1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理 1空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： (2)异面直线所成的角 定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b 所成的 锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 ) 范围： ? ?0， 2 . (3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 2空间直线与平面、平面与平面的位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3必记结论 (1)唯一性定理 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 过一点有且只有一
2、个平面与已知直线垂直 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (2)异面直线的判定定理 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线与平面内不经过 B 点的直线互为异面直线 诊断自测 1概念思辨 (1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面 ( ) (2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( ) (3)已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线 ( ) (4)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修
3、 A2P52B 组 T1(2)如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 连接 B1D1， D1C，则 B1D1 EF，故 D1B1C 为所求的角又 B1D1 B1C D1C，所 以 =【 ;精品教育资源文库 】 = D1B1C 60. 故选 C. (2)(必修 A2P63B 组 T1)在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， E， F 分别为侧棱 PC， PB 的中点，则 EF 与平面 PAD 的位置关系为 _，平面
4、 AEF 与平面 ABCD 的交线是 _ 答案 平行 AD 解析 E， F 分别为 PC， PB 中点，所以 EF BC，又 BC AD. 所以 EF AD，而 AD?平面 PAD， EF?平面 PAD. 所以 EF 平面 PAD.由上述推证易得两面交线为 AD. 3小题热身 (1)(2016 山东高考 )已知直线 a， b 分别在两 个不同的平面 ， 内，则 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由题意知 a? ， b? ，若 a， b 相交，则 a， b 有公共
5、点，从而 ， 有公共点，可得出 ， 相交；反之，若 ， 相交，则 a， b 的位置关系可能为平行、相交或异面因此 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的充分不必要条件故选A. (2)(2017 广东五校联考 )已知 m， n 是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，有下列四 个命题： 若 ， m? ， n? ，则 m n； 若 m ， n ， m n，则 ； 若 m ， n ， m n，则 ； 若 m ， n ， ，则 m n. 其中所有正确命题的序号是 _ 答案 解析 对于 ，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此 不正确；对于
6、，依据结论 “ 由空间一点向一个二面角的两个半平面 (或半平面所在平面 )引垂线，这两条垂线的夹角与这个二面角的平面角相等或互补 ” 可知 正确；对于 ，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此 不正确；对于 ，由 n 得在平面 内必存在直线 n1平行于直线 n；由 m ， 得 m ， m n1；又 n1 n，因此有 m=【 ;精品教育资源文库 】 = n， 正确综上所述，所有正确命题的序号是 . 题型 1 平面的基本性质 典例 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊12AD， BE 綊12FA， G， H 分别为FA， FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG
7、 是平行四边形； (2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？ 先证明三 点共面，再证另一点也在这个面上 解 (1)证明：由已知 FG GA， FH HD， 得 GH 綊 12AD. 又 BC 綊 12AD，所以 GH 綊 BC，所以四边形 BCHG 是平行四边形 (2)由 BE 綊 12AF， G 为 FA 中点，知 BE 綊 GF， 所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF BG. 由 (1)知 BG CH，所以 EF CH. 所以 EF 与 CH 共面， 又 D FH，所以 C， D， F， E 四点共面 结论探究 若典例中条件不变，证明： FE， AB， DC 交于一点 证
8、明 由 例题可知，四边形 EBGF 和四边形 BCHG 都是平行四边形，故可得四边形 ECHF为平行四边形， EC HF，且 EC 12DF， 四边形 ECDF 为梯形 FE， DC 交于一点，设 FE DC M. M FE， FE?平面 BAFE， M 平面 BAFE.同理 M 平面 BADC. 又平面 BAFE 平面 BADC BA， =【 ;精品教育资源文库 】 = M BA， FE， AB， DC 交于一点 方法技巧 1证明点共面或线共面的常用方法 (1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面 (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点 、线在此平面内如典例 (2) (3)辅助
9、平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 ， 重合 2证明空间点共线问题的方法 (1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 3证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点如本典例中的结论探究 冲关针对训练 如图，空间四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 的中点 ， G， H 分别在 BC， CD 上，且BG GC DH HC 1 2. (1)求证： E， F， G， H 四点共面；
10、 (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证： P， A， C 三点共线 证明 (1) E， F 分别为 AB， AD 的中点， EF BD. 在 BCD 中， BGGC DHHC 12， GH BD， EF GH. E， F， G， H 四点共面， (2) EG FH P， P EG， EG?平面 ABC， P 平面 ABC.同理 P 平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC 平面 ADC AC， P AC， P， A， C 三点共线 题型 2 空间两直线的位置关系 典例 (2018 金华模拟 )如图， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的
11、中点，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有 _(填上所有正确答案的序号 ) 选择一组对边 GH， MN，考查其所在的边是否平行或其延长线是否相交 答案 解析 在图 中，直线 GH MN； 在图 中， G， H， N 三点共面，但 M?平面 GHN， N?GH，因此直线 GH 与 MN 异面； 在图 中，连接 GM， GM HN，因此 GH 与 MN 共面； 在图 中， G， M， N 共面，但 H?平面 GMN， G?MN， 因此 GH 与 MN 异面 所以在图 中 GH 与 MN 异面 方法技巧 异面直线的判定方法 1反证法：先假设两条直线不是异面直
12、线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到 2定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线 冲关针对训练 (2017 上饶模拟 )已知正方体 ABCD A1B1C1D1，点 P， Q， R 分别是线段 B1B， AB 和 A1C 上的动点，观察直线 CP 与 D1Q， CP 与 D1R，给出下列结论： 对于任意给定的点 P，存在点 Q，使得 D1Q CP； 对于任意给定的点 Q，存在点 P，使得 CP D1Q； 对于任意给定的点 R，存在点 P，使得 CP D1R； 对于任
13、意给定的点 P，存在点 R，使得 D1R CP. 其中正确的结论是 _ 答案 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 只有 D1Q 平面 BCC1B1时才能满足对于任意给定的点 P，存在点 Q 使 D1Q CP，而过 D1只有 D1C1 平面 BCC1B1故 错误； 当 P 与 B1重合时， CP 平面 ABC1D1.即 CP P1Q，故 正确； 当 R 与 A1重合时，在线段 BB1上不存在点 P，使 CP D1R，故 错误； 如图所示： 对任意的点 P，在 AA1上存在 P1使得 DP1 CP，过点 D1作 D1R1，使得 D1R1 DP1且交 A1D 于点 R1，作 RR1 CD 交 A
14、1C 于点 R，则 RR1 平面 ADD1A1，所以 RR1 DP1，又 D1R1 DP1，则 DP1 平面 D1R1R，即 CP 平面 D1R1R，故 D1R CP，故 正确 题型 3 异面直线所成的角 典例 (2014 全国卷 )直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA 90 ， M， N 分别是 A1B1，A1C1的中点， BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 ( ) A.110 B.25 C. 3010 D. 22 异面直线所成的角转化为共面直线所成的角，注意使用平移法 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 取 BC 的中点 Q，连接 QN， AQ，易知 BM QN，则 ANQ 或其补角即为所求， 设 BC CA CC1 2， 则 AQ 5， AN 5， QN 6， cos ANQ AN2 NQ2 AQ22AN NQ 5 6 52 5 662 303010 .故选 C. 方法技巧 求异面直线所成角的方法 1几何法 (1)作：通过作平行线，得到相交直线 (2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角 (或其补角 ) (3)求：解三角形，求作出的角 2空间向量法 提醒：在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，
