1、 2020-2021 学年下学期期末三校联考学年下学期期末三校联考 高一数学高一数学 命题学校：广大附中命题学校：广大附中 本试卷共本试卷共 4页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟. 一一 选择题：本大题选择题：本大题 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1. i虚数单位，若复数z满足()11zii+= ，则z =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 2. 下列结论中，错误的是（ ） A. “1x =”是“20 xx=”的充分不必要条件 B. 已知命题2:,10pxR x + ，则2:,10pxR x + C.
2、“220 xx+”是“1x ”的充分不必要条件； D. 命题：“xR ，sin1x ”的否定是“0 xR，0sin1x ”； 3. 如图，在平行四边形ABCD中，13AEAC= ，若EDADAB=+ ，则+=（ ） A. 13 B. 1 C. 23 D. 13 4. 若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ） A. 甲同学：平均数为2，方差小于1 B. 乙同学：平均数为2，众数为1 C. 丙同学：中位数为2，众数为2 D. 丁同学：众数2，方差大于1 5.
3、 如图，矩形ABCD中，3AB =，正方形ADEF的边长为 1，且平面ABCD 平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（ ） 为为 A. 77 B. 77 C. 55 D. 55 6. 化简32cos202tan20所得的结果是（ ） A. 14 B. 12 C. 32 D. 2 7. 已知函数( )yf x=是定义在R上的偶函数，且()( )2fxf x=，当01x时，( )f xx=，设函数7( )( )logg xf xx=，则( )g x的零点的个数为（ ） A. 6 B. 12 C. 8 D. 14 8. 已知正实数x，y满足434xy+=，则112132xy+的最小值为
4、（ ） A. 3284+ B. 1223+ C. 1223+ D. 1222+ 二二多选题：本大题多选题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，选对得分，选对得 5，漏选得，漏选得 2 分，分，错选得错选得 0 分分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. (0,)x +，23xx B. (0,1)x ，23loglogxx D. 1(0, )3x ，131( )log2xx 10. 正方体1111ABCDABC D棱长为 1，E，F，G分别为 BC，CC1，BB1的中点.则（ ） 的 A. 直线 D1D 与直线 AF 垂直 B. 直线 A1G与平面 AEF平行 C
5、. 平面 AEF 截正方体所得的截面面积为98 D. 点 C与点 G 到平面 AEF 的距离相等 11. 将曲线2sin3sin()cosyxxx=+上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到( )g x的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 213g= B. ( )g x的图象可由1cos2yx=+的图象向右平移23个单位长度得到 C. ( )g x在0,上的值域为30,2 D. ( )g x的图象关于点,06对称 12. 设函数( )(),f xx xbxc b cR=+，则下列命题中正确有（ ） A. 若()()201920192020ff+=，则1010c = B. 方程(
6、 )0f x =可能有三个实数根 C. 当0b 时，函数( )f x在R上有最小值 三三填空题：本大题填空题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明扔出的点数不大于 2或小红扔出的点数不小于 3 的概率为_ 14. 如图所示，在ABC中，6,45 ,120 ,3ABABCADBCD= =，则AC的长是_ 的 15. 在平行四边形 ABCD中，ABBD，2221ABBD+=，将此平行四边形沿对角线BD 折叠，使平面ABD 平面 CBD，则三棱锥 A-BCD外接球的体积是_. 16. 已知函数(
7、 )()()2ln2010 xxx xf xxx=+，若( )f x的图象上有且仅有 2个不同的点关于直线32y = 的对称点在直线30kxy=，则实数k的取值是_ 四四解答题：本大题解答题：本大题 6 小题，第小题，第 17 题题 10分，其余各题分，其余各题 12分，共分，共 70 分分. 17. 在ABC中，,A B为锐角，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且5sin5A =，10sin10B =. （1）求AB+的值； （2）若21ab=，求, ,a b c的值. 18. 春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度y随时间x变化近似满足函数sin()yAxb=+(0A，0
8、，)在R上是减函数，点1,12233(), (,(),(,()A x f xB xf xC xf x从左到右依次是函数( )yf x=图象上三点，且2132xxx=+. （1）求证：ABC是钝角三角形； （2）试问，ABC能否是等腰三角形？若能，求ABC面积的最大值；若不能，请说明理由. 的 2020-2021 学年下学期期末三校联考学年下学期期末三校联考 高一数学高一数学 命题学校：广大附中命题学校：广大附中 本试卷共本试卷共 4页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟. 一一 选择题：本大题选择题：本大题 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
9、，共 40 分分. 1. i为虚数单位，若复数z满足()11zii+= ，则z =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算可求得z，由模长定义可求得结果. 【详解】()()()()11121112iiiiziiii= +，1z=. 故选：B. 2. 下列结论中，错误的是（ ） A. “1x =”是“20 xx=”的充分不必要条件 B. 已知命题2:,10pxR x + ，则2:,10pxR x + C. “220 xx+”是“1x ”的充分不必要条件； D. 命题：“xR ，sin1x ”的否定是“0 xR，0sin1x ”； 【答案】C 【
10、解析】 【分析】根据充分必要条件和全称量词的否定形式判断即可. 【详解】当1x =时，20 xx=.当20 xx=时，1x =或0 x =.“1x =”是“20 xx=”的充分不必要条，A对. 对于含有一个量词的全称命题p：“任意的”xM，( )p x的否定，p是：“存在”xM，( )p x.B 对.同理，D对. 当220 xx+时，1x 或2x 时，220 xx+.“220 xx+”是“1x ”的必要不充分条件，C错. 故选：C. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，13AEAC= ，若EDADAB=+ ，则+=（ ） A. 13 B. 1 C. 23 D. 13 【答案】D 【解析】 【分
11、析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得ED 关于,AD AB 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到 和 的值,进而得解. 【详解】()11213333EDADAEADACADABADADAB=+= , 又EDADAB=+ ，AD AB ，不共线 ， 根据平面向量基本定理可得21,33= , 13+=, 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的基本运算和基本定理，属基础题，关键是根据已知条件利用平面向量的线性运算求得ED 关于,AD AB 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到 和 的值. 4. 若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的
12、情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ） A. 甲同学：平均数为2，方差小于1 B. 乙同学：平均数为2，众数为1 C. 丙同学：中位数为2，众数为2 D. 丁同学：众数为2，方差大于1 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，结合各组的情况，举出特例排除错误选项；对正确选项，计算即可做出判断. 【详解】对于甲同学，平均数为2，方差小于1，设甲同学三次考试的名次分别为1x、 2x、3x， 若1x、2x、3x中至少有一个大于等于4，则方差为()()()22221231422233sxxx=+，与已知条件矛盾，
13、所以，1x、2x、3x均不大于3，满足题意； 对于乙同学，平均数为2，众数为1，则三次考试的成绩的名次为1、1、4， 即必有一次考试为第4名，不满足题意； 对于丙同学，中位数为2，众数为2，可举反例：2、2、4，不满足题意； 对于丁同学，众数为2，方差大于1，可举特例：2、2、5，则平均数为3， 方差为()()222122353213s=+=，不满足条件. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下两点： （1）在判断选项不成立时，可通过举反例来否定； （2）在判断 A选项时，可1x、2x、3x中至少有一个大于或等于4，利用反证法来推导. 5. 如图，矩形ABCD中，3AB =，正
14、方形ADEF的边长为 1，且平面ABCD 平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（ ） A. 77 B. 77 C. 55 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】取 AF的中点 G，联结 AC 交 BD于 O 点，异面直线BD与FC所成角即直线BD与OG所成角.在OBG中，分别求得,OB OG BG，利用余弦定理即可求得cosBOG，从而求得异面直线夹角的余弦值. 【详解】取 AF的中点 G，联结 AC 交 BD于 O 点，如图所示， 则OG CF，且12OGCF=，异面直线BD与FC所成角即直线BD与OG所成角， 由平面ABCD 平面ADEF知，AF 平面ABCD， 由题易知
15、2=ACBD，22125CF =+=，则1522OGCF=，112OBBD=， 22113( )( 3)22BG =+=，则在OBG中，由余弦定理知， 2222225131()()522cos255212OBOGBGBOGOB OG+= ， 由两直线夹角取值范围为0,2，则直线BD与OG所成角即异面直线BD与FC所成角的余弦值为55 故选：C 【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得线线夹角. 6. 化简32cos202tan20所得的结果是（ ） A. 14 B. 12 C. 32 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦并整理得3cos2032co
16、s202tan22sin4002sin20 =，再结合 ()sin40sin 6020=展开整理即可得答案. 【详解】解：3cos203cos204sin20 cos202cos202sin202s32cos202tan2in200 = ()3cos202sin 60203cos202sin402sin202sin20= ()3cos202 sin60 cos20cos60 sin202sin20= 3cos203cos20sin20sin2012sin202sin202+=. 故选：B 【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于先根据切化弦的方法
17、整理得3cos2032cos202tan22sin4002sin20 =，再根据()sin40sin 6020=化简整理即可求解. 7. 已知函数( )yf x=是定义在R上的偶函数，且()( )2fxf x=，当01x时，( )f xx=，设函数7( )( )logg xf xx=，则( )g x的零点的个数为（ ） A. 6 B. 12 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出( )yf x=和7logyx=的图象，数形结合可得结果. 【详解】依题意可知，对Rx ，( )()()2f xfxfx=+，所以( )f x是以 2 为周期的偶函数. ( )0g x =即( )
18、7logf xx=，在同一坐标系中分别作出( )yf x=和7logyx=的图象， 由图可知，两函数图象有 12 个交点，即函数( )g x共有 12个零点. 故选：B. 8. 已知正实数x，y满足434xy+=，则112132xy+的最小值为（ ） A. 3284+ B. 1223+ C. 1223+ D. 1222+ 【答案】A 【解析】 【分析】将 4x+3y=4变形为含 2x+1 和 3y+2的等式,即 2(2x+1)+(3y+2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可 【详解】由正实数 x,y 满足 4x+3y=4,可得 2(2x+1)+(3y+2)=8.令 a=2x+1
19、,b=3y+2,可得 2a+b=8. 所求11111121221213288ababxyababba+ +=+=+=+ + 412221328=8abba+ 当且仅当2abba=时取等号，所以答案为3284+. 故选:A. 二二多选题：本大题多选题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，选对得分，选对得 5，漏选得，漏选得 2 分，分，错选得错选得 0 分分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. (0,)x +，23xx B. (0,1)x ，23loglogxx D. 1(0, )3x ，131( )log2xx且3log0 x 可得 B正确； 对于选项 C：令
20、12x =，可推得121( )log2xx时，22133xxx=，所以23xx，且3log0 x ，所以23loglogxx，故选项 C 不正确； 对于选项 D：当13x =时，131log13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0, )3x时， 131( )1log2xx ，故选项 D正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握指数函数的单调性和对数函数的单调性是解答本题的关键，对于全称命题：必须所有的对象都使命题成立，命题为真命题；存在一个对象使命题不成立，则命题即为假命题；对于特称命题：存在一个对象使命题成立，则命题为真；所有的对象都使命题为假，则命题为假命题 10. 正方体1
21、111ABCDABC D的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点.则（ ） A. 直线 D1D 与直线 AF 垂直 B. 直线 A1G与平面 AEF平行 C. 平面 AEF 截正方体所得的截面面积为98 D. 点 C与点 G 到平面 AEF 的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】画出平面AEF截正方体所得截面并计算出面积来判断 C 选项的正确性.建立空间 直角坐标系，利用向量法判断 ABD 选项的正确性. 【详解】由于,E F分别是1,BC CC的中点，所以1/EF BC， 根据正方体的性质可知11/BCAD，所以1/EF AD， 所以平面AEF截正方体所得截面为梯形
22、1AEFD. 11252,22ADEFD FAE=， 所以等腰梯形1AEFD的高为22512322222 2=， 所以截面面积为22392282 2+=，C选项正确. 建立如图所示空间直角坐标系， ()()()111111,0,0 ,1,0 ,0,1,1,0,1 ,1,1,0,0,1222AEFAGD， ()1110,0,11,1,022DDAF= = ，所以 A 选项错误. 11111,1,1,0 ,0,1,222AFAEAG= = = ， 设平面AEF的法向量为(), ,nx y z=， 则102102n AFxyzn AExy= += += ，故可设()2,1,2n =， 10n AG=
23、 ，1AG /平面AEF，所以1/AG平面AEF，所以 B选项正确. 10,0,2CF= ，C到平面AEF的距离为13n CFn= ， 11,0,22GE= ，G到平面AEF的距离为23n GEn= ，D 选项错误. 故选：BC 11. 将曲线2sin3sin()cosyxxx=+上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到( )g x的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 213g= B. ( )g x的图象可由1cos2yx=+的图象向右平移23个单位长度得到 C. ( )g x在0,上的值域为30,2 D. ( )g x的图象关于点,06对称 【答案】BC 【解析】 【分析】先
24、由三角恒等变换和诱导公式将已知函数化简为1sin 262yx=+，然后按照伸缩变换的规律可得( )1sin62xg x=+，再结合三角函数的图象和性质对四个选项依次进行判断即可得解. 【详解】2sin3sin()cosyxxx=+ 2sin3sin cosxxx=+ 1 cos23sin222xx=+ 1sin 262x=+， 由曲线上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变可得( )1sin62xg x=+， 111sinsin223133262222g=+=+，故 A错误； 曲线1cos2yx=+的图象向右平移23个单位长度后变为： 21211cossinsin3232262yxxx
25、=+=+=+，故 B正确； 当0,x时，5,666x ，1sin,162x ，所以( )30,2g x，故C正确； 当6x=时，1sinsin06662110g+=+，故( )g x的图象不关于点,06对称，故 D错误. 故选：BC. 12. 设函数( )(),f xx xbxc b cR=+，则下列命题中正确的有（ ） A. 若()()201920192020ff+=，则1010c = B. 方程( )0f x =可能有三个实数根 C. 当0b 时，函数( )f x在R上有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据解析式表示出(2019)( 2019)2 ,ffc+=即可求出c的值，可判
26、断 A；对b，c取特殊值，可判断 B；0b 时，可以根据函数的对称性加以判断 C；b0 时，分x0和x0 两种情况讨论，转化为二次函数求单调性，判断 D. 【详解】因为22(2019)( 2019)20192019( 20192019)22020ffbcbcc+=+ + +=, 解得c1010，故 A 对； 令2,0bc= =，则( ) |20f xxxx= =，解得x0，2，2，故 B 正确； 当b0 时，22,0( ),0 xbxc xf xx xbbcxbxc x+= +=+，由解析式可知函数( )f x在 R R上是单调增函数，故 C 正确； 当b0 时，22,0( ),0 xbxc
27、xf xx xbbcxbxc x+= +=+=+，若( )f x的图象上有且仅有 2个不同的点关于直线32y = 的对称点在直线30kxy=，则实数k的取值是_ 【答案】2 【解析】 【分析】由题知，先求出直线30kxy=关于直线32y = 对称的直线l的方程为0kxy+=，进而将问题转化为ykx= 图象与函数( )yf x=的图象有 2个交点，进一步讨论将问题转化为( )f xkx =，故令( )( )f xg xx=，进而转化为直线yk= 与函数( )yg x=有 2个交点，再结合( )( )f xg xx=的性质求解即可. 【详解】直线30kxy=关于直线32y = 对称的直线l的方程为
28、0kxy+=，对应的函数为ykx= ，其图象与函数( )yf x=的图象有 2 个交点 对于一次函数ykx= ，当0 x =时，0y =，由( )0f x 知不符合题意 当0 x 时，令( )kxf x=，可得( )f xkx =，此时，令 ( )( )()()ln2010 xxf xg xxxxx=+时，( )g x为增函数，( )g x R，当0 x ，0，)，且在每天凌晨2时达到最低温度3，在下午14时达到最高温度9，从 2 时到 14 时为半个周期. （1）求这段时间气温随时间变化函数解析式； （2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0？ 注：一昼夜指从凌晨 0时(含)到午夜 24
29、 时(不含). 【答案】 （1）26sin3123yx=+； （2）每天的 6时或 22时的气温为0 C. 【解析】 【分析】 （1）根据题中的函数最大值和最小值建立关于 A，b 的方程求解参数 A 和 b，再根据从 2 时到 14 时为半个周期求解出函数的周期，进而求解出，最后代入一组 x， y 的值求解出函数的解析式； 的 （2）根据（1）中的解析式求解函数值为 0 时的自变量的值即可得出答案. 【详解】 （1）依题意，93AbAb+=+= ， 解得6,3Ab= 根据题意，21421224212TTT=， 又2x =时，3y = 6sin23312 += ， 且，解得23= ， 所以26s
30、in3123yx=+； （2）由26sin30123yx=+=得21sin1232x= ， 所以221236xk=或272,1236xkkZ=+ 由024x，解得6x =或22x =，即在每天的 6 时或 22 时的气温为0 C. 19. 如图，在四棱锥BACDE中，正方形ACDE所在的平面与正三角形ABC所在的平面垂直，点M、N分别为BC、AE的中点，点F在棱CD上. （1）证明：/MN平面.BDE （2）若2AB =，点M到AF距离为305，求CF的长. 【答案】 （1）证明见解析； （2）1. 【解析】 【分析】 （1）取BD的中点G，连接EG、MG，证明四边形EGMN为平行四边形，可得
31、出/EG MN，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出AMMF，设CFa=，求出AMF三边边长，利用等面积法可得出关于a的方程，解出a的值，即可得解. 【详解】 （1）取BD的中点G，连接EG、MG， 的 M为棱BC的中点，G为BD的中点，所以，/MG CD且12MGCD=， 因为四边形ACDE为正方形，则/AE CD且AECD=， 又N为棱AE的中点，/EN CD且12ENCD=，从而/EN MG且ENMG=， 于是四边形EGMN为平行四边形，/MN EG， MN 平面BDE，EG 平面BDE，/MN平面BDE； （2）在正ABC中，M为BC的中点，AMBC. 平面ABC 平面
32、ACDE，平面ABC 平面ACDEAC=，CDAC，CD 平面ACDE，CD平面ABC， AM 平面ABC，CDAM， BCCDC=，AM平面BCD， MF 平面BCD，AMMF， 设CFa=，在AFM中，3AM =，21FMa=+，24AFa=+， 由1130225AMMFAF=，即221130314225aa+ =+，解得1CF =. 20. 某游乐园为了吸引游客，推出了A，B两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为100元. A年票前12次进园门票每次费用为原价，从第13次起，每次费用为原价的一半，A年票不需交开卡工本费，B年票每次进园门票为原价的9.5折，B年票需交开卡工本费a元(aN
33、).已知某市民每年至少去该游乐园11次，最多不超过14次.该市民多年来年进园记录如下： 年进园次数 11 12 13 14 频率 0.15 0.40 0.10 0.35 （1）估计该市民年进园次数的众数； （2）若该市民使用A年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数； （3）从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择A年票比选择B年票更优惠，求a的最小值. 【答案】 （1）众数为12； （2）1225元； （3）24. 【解析】 【分析】 （1）频率分布表中频率最大的对应次数即是众数； （2）分别用年进园次数对应的费用乘以对应的概率之和即可求平均数； （3）计算使用B年票该市民在进园门票上
34、年花费的平均数，使该平均数大于使用A年票 该市民在进园门票上年花费的平均数即可求解. 【详解】 （1）由频率分布表知：该市民年进园次数频率最大为0.40，对应的次数是12，所以估计该市民年进园次数的众数为 12 （2）若该市民使用A年票一年进游乐园n次，该市民在进园门票上年花费为y元，则 100 11,11,1100,11,100 12,12,1200,12,100 1250,13,1250,13,100 1250 2,14,1300,14.nnnnynnnn=+=+= 所以该市民在进园门票上年花费的平均数为 1100 0.15 1200 0.40 1250 0.10 1300 0.35122
35、5()+=元 （3）若该市民使用B年票，则该市民在进园门票上年花费的平均数为 ()100 0.9511 0.15 12 0.40 13 0.10 14 0.351201.75(aa+=+元). 若选择A年票比选择B年票更优惠，则12251201.75a. 因为aN，所以24a ，所以a的最小值为24. 21. 如图 1，在直角梯形ABCD中，/AB CD，90B=，3AB =，2CD =，3BC =，E在AB上，且ADAE=.将ADE沿DE折起，使得点A到点P的位置，且PBPC=，如图 2. 的 （1）证明：平面PDE 平面BCDE； （2）求二面角CPBE的正弦值. 【答案】 （1）证明见解
36、析； （2）4 7035. 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形及直角梯形的性质得线线垂直，进而得到线面垂直，最后利用面面垂直的判断定定理即可得证； （2）连接CO，CE，由CDCE=得CODE，结合（1）可以以OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面PBE的一个法向量，进而求出二面角CPBE的正弦值. 【详解】 （1）如图，取DE的中点O，连接PO，易知PDPE=，则PODE. 取BC的中点M，连接MO，则/MO BE，故MOBC. 连接PM，因为PBPC=，M为BC的中点，所以PMBC，又PMOMM=，所以BC 平面PMO，从而BCPO，在
37、平面BCDE内，BC与DE相交，因此PO 平面BCDE，故平面PDE 平面BCDE. （2）由（1）知PO 平面BCDE，连接CE，易得3BC =，1BE =，可得222CECBBECD=+=，连接CO，则CODE，3CO =，故可以以O为坐标原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0, 3P，()1,0,0E，()0, 3,0C，33,022B，故33,322PB= ，33,022CB= ，13,022EB= . 设平面PBC的法向量为()111,mx y z=，则0,0,m PBm CB= 即111113330,22330,22xyzxy+=
38、 取11x =，则13y =，13z =，所以()1, 3, 3m =为平面PBC的一个法向量. 设平面PBE的法向量为()222,nxy z=，则0,0,n PBn EB= 即222223330,22130,22xyzxy+=+= 取23x =，则21y = ，21z =，所以()3, 1,1n =为平面PBE的一个法向量. 所以33cos,7535m nm nmn= ，因此二面角CPBE的正弦值为3324 701353535=. 【点睛】方法点睛： 翻折问题的解题策略是确定翻折前后“变”与“不变”的关系，一般地，位于“折痕”同侧的线面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的线面之
39、间的位置关系和数量关系可能会发生变化.对于不变的关系，可以在平面图形中处理，对于变化的关系，则要在立体图形中处理. 22. 已知函数( )ln(1)(1) ,xf xaeax=+(其中0a )在R上是减函数，点1,12233(), (,(),(,()A x f xB xf xC xf x从左到右依次是函数( )yf x=图象上三点，且2132xxx=+. （1）求证：ABC是钝角三角形； （2）试问，ABC能否是等腰三角形？若能，求ABC面积的最大值；若不能，请说明 理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）ABC不可能为等腰三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）先( )()()(
40、)()()112233,A xf xB xf xC xf x且123xxx，要证ABC是钝角三角形，只须证明其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须证明： 0BA BC即得； （2）假设ABC为等腰三角形，则只能是=BABC，再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计算，如出现矛盾，则ABC不可能为等腰三角形，如不矛盾，则ABC能是等腰三角形. 详解】解： （1）证明：据题意( )()()()()()112233,A xf xB xf xC xf x且123xxx= ( )()()()()(12123232,BAxxf xf xBCxxf xf x= ()()( )()()()1232
41、1232BA BCxxxxf xf xf xf x=+ ( )()()()123212320,0,0,0 xxxxf xf xf xf x 0,2BA BCB 即ABC钝角三角形 （2）假设ABC为等腰三角形，则只能是=BABC， 即()( )()()()()222212123232: xxf xf xxxf xf x+=+ ( )()()()2221321232,xxxxf xf xf xf x=即()()()2132 f xf xf x=+ ()()()()()()3212132 ln 121ln 111xxxaeaxaeeaxx+=+ ()()()()()321222 ln 121ln 1121xxxaeaxaeeax+=+ ()()()()()()331332121221222ln 1ln 111112xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeee+=+=+=+3212xxxeee=+而事实上，3131222xxxxxeeee+= 由于31xxee，故（2）式等号不成立.这与（1）式矛盾.所以ABC不可能为等腰三角形. 【是
