC：，把点A（0，1）和C（1，0）代入得，解得，直线AC：，二次函数yax2bxc（a0）的图象过点A（0，1）和C（1，0），a2，解得函数解析式为，直线xh（h0）交直线AC于P，交抛物线于点Q，交x轴于点D，PQQD，解得：（舍去），故答案为：9.如图（1），点P从点A出
16、发，匀速沿等腰三角形ABC的边运动，设点P的运动时间为t（s），AP的长为y（cm），点P回到A点时停止运动Y与t的函数关系式如图（2）所示，点Q为曲线部分的最低点，则m的值为_【答案】解：由图（1）可知：ABAC6，D为BC的中点，AD4，点P的运动速度为每秒2个单位，ADBC，BDCD，BC，2t6+6+，解得：t6+，m，故答案为：10. 平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，抛物线yax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的_两点；（2）平移抛物线yax2+bx+1，使其顶点在直线yx+1上，设平移后抛物线顶点的横
17、坐标为m则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为_【答案】解：（1）B、C两点的横坐标相同，抛物线y=ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y=ax2+bx+1得解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y=ax2+bx+1得解得，（不合题意，舍去）；抛物线y=ax2+bx+1只能经过A，C两点，故答案为：A，C；（2）由（1）得a=-1，b=2；平移抛物线yax2+bx+1，使其顶点在直线yx+1上，顶点的横坐标为m平移后抛物线的顶点坐标为（m，m+1）平移后抛物线的函数关系式为y=-（x-m）2+m+1；令x=0，得y=-m 2+m+1=-（m
18、-）2+当m=时，平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为故答案为11. 已知，抛物线y=x2+(b+6)x+c，其中b，c为实数（1）若抛物线经过点P(1，b)，则c=_（2）过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y=x2+(b+6)x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB=3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是_【答案】解：（1）将P（1，b）代入y=x2+(b+6)x+c中，b=-1+（b+6）+c，c=1+b-b-6=-5；故答案为：-5；（2）抛物线y=x2+(b+6)x+c的对称轴x=-，由题意知，点P、B关于对称轴对称，设PA与对称轴交于点C，则PC=CB，AB=3PA，PA=
19、PC，1=-1，解得b=-2，P（1，-2），抛物线的解析式为：y=-x2+4x-5抛物线的顶点为（2，-1），抛物线上的点到x轴的最小距离是1故答案：112. 已知抛物线（为常数）的顶点为（1）求该抛物线的解析式；（2）点在该抛物线上，当时，比较与的大小；（3）为该抛物线上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标【答案】（1）抛物线的顶点为，解得，抛物线的解析式为（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线当时，函数值随自变量的增大而增大，（3）点在该抛物线上，当时，取得最小值此时点的坐标为13. 已知：抛物线yx2kxk1（k1）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）k2时，求
20、抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过一个定点，求这个定点的坐标；（3）点P为抛物线上一点，且位于直线BC上方，过点P作PFy轴，交BC于点F，求PF长度的最大值（用含k式子表示）【答案】（1）当k2时，解析式为所以其顶点坐标为（1，4）（2）令，则或解得所以，这个定点的坐标（-1，0）（3）抛物线yx2kxk1（k1）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C由（2）得A（-1，0），B（，0），C（0，）设直线BC 解析式为，代入B、C坐标得解得直线BC 解析式为设P（，）过点P作PFy轴，交BC于点FF（，）点P为抛物线上一点，且位于直线BC上方当时，PF有最大值为14.
21、已知关于x的二次函数（1）当时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当时，直线与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线与直线交于点A，求点A到x轴的最小值【答案】（1）解：把代入得此时抛物线的顶点为：，对称轴：；（2）当时，联立（3）联立当点A到x轴的最小值时，即的值最小当时，点A到x轴最小值为715. 在直角坐标系中，设函数（，是常数且）（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由（3）已知，当（，是实数）时，该函数对应的函数值分别为，若，求的最大值【答案】（1
22、）解：把点和代入得：，解得，则化为顶点式为，该函数图象的顶点坐标是；（2）例如，此时；因为，所以函数图象与轴有两个不同的交点；（3）由题意，得，当时，的最大值为016. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，设抛物线的顶点为直线与抛物线交于，两点（1）求，值；（2）若点在线段上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，的延长线交抛物线于点，求线段的最大值【答案】（1）解：yx22bx4（xb）2b24，点A坐标为（b，b24），由ykx的对称性可得点B坐标为（b，b24），把xb代入ykx得ykb，kbb24，联立方程x22bx4kx化简得x2（2bk）x40，xAxB2bk0，k2b，把k2b代入kbb2
23、4得2b2b24，解得b2或b2（舍）k4，b2（2）解：由（1）得yx24x4，y4x，设点P横坐标为m，则点P坐标为（m，4m），点C坐标（m，0），点D坐标（m，m24m4），PDOC的最大值为17. 已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线（1）求的值；（2）当时，求的最大值；（3）平移抛物线，使其顶点始终在二次函数上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值【答案】（1）解：由题意可知，将代入，得，（2）解：由（1）得，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，当时，取最大值21（3）解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上，设顶点坐标为，故平移后的解析式为，设平移后所得抛物线与轴交点的
24、纵坐标为，则，当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值为18. 已知抛物线（1）无论m取何值，该抛物线总经过一定点，定点坐标为_（2）抛物线与直线yx1交于两点，且，若，求m的值（3）点P是抛物线上第四象限内一动点，在（2）的条件下，求PAB面积的最大值【答案】（1）由题意得，当x1，y0故定点坐标为（2）直线yx1与抛物线都经过点，将代入得m3（3）当m3时，抛物线设，设的解析式为则解得直线的解析式为如图，作PMy轴，交AB于点M则，0t3，当时，PAB面积有最大值19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中点A坐标为（3，0），点B坐标为
25、（1，0），连接AC、BC，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值；（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？【答案】（1）解：二次函数yx2bxc的图象经过点A（3，0），B（1，0），解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为yx22x3，C（0，3），A（3，0），OAC是等腰直角三角形，BAC45，由点P的运动可知：，过点P作PHx轴，垂足为H，如图所示：，即H（3t
26、，0），又Q（1t，0），S四边形BCPQSABCSAPQ433(1t)t（t2）24，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为420. 如图，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，当点P在直线AC下方时，过点P作轴，交直线AC于点E，作轴，交直线AC于点F，求的最大值【答案】（1）解：抛物线经过点A（3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，解得：，抛物线的解析式为yx22x3；（2）解：在yx22x3中，令x0，得y3，C（0，3），设直线AC解析式ykxn，A（3，0）、C
27、（0，3），解得：，直线AC解析式yx3，OAOC3，AOC90，ACO45，点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，P（m，m22m3），PEx轴，PFy轴，F（m，m3），PFEACO45，EPF90，tanPFEtan451，PEPFm3（m22m3）m23m，PEPF2（m23m）2（m）2，20，当m时，PEPF的最大值21. 如图1，在平面直角坐标系中，直线yx4与抛物线yx2bxc（b、c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，设抛物线与x轴的另一个交点为点C（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），若点P在直线AB上方，连接
28、OP交AB于点D当点D为线段AB中点时，求P点坐标；过点P作PFBO交AB于点F，求PF的最大值【答案】（1）解：直线与坐标轴交于A，B两点，当时，当时，点把A，B两点的坐标代入中，得解得抛物线的解析式为（2）解：，点D为线段中点，点设所在直线的解析式为，将代入得，直线的解析式为由解得或（舍去）P点坐标点P上，点F在上，设点，其中，则点，且对称轴是直线，当时，有最大值为222. 如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OAOC3OB，抛物线图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线顶点（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）判断ADC的形状，并求ADC的面积；（3）如图2，点P是
29、该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PEAC于点E，PE的值是否存在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由【答案】（1）解：C点坐标为（0，-3），且OAOC3OB，A（-3，0），B（1，0），将A，B两点坐标分别代入解析式得，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：由（1）知抛物线的解析式为，D点的坐标为（-1，-4），即，三角形ACD是直角三角形，；（3）PE的值存在最大值,理由如下：设直线AC的解析式为，把A，C点的坐标分别代入，得，解得，直线AC的解析式为，如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC，OACOCA45，PHEOCA45，设点，则点，PE有最大值为
