1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 一般难度题 全员必做 1 (2018 郑州质检 )已知动圆 M 恒过点 (0,1)，且与直线 y 1 相切 (1)求圆心 M 的轨迹方程； (2)动直线 l 过点 P(0， 2)，且与点 M 的轨迹交于 A， B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AC 恒过定点 解： (1)由题意得，点 M 与点 (0,1)的距离始终等于点 M 到直线 y 1 的距离，由抛物线的定义知圆心 M 的轨迹是以点 (0,1)为焦点，直线 y 1 为准线的抛物线，则 p2 1， p2. 圆心 M 的轨迹方
2、程为 x2 4y. (2)设直线 l： y kx 2， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 C( x2， y2)，联立? x2 4y，y kx 2， 消去 y 整理得 x2 4kx 8 0， x1 x2 4k， x1x2 8. kAC y1 y2x1 x2x214x224x1 x2x1 x24 ，直线 AC 的方程为 y y1x1 x24 (x x1) 即 y y1 x1 x24 (x x1) x1 x24 x x1 x1 x24 x214x1 x24 xx1x24 ， x1x2 8， y x1 x24 x x1x24 x1 x24 x 2，即直线 AC 恒过定点 (0,2) 2在平
3、面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(x1， y1)， B(x2， y2)是椭圆 E： x24 y2 1 上的非坐标轴上的点，且 4kOA kOB 1 0(kOA， kOB分别为直线 OA， OB 的斜率 ) (1)证明： x21 x22， y21 y22均为定值； (2)判断 OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 解： (1)证明：依题意， x1， x2， y1， y2均不为 0， 则由 4kOA kOB 1 0，得 4y1y2x1x2 1 0， 化简得 y2 x1x24y1， 因为点 A， B 在椭圆上， 所以 x21 4y21 4， x22 4y22 4， 把
4、y2 x1x24y1代入 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 整理得 (x21 4y21)x22 16y21. 结合 得 x22 4y21， 同理可得 x21 4y22， 从而 x21 x22 4y22 x22 4， 为定值 ， y21 y22 y21 x214 1， 为定值 (2)S OAB 12|OA| OB|sin AOB 12 x21 y21 x22 y22 1 cos2 AOB 12 x21 y21 x22 y22 1 x1x2 y1y22x21 y21 x22 y22 12 x21 y21 x22 y22 x1x2 y1y2 2 12|x1y2 x2y1|. 由 (1)知 x22
5、 4y21， x21 4y22， 易知 y2 x12， y1 x22或 y2 x12， y1 x22， S OAB 12|x1y2 x2y1| 12? ?12x21 2y21 x21 4y214 1， 因此 OAB 的面积为定值 1. 3 (2018 广州惠州调研 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1( 1,0)，F2(1,0)，点 A? ?1， 22 在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M， N 时，能在直线y 53上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足 PM N
6、Q ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 解： (1)设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c 1， 因为 A? ?1， 22 在椭圆 C 上，所以 2a |AF1| |AF2| 2 2， 因此 a 2， b2 a2 c2 1， 故椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为 y 2x t， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P? ?x3，53 ， Q(x4， y4)， MN 的中点为 D(x0， y0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? y 2x t，x22 y2 1， 消去 x，得 9y2 2ty t2 8 0， 所以
7、 y1 y2 2t9 ，且 4t2 36(t2 8)0， 故 y0 y1 y22 t9，且 3b0)的右焦点为 F(1,0)，右顶点为 A，且 |AF| 1. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动直线 l： y kx m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P，且与直线x 4 交于点 Q，问，是否存在一个定点 M(t,0)，使得 MP MQ 0.若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 解： (1)由 c 1， a c 1，得 a 2， b 3， 故椭圆 C 的标准方程为 x24y23 1. (2)由? y kx m，3x2 4y2 12， 消去 y 得 (3 4k2)x2 8kmx 4
8、m2 12 0， 64k2m2 4(3 4k2)(4m2 12) 0，即 m2 3 4k2. 设 P(xP， yP)，则 xP 4km3 4k2 4km ， yP kxP m 4k2m m3m，即 P? 4km ，3m . =【 ;精品教育资源文库 】 = M(t,0)， Q(4,4k m)， MP ? ? 4km t， 3m ， MQ (4 t,4k m)， MP MQ ? ? 4km t (4 t) 3m(4 k m) t2 4t 3 4km(t 1) 0 恒成立，故? t 1 0，t2 4t 3 0， 解得 t 1. 存在点 M(1,0)符合题意 2 (2018 河北质检 )已知椭圆 E
9、： x2a2y2b2 1 的右焦点为 F(c,0)，且 a b c 0，设短轴的一个端点为 D，原点 O 到直线 DF 的距离为 32 ，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C， G 两点，且 | GF | | CF | 4. (1)求 椭圆 E 的方程； (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A， B 且使得 OP 24 PA PB 成立？若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 解： (1)由椭圆的对称性知 | GF | | CF | 2a 4， a 2.又原点 O 到直线 DF 的距离为 32 ， bca 32 ， bc 3，
10、又 a2 b2 c2 4， a b c 0， b 3， c 1. 故椭圆 E 的方程为 x24y23 1. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件 故可设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 直线 l 的方程为 y k(x 2) 1，代入椭圆方程得 (3 4k2)x2 8k(2k 1)x 16k2 16k 8 0， 32(6k 3) 0， k 12. x1 x2 8k k3 4k2 ， x1x2 16k2 16k 83 4k2 ， OP 2 4 PA PB ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 4(x1 2)(x2 2) (y1 1)(y2 1) 5， 4(x1 2)(x2
11、2)(1 k2) 5， 即 4x1x2 2(x1 x2) 4(1 k2) 5， 4? ?16k2 16k 83 4k2 28k k3 4k2 4 (1 k2) 4 4 4k23 4k2 5， 解得 k 12， k 12不符合题意，舍去 存在满足条件的直线 l，其方程为 y 12x. 较高难度题 学霸做 1如图，已知椭圆 x24y23 1 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 G， AB 的中垂线与 x 轴和 y轴分别交于 D， E 两点 (1)若点 G 的横坐标为 14，求直线 AB 的斜率； (2)记 GFD 的面积为 S1， OED(O 为原点 )
12、的面积为 S2. 试问：是否存在直线 AB，使得 S1 S2？说明理由 解： (1)由条件可得 c2 a2 b2 1，故 F 点坐标为 ( 1,0) 依题意可知，直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y k(x 1)，将其代入 x24y23 1， 整理得 (4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 x1 x2 8k24k2 3. 故点 G 的横坐标为 x1 x22 4k24k2 314， 解得 k 12， 故直线 AB 的斜率为 12或 12. (2)假设存在直线 AB，使得 S1 S2，显然直线 AB 不能与 x， y 轴垂直，即直线
13、AB 斜率存在且不为零 由 (1)可得 G? ? 4k24k2 3，3k4k2 3 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 D 点坐标为 (xD,0) 因为 DG AB，所以3k4k2 3 4k24k2 3 xD k 1， 解得 xD k24k2 3，即 D? k24k2 3， 0 . 因为 GFD OED，所以 S1 S2?|GD| |OD|. 所以 ? ? k24k2 3 4k24k2 32? 3k4k2 32? k24k2 3 ， 整理得 8k2 9 0. 因为此方程无解，所以不存在直线 AB，使得 S1 S2. 2 (2018 广西陆川县模拟 )已知椭圆 D： x2 y2b2 1 的
14、左焦点为 F，其左，右顶点为 A，C，椭圆与 y 轴正半轴的交点为 B， FBC 的外接圆的圆心 P(m， n)在直线 x y 0 上 (1)求椭圆 D 的方程； (2)已知直线 l： x 2， N 是椭圆 D 上的动点， MN l，垂足为 M，问：是否存在点 N，使得 FMN 为等腰三角形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)由题意知，圆心 P 既在边 FC 的垂直平分线上，也在边 BC 的垂直平分线上， F(c,0)，则边 FC 的垂直平分线方程为 x 1 c2 ， 因为边 BC 的中点坐标为 ? ?12， b2 ，直线 BC 的斜率为 b， 所以边 BC 的垂直
15、平分线的方程为 y b2 1b? ?x 12 ， 联立 ，解得 m 1 c2 ， n b2 c2b ， 因为 P(m， n)在直线 x y 0 上，所以 1 c2 b2 c2b 0， 即 (1 b)(b c) 0， 因为 1 b0，所以 b c. 由 b2 1 c2，得 b2 c2 12，所以椭圆 D 的方程为 x2 2y2 1. (2)由 (1)，知 F? ? 22 ， 0 ，椭圆上的点的横坐标满足 1 x1 ， 设 N(x， y)，由题意得 M( 2， y)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 |MN| |x 2|， |FN| ? ?x 22 2 y2， |MF| 12 y2. 若 |MN| |FN|，即 |x 2| ? ?x 22 2 y2，与 x2 2y2 1 联立，解得 x 2 1，显然不符合条件； 若 |MN| |MF|，即 |x 2| 12 y2， 与 x2 2y2 1 联立，解得 x 23 或 x 2 1(显然不符合条件，舍去 )， 所以满足条件的点 N 的坐标为 ? ? 23 ， 146 ； 若 |FN| |MF|，即 ? ?x 22 2 y2 12 y2， 与 x2 2y2 1 联立，解得 x 0 或 x
