1、 梅州市高中期末考试试卷梅州市高中期末考试试卷 高一数学高一数学 2022.1 一一单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求项符合题目要求. 1. 函数( )2log2f xxx=+的定义域为（ ） A. (,2 B. ()0,+ C. )0,2 D. (0,2 2. sin600的值为（ ） A. 12 B. 12 C. 32 D. 32 3. 命题 p：0 xR，20010 xx+ 的否定是（ ） A. 0 xR，20010 xx+ B. 0 xR，200
2、10 xx+ = C. xR ，210 xx+ D. xR ，210 xx+ 4. “1x ”是“21x ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 即不充分也不必要 5. 下列函数中，以为最小正周期且在区间0,2上单调递减的是（ ） A. sinyx= B. cosyx= C. tanyx= D. cosyx= 6. 函数( )2sinxxxf xe=的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数b满足23b=，则函数( )2xf xxb=+的零点所在的区间是（ ） A. ()1,0 B. ()0,1 C. ()1,2 D. ()2,3 8. 已知幂函数
3、( )()()22421mmf xmxmR+=在()0,+上单调递减，设153a =，51log3b =，5log 4c =，则（ ） A. ( )( )( )f af bf c B. ( )( )( )f cf bf a C. ( )( )( )f af cf b D. ( )( )( )f bf af c 二二多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9
4、. （多选）若角是第二象限角，则2是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 10. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. 9sinsinyxx=+ B. 4xxyee=+ C. 225yxx=+ D. 24xy =+ 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过 x 的最大整数，则 yx=称为高斯函数，例如：2.13= ，3.13=.已知函数( )2221xf xx=+，则函数( )yf x=的值域中含有下列那些元素（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 12. 对于函数( )sin ,
5、sincoscos ,sincosxxxf xxxx=，下列四个结论正确的是（ ） A. ( )f x是以2为周期的函数 B. ( )f x是偶函数 C. 当且仅当在区间()52,224kkk+Z上，( )f x单调递减 D. 当且仅当()524xkk=+Z时，( )f x取得最小值22 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知()2212fxxx=，则( )0f=_. 14. 计算：3ln245162lg4lge8+=_. 15. 梅州城区某公园有一座摩天轮，其旋转半径 30米，最高点距离地面 70 米，匀速运行一周大约 1
6、8 分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第 12分钟时，他距地面大约为_米. 16. 设 a为实数，若关于 x的方程129310 xxaa+ =有实数解，则 a的取值范围是_. 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知全集U = R，302xMxx+=. （1）当1a =时，MN，RM； （2）若MNM=，求实数 a的取值范围， 18. 已知，均为锐角，且tan，tan是方程2560 xx+=的两根. （1）求()tan+的值； （2）若时，( )f x的图象恒在直线yax=的上
7、方，求实数 a 的取值范围. 20. 已知函数( )2xbf xxa+=+，函数( )f x为 R上的奇函数，且( )112f=. （1）求( )f x的解析式： （2）判断( )f x在区间()1,1上的单调性，并用定义给予证明： （3）若( )f x的定义域为()1,1时，求关于 x 的不等式()()2120f xfx+最小正周期为. （1）求的值： （2）将函数( )f x的图象先向左平移8个单位， 然后向上平移 1个单位， 得到函数( )yg x=， 若( )yg x=在()0,0bb 上至少含有 4 个零点，求 b的最小值. 22. 为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工
8、业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入 1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度 y（单位：毫克/立方米）随着时间 x（单位：小时）变化的函数关系式近似为321,0318,321xxxyx+=+.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用. （1）若投放 1 个单位的净化剂 4 小时后，求净化剂在污水中释放的浓度； （2）若一次投放 4 个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结
9、果精确到 0.1，参考数据：lg20.3，lg171.23） （3）若第一次投放 1个单位的净化剂， 3小时后再投放 2个单位的净化剂， 设第二次投放 t小时后污水中净化剂浓度为( )g t（毫克/立方米） ，其中03t，可得02x， 所以函数( )f x的定义域为(0,2， 故选：D. 2. sin600的值为（ ） A. 12 B. 12 C. 32 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可求得sin600的值. 【详解】()()3sin600sin 360240sin240sin 18060sin602=+=+= = . 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求
10、值，考查计算能力，属于基础题. 3. 命题 p：0 xR，20010 xx+ 的否定是（ ） A. 0 xR，20010 xx+ B. 0 xR，20010 xx+ = C. xR ，210 xx+ D. xR ，210 xx+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解. 【详解】解：命题 p：0 xR，20010 xx+ 的否定是：xR ，210 xx+ ， 故选：C. 4. “1x ”是“21x ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 即不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合题意，即可得到结果
11、. 【详解】因为2111xx ，所以“1x ”是“21x ”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 下列函数中，以为最小正周期且在区间0,2上单调递减的是（ ） A. sinyx= B. cosyx= C. tanyx= D. cosyx= 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的周期性和单调性逐一判断即可得出答案. 【详解】解：对于 A，函数sinyx=的最小正周期为2，不符合题意； 对于 B，函数cosyx=的最小正周期为，且在区间0,2上单调递减，符合题意； 对于 C，函数tanyx=的最小正周期为，且在区间0,2上单调递增，不符合题意； 对于 D，函数cosyx=的最小正
12、周期为2，不符合题意. 故选：B. 6. 函数( )2sinxxxf xe=的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除 BD，再根据6f的符号可排除 A，即可得出答案. 【详解】解：函数( )2sinxxxf xe=的定义域为R， ()()( )2sin2sinxxxxxxfxf xee += ，所以函数( )f x为奇函数，故排除 BD； 又616063f=，故排除 A. 故选：C. 7. 已知实数b满足23b=，则函数( )2xf xxb=+的零点所在的区间是（ ） A. ()1,0 B. ()0,1 C. ()1,2 D. ()2,3
13、 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得2log 3b =，结合零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由已知得2log 3b =，所以( )22log 3xf xx=+， 又()122121 log 3log 3021f= ， ( )02220log 31 log 300f=+= ( )22222log 36log 302f=+=， ( )32223log 311 log 303f=+ =， 所以零点所在区间为()0,1， 故选：B. 8. 已知幂函数( )()()22421mmf xmxmR+=在()0,+上单调递减，设153a =，51log3b =，5log 4c =，则（ ） A
14、. ( )( )( )f af bf c B. ( )( )( )f cf bf a C. ( )( )( )f af cf b D. ( )( )( )f bf af c 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出m，在根据指数函数与对数函数的单调性得到bac ，根据幂函数的单调性得到()( )( )fbf af c，再结合偶函数可得答案. 【详解】根据幂函数的定义可得2(1)1m=，解得0m =或2m =， 当0m =时，2( )f xx=，此时满足( )f x在()0,+上单调递增，不合题意， 当2m =时，2( )f xx=，此时( )f x在()0,+上单调
15、递减， 所以2( )f xx=. 因为1055555133 0log 1log 3log 4log 51=， 又155log 3log 3b = =，所以bca ， 又因为2( )f xx=为偶函数，所以()( )fbf b=， 所以( )( )( )f bf cf a. 故选：C 二二多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. （多选）若角是第二象限角
16、，则2是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据已知条件写出角的取值范围，再计算2的范围，并在该不等式范围中对 ()k kZ分奇偶讨论，从而得到2所在的象限 【详解】是第二象限角，222kk+，kZ，422kk+，由基本不等式可知42 4=4xxyee=+，当且仅当4xxee=，即ln2x =时取等号，所以 B选项正确； C选项：()2225144yxxx=+=+，当1x = 时，y有最小值为4，所以 C 选项正确； D选项：由20 x得244xy =+，所以 D选项错误； 故选：BC. 11. 高斯是德国著名的数学家，享
17、有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过 x 的最大整数，则 yx=称为高斯函数，例如：2.13= ，3.13=.已知函数( )2221xf xx=+，则函数( )yf x=的值域中含有下列那些元素（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出( )f x的值域，然后由高斯函数的定义可得答案. 【详解】当0 x =时，( )0f x = 当0 x 时，则( )22222111xf xxx=+ 由2111x+，则220211x+，此时( )02f x 所以( )02f x，则( )yf x=的值域为0,1 故选：BC 12
18、. 对于函数( )sin ,sincoscos ,sincosxxxf xxxx=，将原问题转化为方程22310tata+ =有正根，利用判别式及韦达定理列出不等式组求解即可得答案. 【详解】解：方程129310 xxaa+ =可化为()2233310 xxaa+ =，令3xt =，则0t ， 所以原问题转化为方程22310tata+ =有正根，设两根分别为12,t t， 则()222121294101030aat tatta=+=+ += ，解得2 55a ， 所以a的取值范围是2 5,5 ， 故答案为：2 5,5 . 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应
19、写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 已知全集U = R，302xMxx+=. （1）当1a =时，MN，RM； （2）若MNM=，求实数 a的取值范围， 【答案】 （1）3MNx x= ，3RMx x= 或2x ； （2）3a a 【解析】 【分析】 （1）解不等式，求出M，进而求出MN与RM； （2）利用交集结果得到集合的包含关系，进而求出实数 a的取值范围. 【小问 1 详解】 302xx+， 解 得 ：32x ， 所 以32Mxx= ， 所 以 3MNx x= ，3RMx x= 或2x ； 【小问 2 详解】 因为MNM=，所以MN，要满足3a
20、，所以实数 a的取值范围是3a a 18. 已知，均为锐角，且tan，tan是方程2560 xx+=的两根. （1）求()tan+的值； （2）若，求tan2与sin2cos24sin2cos2+的值. 【答案】 （1）1 （2）3tan24= ；sin2cos214sin2cos216+= 【解析】 【分析】 （1）利用韦达定理求出tantan,tantan+，再根据两角和的正切公式即可得解； （2）求出tan，再根据二倍角的正切公式即可求得tan2，化弦为切即可求出sin2cos24sin2cos2+. 【小问 1 详解】 解：因为，均为锐角，且tan，tan是方程2560 xx+=的两根
21、， 所以tantan5,tantan6+=， 所以()tantan5tan11tantan1 6+= ； 【小问 2 详解】 因为，均为锐角， 所以tantan时，( )f x的图象恒在直线yax=的上方，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （1）913，； （2）()4， 【解析】 【分析】 （1）函数2( )(2)9f xxax=+为二次函数，其对称轴为22ax=由 f（x）为偶函数，可得 a2，再利用二次函数的单调性求出函数 f（x）在1，2上的值域； （2）根据题意可得 f（x）ax恒成立，转化为2(22)90 xax+恒成立，将参数a分分离出来，再利用均值不等式判断29xx+的范围即
22、可 【小问 1 详解】 根据题意，函数2( )(2)9f xxax=+为二次函数，其对称轴为22ax=. 若( )f x为偶函数，则202a=，解得2a =， 则2( )9f xx=+在 12 ，上先减后增， 当0 x =时，函数取得最小值 9，当2x =时，函数取得最大值 13， 即函数2( )9f xx=+在 12 ，上的值域为913，； 【小问 2 详解】 由题意知0 x 时，( )f xax恒成立，即2(22)90 xax+. 所以2922xax+，所以299926xxxxxx+=+=，当且仅当9xx=即3x =时等号成立. 所以226a，解得4a ，所以 a 的取值范围是(4) ，.
23、 20. 已知函数( )2xbf xxa+=+，函数( )f x为 R上的奇函数，且( )112f=. （1）求( )f x的解析式： （2）判断( )f x在区间()1,1上的单调性，并用定义给予证明： （3）若( )f x的定义域为()1,1时，求关于 x 的不等式()()2120f xfx+的解集. 【答案】 （1）( )21xf xx=+； （2）单调递增.证明见解析； （3）10,2 【解析】 【分析】 （1）列方程组解得参数 a、b，即可求得( )f x的解析式； （2）以函数单调性定义去证明即可； （3）依据奇函数( )f x在()1,1上单调递增，把不等式()()2120f x
24、fx+转化为整式不等式即可解决. 【小问 1 详解】 由题意可知( )( )00112ff=，即01112baba=+=+，解之得01ba=， 则( )21xf xx=+，经检验，符合题意. 【小问 2 详解】 ( )f x在区间()1,1上单调递增. 设任意()12,1,1x x ，且12xx， 则()()()()()()221221121222221212111111xxxxxxf xf xxxxx+=+()()()()12122212111xxx xxx=+ 由()12,1,1x x ，且12xx，可得221212120,10,10,10 xxx xxx+ + 则()()()()1212
25、22121011xxx xxx+，即()()12f xf x 故( )f x在区间()1,1上单调递增. 【小问 3 详解】 不等式()()2120f xfx+可化为()()221fxfx 等价于2211 112121xxxx ，解之得102x 故不等式()()2120f xfx+最小正周期为. （1）求的值： （2） 将函数( )f x的图象先向左平移8个单位， 然后向上平移 1个单位， 得到函数( )yg x=， 若( )yg x=在()0,0bb 上至少含有 4 个零点，求 b的最小值. 【答案】 （1）1 （2）2312 【解析】 【分析】 （1）利用平方关系、二倍角余弦公式、辅助角公
26、式化简函数解析式，然后根据周期公式即可求解； （2）利用三角函数的图象变换求出( )g x的解析式，然后借助三角函数的图象即可求解. 【小问 1 详解】 解：()()()442222( )2 sincos2 2sincos2 sincossincos2 2sincf xxxxxxxxxx=+=+ 2cos22sin22sin 24xxx= +=， 因为函数的最小正周期为，即22=， 所以1=； 【小问 2 详解】 解：由（1）知( )2sin 24f xx=， 由题意，函数( )2sin 212sin2184yg xxx=+ =+， 令( )2sin210g xx=+ =，即1sin22x =
27、 ， 因为( )yg x=在()0,0bb 上至少含有 4 个零点， 所以2326b，即2312b， 所以b的最小值为2312. 22. 为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入 1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度 y（单位：毫克/立方米）随着时间 x（单位：小时）变化的函数关系式近似为321,0318,321xxxyx+=+.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，
28、它才能起到净化污水的作用. （1）若投放 1 个单位的净化剂 4 小时后，求净化剂在污水中释放的浓度； （2）若一次投放 4 个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到 0.1，参考数据：lg20.3，lg171.23） （3）若第一次投放 1个单位的净化剂， 3小时后再投放 2个单位的净化剂， 设第二次投放 t小时后污水中净化剂浓度为( )g t（毫克/立方米） ，其中03t ，求( )g t的表达式和浓度( )g t的最小值. 【答案】 （1）6 毫克/立方米 （2）7.1 （3）( )()182 2121ttg t =+，03t两种情况讨论，根据题意列出不等式
29、，从而可得出答案； （3）根据题意写出函数( )g t的解析式，再根据基本不等式即可求得最小值. 【小问 1 详解】 解：由321,0318,321xxxyx+=+， 当4x =时，4 318621y=+， 所以若投放 1个单位的净化剂 4 小时后，净化剂在污水中释放的浓度为 6毫克/立方米； 【小问 2 详解】 解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用， 当03x时，令()4 214x+，得20 x恒成立， 所以当03x时，起到净化污水的作用， 当3x 时，令3184421x+，得32118x+ ，则2lg171.233log 174.1lg20
30、.3x=， 所以37.1x， 综上所述当07.1x时，起到净化污水的作用， 所以若一次投放 4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达 7.1小时； 【小问 3 详解】 解：因为第一次投入 1个单位的净化剂，3小时后再投入 2个单位净化剂，要计算的是第二次投放 t小时后污水中净化剂浓度为( )g t， 所以( )()()()3318182 212 212121tttxg t+=+=+，03t， 所以()()18182 2122 21122121tttt+=+， 当且仅当()182 2121tt=+，即1t =时取等号， 所以( )()182 2121ttg t =+，03t ， 当1t =时，( )g t取最小值 12 毫克/立方米.
