1、专题05二次函数的三种表示方式专题综述课程要求二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求初中课程要求了解了一些简单函数图象的变换，如左加右减之类的水平平移，还了解了些简单的对称变换高中
2、课程要求掌握各种平移变换，如左加右减的水平平移，上加下减的垂直平移，还要掌握各种对称变换，特別是关于原点、坐标轴的对称变换知识精讲高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：yax2bxc(a0)；高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：ya(x-h)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标典例剖析高中必备知识点1：一般式【典型例题】已知抛物线yax2+bx+c的对称轴为x1，且过点(3，0)，(0，3)(1)求抛物
3、线的表达式(2)已知点(m，k)和点(n，k)在此抛物线上，其中mn，请判断关于t的方程t2+mt+n0是否有实数根，并说明理由【答案】(1)yx2+2x3；(2)方程有两个不相等的实数根【解析】(1)抛物线yax2+bx+c的对称轴为x1，且过点(3，0)，(0，3)9a3b+c0 解得a1，b2，c3抛物线yx2+2x3；(2)点(m，k)，(n，k)在此抛物线上，(m，k)，(n，k)是关于直线x1的对称点，1 即mn2b24acm24n(n2)24nn2+40此方程有两个不相等的实数根【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式) 【答案】y=-x2+2x+3
4、【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，4)，设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4把点(3，0)代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-(x-1)2+4故答案是y=-x2+2x+3【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式(化为一般式)；(2)直接写出抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) y=12x-22-2 ;(2)4.【解析】(1)抛物线y1=12x2的顶点坐标为0,0，把点0,0先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的
5、坐标为2,-2，抛物线y2的解析式为y=12x-22-2；(2)顶点坐标为2,-2，且抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=S矩形OBAC，抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=4.高中必备知识点2：顶点式【典型例题】已知二次函数用配方法将此二次函数化为顶点式；求出它的顶点坐标和对称轴方程【答案】(1)；(2)(1，2)，直线【解析】(1) (2)顶点坐标为(1，2)，对称轴方程为直线.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是(1，2)，且经过(1，6)，求这个二次函数的解析式【答案】二次函数的解析式为y=2(x+1)2+2【解析】二次函数的图象的顶点是(1，2)
6、，设抛物线顶点式解析式y=a(x+1)2+2，将(1，6)代入得，a(1+1)2+2=6，解得a=2，所以，这个二次函数的解析式为y=2(x+1)2+2【能力提升】二次函数的图象经过点，(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点【答案】(1)；(2)(1，-4)；(3)5【解析】(1)设，把点，代入得，解得； (2) 函数的顶点坐标为(1，-4)；(3)|1-0|+|-4-0|=5二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点高中必备知识点3：交点式【典型例题】已知在平面直角
7、坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k2 的图象与 x 轴有两个交点(1)求 k 的取值范围；(2)当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标【答案】(1)k32；(2)(2，0)和(0,0).【解析】(1)图象与x轴有两个交点，方程x2+2x+2k-2=0有两个不相等的实数根，=b2-4ac0，即4-42k-20， 解得 k32 (2)k 为正整数，k0，即抛物线的顶点在x轴的上方，且抛物线与x轴有两个交点a0b=2a0 abc0故正确当x=1时，y=-5a；当x=-2时，y=-8aa0-5a0时，二次函数图象开口向
8、上，如图，抛物线的开口向上，当，即，此时：当时，满足，当时，函数值最大，则 解得：，不合题意，舍去当时，则，如图，此时：当时，满足，当时，函数值最大，则 解得：，不合题意，舍去当时，则，如图，此时：当时，满足，当时，函数值最大，则 恒成立， 当a0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值，不满足，此情况不存在；综上；(3)|MN|1即，即(x3恒成立要求a0，其对称轴为x，只需要求x=3时即9a-3a-a1，解得；(x3恒成立要求a0)， 只需要求x=3时即9a-3a-a-1，解得28已知抛物线经过点和点，顶点为(1)求、的值；(2)若的坐标为，当时，二次函数有最大值，求的值；(3)直线与直
9、线、直线分别相交于、，若抛物线与线段(包含、两点)有两个公共点，求的取值范围【答案】(1)2；-1 (2)-3或4 (3)或解：(1)由于抛物线经过点，点所以，所以(2)因为抛物线为，又顶点坐标为所以，所以，抛物线开口向下，对称轴，时，有最大值，当时，有，或，在左侧，随的增大而增大，时，有最大值，；在对称轴右侧，随增大而减小，时，有最大值；综上所述：或；(3)与直线、直线分别相交于、，时，时，即；时，时，即，直线的解析式为，抛物线与直线联立：，的取值范围为或29在平面直角坐标系中，函数yx22ax1(a为常数)的图象与y轴交于点A(1)求点A的坐标 (2)当此函数图象经过点(1，2)时，求此函
10、数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围 (3)当x0时，若函数yx22ax1(a为常数)的图象的最低点到直线y2a的距离为2，求a的值【答案】(1)；(2)，当时，随的增大而增大；(3)或a=-1-(1)当时，所以.(2)将点代入，得.解得所以(如图1所示)抛物线的开口向上，对称轴为. 因此当时，随的增大而增大.(3)抛物线的对称轴为，顶点坐标为. 如图2，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是.已知最低点到直线的距离为2，所以.解得.如图3，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点.所以.整理，得.解得，或(舍去正值).综上：或.30已知二次函数yax2bxc的图象经过A(n，b)，B(m，a)且mn1(1)当ba时，直接写出函数图象的对称轴；(2)求b和c(用只含字母a、n的代数式表示)；(3)当a0时，函数有最大值1，bca，n，求a的取值范围【答案】(1)；(2)；(3)(1)函数的对称轴为直线，；(2)二次函数经过A(n，b)，B(m，a)，则，整理得：，将代入得：；(3)，即，当时，；而，故，()，且，化简得：，当时，随的增大而增大，当时，当时，
