1、=【 ;精品教 育资源文库 】 = 第 59 讲 几何概型 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 2了解几何概型的意义 . 2017 全国卷 ， 2 2017 江苏卷， 7 几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数形结合思想和逻辑思维能力 . 分值： 5 分 1几何概型 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的 _长度 (面积或体积 )_成比例，而与 A 的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 2几何概型的两个特点 一 是 _无限性 _，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；
2、二是 _等可能性 _，即每一个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于 “ 比例解法 ” ，即随机事件 A 的概率可以用 “ 事件 A 包含的基本事件所占的 _图形面积 (体积、长度 )_” 与 “ 试验的基本事件所占的 _总面积 (总体积、总长度 )_” 之比来表示 3在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式 P(A) _ 构成事件 A的区域长度 ?面积或体积 ?试验的全部结果所构成的区域长度 ?面积或体积 ?_. 4 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关 (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两
3、个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 ( ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的 ( ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域=【 ;精品教 育资源文库 】 = 中的每一点被取到的机会相等 ( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) 解析 (1)
4、正确由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确 (2)错误虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等 (3)正确由几何概型的定义知，该说法正确 (4)正确由几何概型的定义知，该说法正确 2在区间 (15,25内的所有实数中随机抽取一个实数 a，则这个实数满足 17 a 20 的概率是 ( C ) A 13 B 12 C 310 D 710 解析 a (15,25， P(17 a 20) 20 1725 15 310. 3有一杯 2 L 的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从水中取 0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为 ( C ) A 0.01 B 0.02
5、 C 0.05 D 0.1 解析 因为取水是随机的，而细菌在 2 L 水中的任何位置 是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为 P 0.12 0.05. 4已知 x 是 4,4上的一个随机数，则使 x 满足 x2 x 2 0 的概率为 ( B ) A 12 B 38 C 58 D 0 解析 x2 x 2 0? 2 x 1，则 P 1 ? 2?4 ? 4? 38. 5某路公共汽车每 5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过 3 min 的概率是 ( A ) A 35 B 45 C 25 D 15 解析 此题可以看成向区间 0,5内均匀投点，求点落入 2,5内的概率设
6、 A 某乘客候车时间不超过 3 min =【 ;精品教 育资源文库 】 = 则 P(A) 构成事件 A的区域长度试验的全部结果构成的区域长度 35. 一 与长度、角度有关的几何概型 (1)设线段 l 是线段 L 的一部分，向线段 L 上任投一点，点落在线段 l 的概率为 Pl的长度L的长 度 . (2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段 【例 1】 (1)(2017 江苏卷 )记函数 f(x) 6 x x2的定义域为 D.在区间 4,5上随机取一个数 x，则 x D 的概率是 59 . (2)(2016 全
7、国卷 )某公司的班车在 7： 30,8： 00,8： 30 发车，小明在 7： 50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( B ) A 13 B 12 C 23 D 34 解析 (1)由 6 x x20 ，解得 2 x3 ，则 D 2,3，则所求概率为 3 ? 2?5 ? 4? 59. (2)由题意得图： 由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为 12. 二 与面积有关的几何概型 与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件 A 构成的平面区域形状的判断及面积的计 算，基本方法是数形结合 【例 2】 (1)在区间
8、 1,1内随机取两个实数 x， y，则满足 y x2 1 的概率是 ( D ) A 29 B 79 C 16 D 56 =【 ;精品教 育资源文库 】 = (2)(2017 全国卷 )如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( B ) A 14 B 8 C 12 D 4 解析 (1)如图满足 y x2 1 的概率为阴影部分面积与正方形面积的比， ? 11 1 (x2 1)dx? 11 (2 x2)dx?2x 13x3 |1 1103 ， , P1034 101256.,(2
9、)不妨设正方形的边长为 2，则正方形的面积为 4，正方形的内切圆的半径为 1，面积为 . 由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为 2 ，故此点取自黑色部分的概率为24 8 ，故选 B , 三 与体积有关的几何概型 , 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 (总空间 )以及事件的体积(事件空间 )，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 【例 3】 (1)在棱长 为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1
10、的概率为 _1 12_. (2)在体积为 V的三棱锥 S ABC的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 S APC的体积大于 V3的概率是 _23_. 解析 (1)正方体的体积为 222 8，以 O 为球心， 1 为半径且在正方体内部的半球的=【 ;精品教 育资源文库 】 = 体积为 12 43 r3 12 431 3 23 ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为： 1238 112. (2)由题意知 VS APCVS ABC 13，三棱锥 S ABC 的高与三棱锥 S APC 的高相同作 PM AC 于 M，BN AC 于 N，则 PM， BN 分别为 APC 与 ABC 的高，所以
11、VS APCVS ABC S APCS ABC PMBN13， ,又 PMBN APAB，所以 APAB 13，故所求的概率为 23(即为长度之比 ) 1把半径为 2 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 ( A ) A 4 1 B 2 C 4 12 D 12 解析 这 是一道几何概型概率计算问题星形弧半径为 2，所以点落在星形内的概率为 P2 2 ? ?224 1222 242 2 4 1，故选 A 2在区间 1,1上随机取一个数 x，使 cos x2 的值介于 0 到 12之间的概率为 ( A ) A 13 B 2 C
12、 12 D 23 解析 在区间 1,1上随机取一个数 x，试验的全部结果构成的区域长度为 2. 1 x1 ， 2 2x 2. 由 0cos 2x 12，得 3 2x 2 或 2 2x 3 ， 23 x1 或 1 x 23. 设 事件 A 为 “cos 2x 的值介于 0 到 12之间 ” ，则事件 A 发生对应的区域长度为 23. =【 ;精品教 育资源文库 】 = P(A)23213. 3在区间 2,2上随机取一个数 x，使 | |x 1 | |x 1 1 成立的概率为 _58_. 解析 在区间 2,2上随机取一个数 x，则 2 x2 ，而不等式 |x 1| |x 1|1的解集为 x 12.
13、又因为 2 x2 ， 故 2 x 12，所以使不等式成立的概率为 P12 ? 2?2 ? 2?58. 4如图，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为 _13_. 解析 根据题意，可以求得阴影部分的面积为 S ?01( x x2)dx?23x3213x3 |1013， ,故该点落在阴影部分的概率为 P13113. 易错点 几何概型概念不清 , 错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误 【例 1】 (1)在等腰 Rt ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，则 AM AC 的概率为 _ (2)在等腰 Rt ABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部
14、作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，则 AM AC 的概率为 _ 解析 (1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在 AB 上截取 AC AC，于是 P(AM AC) P(AM AC) ACAB ACAB 22 . (2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在 AB 上截取 AC AC，则 ACC 180 452 67.5 ，而 ACB 90 ，于是 P(AM AC) P(AM AC) 67.590 34. =【 ;精品教 育资源文库 】 = 答案 (1) 22 (2)34 【跟踪训练 1】 (2016 山东卷 )在 1,1上随机地取一个数 k，则事件 “ 直线 y kx与圆 (x 5)2 y2 9 相交 ” 发生的概率为 _34_. 解析 直线 y kx与圆 (x 5)2 y2 9相交的充要条件为 |5k 0|1 k2 3，解之得 34 k 34， ,故所求概率为 P34 ? 341 ? 1?34. 课时达标 第 59 讲 解密考纲 几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现
