1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 选修 41 几何证明选讲 第 1 课时 圆的进一步认识 1. (2017 镇江期末 )如图 ， 已知 AB是圆 O的直径 ， P是上半圆上的任意一点 ， PC是 APB的平分线 ， 点 E 是 AB 的中点求证：直线 PC 经过点 E. 证明：连结 AE， EB， OE， 由题意知 AOE BOE 90， 因为 APE 是圆周角 ， AOE 是同弧上的圆心角 ， 所以 APE 12 AOE 45 . 同理可得 ， BPE 12 BOE 45， 所以 PE 是 APB 的平分线 ， 又 PC 是 APB 的平分线 ， 所以 PC 与 PE 重合 ， 所以直线 P
2、C 经过点 E. 2. 如图 ， 圆 O 的两弦 AB， CD 交于点 F， 从 F 点引 BC 的平行线和直线 AD 交于 P， 再从P 引这个圆的切线 ， 切点是 Q.求证： PF PQ. 证明：因为 A， B， C， D 四点共圆 ， 所以 ADF ABC. 因为 PFBC ， 所以 AFP ABC.所以 AFP FDP. 又因为 APF FPD， 所以 APFFPD. 所以 PFPA PDPF.所以 PF2 PAPD. 因为 PQ 与圆 O 相切 ， 所以 PQ2 PAPD. 所以 PF2 PQ2.所以 PF PQ. 3. 如图 ， 圆 O 与圆 P 相交于 A， B 两点 ， 点 P
3、 在圆 O 上 ， 圆 O 的弦 BC 切圆 P 于点 B，CP 及其延长线交圆 P 于 D， E 两点 ， 过点 E 作 EFCE 交 CB 延长线于点 F.若 CD 2， CB 2 2，求 EF 的长 解：连结 PB， BC 切圆 P 于点 B， PB BC. 又 CD 2， CB 2 2， 由切割线定理得 CB2 CDCE ， CE 4， DE 2， BP 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = EF CE， CPB CFE， EFPB CECB， EF 2. 4. 如图 ， AB， AC 是圆 O 的切线 ， ADE 是圆 O 的割线 ， 求证： BECD BD CE. 证明： AB
4、是圆 O 的切线 ， ABD AEB. BAD EAB ， BAD EAB. BDBE ABAE. 同理 CDCE ACAE. AB， AC 是圆 O 的切线 ， AB AC. BDBE CDCE， 即 BE CD BD CE. 5. (2017 南通、泰州模拟 )如图 ， 已知 ABC 内接于圆 O， 连结 AO 并延长交圆 O 于点D， ACB ADC. 求证： ADBC 2ACCD. 证明：证明：连结 OC. 因为 ACB ADC ， ABC ADC ， 所以 ACB ABC. 因为 OC OD， 所以 OCD ADC. 所以 ACB OCD. 所以 ABCODC. 所以 ACOC BC
5、CD， 即 ACCD OCBC. 因为 OC 12AD， 所以 ADBC 2ACCD. 6. (2017 苏北三市模拟 )如图 ， 圆 O 的弦 AB， MN 交于点 C， 且点 A 为弧 MN 的中点 ，点 D 在弧 BM 上若 ACN 3 ADB， 求 ADB 的大小 解：连结 AN， DN. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 A 为弧 MN 的中点 ， 所以 ANM ADN. 而 NAB NDB ， 所以 ANM NAB ADN NDB ， 即 BCN ADB. 又 ACN 3ADB ， 所以 ACN BCN 3ADB ADB 180， 故 ADB 45 . 7. 如图 ， 在 A
6、BC 中 ， ACB 90， 以边 AC 上的点 O 为圆心 ， OA 为半径作圆 ， 与边AB， AC 分别交于点 E， F， EC 与圆 O 交于点 D， 连结 AD 并延长交 BC 于 P. (1) 求证： AEAB ADAP. (2) 已知 AE EB 4， AD 5， 求 AP 的长 (1)证明：连结 EF， 则 AEF 90 . ACB 90， B， C， F， E 四点共圆 则 AFE B. ADE AFE ， ADE B. B， P， D， E 四点共圆 则 AEAB ADAP. (2)解： AE EB 4， AD 5， AB 8. 由 (1)AEAB ADAP ， 得 AP
7、325. 8. (2017 苏锡常镇二模 )如图 ， 直线 DE 切圆 O 于点 D， 直线 EO 交圆 O 于 A， B 两点 ，DC OB 于点 C， 且 DE 2BE， 求证： 2OC 3BC. 证明：连结 OD， 设圆的半径为 R， BE x， 则 OD R， DE 2BE 2x， 在 Rt ODE 中 ， DC OB， OD2 OC?OE， R2 OC(R x) . 直线 DE 切圆 O 于点 D， DE2 BE?AE， 4x2 x(2R x) ， x 2R3. 代入 ， 解得 OC 3R5 ， BC OB OC 2R5 ， 2OC 3BC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 9.
8、如图 ， 已知 AB 为圆 O 的直径 ， BC 切圆 O 于点 B， AC 交圆 O 于点 P， E 为线段 BC 的中点求证： OPPE. 证明：连结 BP， AB 是圆 O 的直径 ， APB 90， BPC 90 . 在 Rt BPC 中 ， E 是边 BC 的中点 ， BE EC， BE EP， 1 3. B， P 为圆 O 上的点 ， OB OP， 2 4. BC 切圆 O 于点 B， ABC 90， 即 1 2 90， 从而 3 4 90， OPE 90 . OP PE. 10. (2017 金陵中学质检 )如图 ， 已知 AB 为圆 O 的直径 ， C， F 为圆 O 上的两点
9、 ， OCAB， 过点 F 作圆 O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D， 连结 CF 交 AB 于点 E.求证： DE2 DADB. 证明：连结 OF. DF 切圆 O 于 F， OFD 90 . OFC CFD 90 . OC OF， OCF OFC. CO AB 于 O， OCF CEO 90 . CFD CEO DEF ， DF DE. DF 是圆 O 的切线 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = DF2 DBDA. DE2 DBDA. 11. (2017 南通、泰州期末 )已知圆 O 的直径 AB 4， C 为 AO 的中点 ， 弦 DE 过点 C 且满足 CE 2CD， 求 OCE 的面积 解：设 CD x， 则 CE 2x. 因为 CA 1， CB 3， 由相交弦定 理 ，得 CACB CDCE ， 所以 13 x2x 2x2， 所以 x 62 . 取 DE 的中点 H， 连结 OH， 则 OHDE. 因为 OH2 OE2 EH2 4 ? ?32x2 58， 所以 OH 104 . 因为 CE 2x 6， 所以 OCE 的面积 S 12OHCE 12 104 6 154 .
