1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（二十四） 平面向量的概念及线性运算 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 平面向量的有关概念 1若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定 ( ) A有不相等的模 B不共线 C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量 解析：选 C 若 a 与 b 都是零向量，则 a b，故选项 C 正确 2设 a0为单位向量，下列命题中： 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a| a0； 若a 与 a0平行，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1，则 a a0.假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：选 D 向量是
2、既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0的模相同，但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 3已知 a， b 是非零向量，命题 p： a b，命题 q： |a b| |a| |b|，则 p 是 q 的_条件 解析：若 a b，则 |a b| |2a| 2|a|， |a| |b| |a| |a| 2|a|，即 p?q.若 |a b| |a| |b|，由加法的运算知 a 与 b 同向共 线，即 a b，且 0，故 q?/ p p是 q 的充分不必要条件 答案：充
3、分不必要 对点练 (二 ) 平面向量的线性运算 1.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 边的中点，且 AB a， AD b, 则 BE ( ) A.12b a B.12a b C 12a b D.12b a 解析：选 C BE BA AD 12 DC a b 12a b 12a，故选 C. 2已知向量 a， b 不共线，且 c a b， d a (2 1)b，若 c 与 d 反向共线，则实数 的值为 ( ) A 1 B 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 1 或 12 D 1 或 12 解析：选 B 由于 c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使 c kd(k 0)，于是
4、 a bk a b .整理得 a b ka (2k k)b.由于 a， b 不共线，所以有? k，2k k 1， 整理得 22 1 0，解得 1 或 12.又因为 k 0，所以 0，故 12. 3 (2018 江西八校联考 )在 ABC 中， P， Q 分别是边 AB， BC 上 的点，且 AP 13AB， BQ 13BC.若 AB a， AC b，则 PQ ( ) A.13a 13b B 13a 13b C.13a 13b D 13a 13b 解析：选 A PQ PB BQ 23 AB 13 BC 23 AB 13( AC AB ) 13 AB 13 AC 13a 13b，故选 A. 4 (
5、2017 郑州二模 )如图，在 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD 12DC，过点 D 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 AM m AB ， AN n AC ，则 ( ) A m n 是定值，定值为 2 B 2m n 是定值，定值为 3 C.1m 1n是定值，定值为 2 D.2m 1n是定值，定值为 3 解析：选 D 法一：如图，过点 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E.由 AN n AC 可得 ACAN 1n，所以 AEEM ACCN 1n 1，由 BD 12DC 可得 BMME 12，所以 AMAB nn n 12 2n3n 1，因为
6、AM m AB ，所以 m 2n3n 1，整理可得 2m 1n 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 法二：因为 M， D， N 三点共线，所以 AD AM (1 ) AN .又 AM m AB ， AN n AC ，所以 AD m AB (1 ) n AC .又 BD 12 DC ，所以 AD AB 12 AC 12AD ，所以 AD 13 AC 23 AB .比较系数知 m 23， (1 )n 13，所以 2m 1n 3，故选 D. 5 (2018 银川一模 )设点 P 是 ABC 所在平面内一点，且 BC BA 2 BP ，则 PC PA _. 解析：因为 BC BA 2 BP ，由平
7、行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故 PC PA 0. 答案： 0 6 (2018 衡阳模拟 )在如图所示的方格纸中，向量 a， b， c 的起点和终点均在格点 (小正方形顶点 )上，若 c 与 xa yb(x， y 为非零实数 )共线，则 xy的值为 _ 解析：设 e1， e2分别为水平方向 (向右 )与竖直方向 (向上 )的单位向量，则向量 c e12e2， a 2e1 e2， b 2e1 2e2，由 c 与 xa yb 共线，得 c (xa yb)，所以 e1 2e2 2 (x y)e1 (x 2y)e2，所以? 2 x y 1， x 2y 2， 所以 ? x 3 ，y 52 ，
8、则 xy的值为 65. 答案： 65 7 (2018 盐城一模 )在 ABC 中， A 60 ， A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB 4，且 AD 14 AC AB ( R)，则 AD 的长为 _ 解析：因为 B， D， C 三点共线，所以 14 1，解得 34，如图，过点 D 分别作 AC， AB 的平行线交 AB， AC 于点 M， N，则 AN 14 AC ， AM 34 AB ，经计算得 AN AM 3， AD 3 3. 答案： 3 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8在直角梯形 ABCD 中， A 90 ， B 30 ， AB 2 3， BC 2，点 E 在线段 CD 上，
9、若 AE AD AB ，则 的取值范围是 _ 解 析：由题意可求得 AD 1， CD 3，所以 AB 2 DC . 点 E 在线段 CD 上， DE DC (0 1) AE AD DE ， 又 AE AD AB AD 2 DC AD 2 DE ， 2 1，即 2. 0 1 ， 0 12， 即 的取值范围是 ? ?0， 12 . 答案： ? ?0， 12 大题综合练 迁移贯通 1.在 ABC 中， D， E 分别为 BC， AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB 2GE，设 AB a， AC b，试用 a， b 表示 AD ， AG . 解： AD 12( AB AC ) 12a 1
10、2b. AG AB BG AB 23 BE AB 13( BA BC ) 23 AB 13( AC AB ) 13 AB 13 AC 13a 13b. 2已知 a， b 不共线， OA a， OB b， OC c， OD d， OE e，设 t R，如果 3a c,2b d， e t(a b)，是否存在实数 t 使 C， D， E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由 解：由题设知， CD d c 2b 3a， CE e c (t 3)a tb， C， D， E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使得 CE k CD ，即 (t 3)a tb 3ka 2k
11、b， 整理得 (t 3 3k)a (2k t)b. 因为 a， b 不共线，所以有? t 3 3k 0，t 2k 0， 解得 t65. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故存在实数 t 65使 C， D， E 三点在一条直线上 3.如图所示，在 ABC 中， D， F 分别是 BC， AC 的中点， AE 23 AD ，AB a， AC b. (1)用 a， b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ； (2)求证： B， E， F 三点共线 解： (1)延长 AD 到 G，使 AD 12 AG ， 连接 BG， CG，得到 ?ABGC，如图， 所以 AG AB AC a b， AD 12 AG 12(a b)， AE 23 AD 13(a b)， AF 12 AC 12b， BE AE AB 13(a b) a 13(b 2a)， BF AF AB 12b a 12(b 2a) (2)证明：由 (1)可知 BE 23 BF ， 又因为 BE ， BF 有公共点 B， 所以 B， E， F 三点共线 .
