1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八单元 数 列 教材复习课 “ 数列 ” 相关基础知识一课过 数列的有关概念 过双基 1 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 一定顺序 排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列 an的第 n 项 an 通项公式 如果数列 an的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 前 n 项和 数列 an中， Sn a1 a2 ? an叫做数列的前 n 项和 2 an与 Sn的关系 若数列 an的前 n 项和为 Sn，则 an? S1， n 1，Sn Sn 1， n2. 小题速通 1数列 an满足
2、 an an 1 12(n N*)， a2 2， Sn是数列 an的前 n 项和，则 S21的值为 ( ) A 5 B.72 C.92 D.132 解析：选 B an an 1 12， a2 2， an? 32， n为奇数，2， n为偶数 . S21 11 ? ? 32 102 72. 2数列 an满足 a1 3， an 1 an 1an(n N*)，则 a2 018 ( ) A.12 B 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 12 D.23 解析：选 D 由 a1 3， an 1 an 1an，得 a2 a1 1a1 23， a3 a2 1a2 12， a4 a3 1a3 3， ? ，
3、由上可得，数列 an是以 3 为周期的周期数列， 故 a2 018 a6723 2 a2 23. 3已知数列 an满足 an 32n 11(n N*)，前 n 项的和为 Sn，则关于 an， Sn的叙述正确的是 ( ) A an， Sn都有最小值 B an， Sn都没有最小值 C an， Sn都有最大值 D an， Sn都没有最大值 解析：选 A an 32n 11， 当 n5 时， an0，且单调递减 故当 n 5 时， a5 3 为 an的最小值； 由 的分析可知：当 n5 时， an0.故可得 S5为 Sn的最小值 综上可知， an， Sn都有最小值 4已知数列 an中， a1 1， a
4、n 1 an 2n 1(n N*)，则 a5 _. 解析：依题意得 an 1 an 2n 1， a5 a1 (a2 a1) (a3 a2) (a4 a3) (a5 a4) 13 5 7 9 25. 答案： 25 清易错 1易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号 2在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 an Sn Sn 1的形式，但它只适用于 n2 的情形 1已知数列的通项公式为 an n2 8n 15，则 ( ) A 3 不是数列 an中的项 B 3 只是数列 an中的第 2 项
5、C 3 只是数列 an中的第 6 项 D 3 是数列 an中的第 2 项或第 6 项 解析：选 D 令 an 3，即 n2 8n 15 3，解得 n 2 或 6，故 3 是数列 an中的第 2 项或第 6 项 2已知数列 an的前 n 项和为 Sn 3 2n，则数列 an的通项公式为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：当 n 1 时， a1 S1 3 2 5；当 n2 时， an Sn Sn 1 3 2n (3 2n 1) 2n 2n 1 2n 1. 因为当 n 1 时，不符合 an 2n 1， 所以数列 an的通项公式为 an? 5， n 1，2n 1， n2. 答案： an? 5
6、， n 1，2n 1， n2 等差数列 过双基 1 等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从 第 2 项 起，每一项与它的前一项的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 an 1 an d(n N*， d 为常数 ) (2)等差中项：数列 a， A， b 成等差数列的充要条件是 A a b2 ，其中 A 叫做 a， b 的 等差中项 2等差数列的有关公式 (1)通项公式： an a1 (n 1)d. (2)前 n 项和公式： Sn na1 n n2 d n a1 an2 . 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an am (n m)d(n， m N*) (
7、2)若 an为等差数列，且 k l m n(k， l， m， n N*)，则 ak al am an. (3)若 an是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若 an， bn是等差数列，则 pan qbn也是等差数列 (5)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak 2m， ?( k， m N*)是公差为 md 的等差数列 小题速通 1在等差数列 an中，已知 a2与 a4是方程 x2 6x 8 0 的两个根，若 a4a2，则 a2 018 ( ) A 2 018 B 2 017 C 2 016 D 2 015 解析：选 A 因为 a2与 a4是
8、方程 x2 6x 8 0 的两个根，且 a4a2，所以 a2 2， a4 4，则公差 d 1，所以 a1 1，则 a2 018 2 018. 2在等差数列 an中， a2 a3 a4 3， Sn为等差数列 an的前 n 项 和，则 S5 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3 B 4 C 5 D 6 解析：选 C 等差数列 an中， a2 a3 a4 3， Sn为等差数列 an的前 n 项和， a2 a3 a4 3a3 3， 解得 a3 1， S5 52(a1 a5) 5a3 5. 3.正项等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a4 a10 a27 15 0，则 S13 ( )
9、 A 39 B 5 C 39 D 65 解析：选 D 正项等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a4 a10 a27 15 0， a27 2a7 15 0， 解得 a7 5 或 a7 3(舍去 )， S13 132(a1 a7) 13a7 135 65. 4已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 3a3 a6 4.若 S50，a90，7 8d0，且 a5 a7 4a24， a2 1，则 a1 ( ) A.12 B. 22 C. 2 D 2 解析：选 B 因为 an是等比数列， 所以 a5a7 a26 4a24，所以 a6 2a4， q2 a6a4 2，又 q0， 所以 q 2， a1
10、a2q 22 . 清易错 1 Sn， S2n Sn， S3n S2n未必成等比数列 (例如：当公比 q 1 且 n 为偶数时， Sn， S2nSn， S3n S2n不成等比数列；当 q 1 或 q 1 且 n 为奇数时， Sn， S2n Sn， S3n S2n成等比数列 )，但等式 (S2n Sn)2 Sn( S3n S2n)总成立 2在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q 1 与 q1 分 类讨论，防止因忽略q 1 这一特殊情形而导致解题失误 1设数列 an为等比数列，前 n 项和为 Sn，已知 S3 8， S6 7，则 a7 a8 a9等于 ( ) A.18 B 18 C.57
11、8 D.558 解析：选 A 因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即 8， 1，S9 S6成等比数列，所以 8(S9 S6) 1，即 S9 S6 18.所以 a7 a8 a9 18. 2设数列 an是等比数列，前 n 项和为 Sn，若 S3 3a3，则公比 q _. 解析：当 q1 时，由题意， a1 q31 q 3a1q2， 即 1 q3 3q2 3q3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 整理得 2q3 3q2 1 0，解得 q 12. 当 q 1 时， S3 3a3，显然成立 故 q 12或 1. 答案： 12或 1 一、选择题 1 (2
12、017 全国卷 )记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4 a5 24， S6 48，则 an的公差为 ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 解析：选 C 设等差数列 an的公差为 d， 由? a4 a5 24，S6 48， 得 ? a 1 3da 1 4d 24，6a 1 652 d 48， 即? 2a1 7d 24，2a1 5d 16， 解得 d 4. 2 (2018 江西六校联考 )在等比数列 an中，若 a3a5a7 3 3，则 a2a8 ( ) A 3 B. 17 C 9 D 13 解析：选 A 由 a3a5a7 3 3，得 a35 3 3，即 a5 3，故 a2a8 a25
13、 3. 3在数列 an中，已知 a1 2， a2 7， an 2等于 anan 1(n N*)的个位数，则 a2 018 ( ) A 8 B 6 C 4 D 2 解析：选 D 由题意得 a3 4， a4 8， a5 2， a6 6， a7 2， a8 2， a9 4， a10 8.所以数列中的项从第 3 项开始呈周期性出现，周期为 6，故 a2 018 a3356 8 a8 2. 4已知数列 an满足 a1 1， an an 1 2n(n2 ， n N*)，则 a7 ( ) A 53 B 54 C 55 D 109 解析：选 C a2 a1 22 ， a3 a2 23 ， ? ， a7 a6
14、27 ，各式相加得 a7 a1 2(2 3 4 ? 7) 55. 5设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 1， an 1 3Sn(n N*)，则 S6 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 44 B 45 C.13(4 6 1) D.14(4 5 1) 解析：选 B 由 an 1 3Sn，得 a2 3S1 3.当 n2 时， an 3Sn 1，则 an 1 an 3an， n2 ，即 an 1 4an， n2 ，则数列 an从第二项起构成等比数列，所以 S6 a73 3453 45. 6等差数列 an和 bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn，对一切自然数 n，都有 SnTn
15、nn 1，则 a5b5等于 ( ) A.34 B.56 C.910 D.1011 解析：选 C S9 a1 a92 9a5， T9 b1 b92 9b5， a5b5 S9T9 910. 7已知数列 an是首项为 1 的等比数列， Sn是其前 n 项和，若 5S2 S4，则 log4a3的值为( ) A 1 B 2 C 0 或 1 D 0 或 2 解析：选 C 由题意得，等比数列 an中， 5S2 S4， a1 1， 所以 5(a1 a2) a1 a2 a3 a4， 即 5(1 q) 1 q q2 q3， q3 q2 4q 4 0，即 (q 1)(q2 4) 0， 解得 q 1 或 2 ， 当 q 1 时， a3 1， log4a3 0. 当 q 2 时， a3 4， log4a3 1. 综上所述， log4a3的值为 0 或 1. 8设数列 an是公差为 d(d0)的等差数列，若 a1 a2 a3 15， a1a2a3 80，则 a11 a12 a13 ( ) A 75 B 90 C 105 D 120 解析：选 C 由 a1 a2 a3 15 得 3a2 15，解得 a2 5，由 a1a2a3 80，得 (a2 d)a2(a2 d) 80，将 a2 5 代入，
