1、2006年全国高中青年数学教师优秀课比赛点到直线的距离教案四川省成都市第七中学数学组 杜晓雯【课题】 点到直线的距离【教材】 全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）人民教育出版社【授课教师】杜晓雯一 教学目标1教材分析 教学内容点到直线的距离是全日制普通高级中学教科书（必修人民教育出版社）第二册（上），“73两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用 地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识对“点到直线的距离”的研
2、究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用 2学情分析高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法3教学目标依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标 知识技能 理解点到直线的距离公式的推导过程； 掌握点到直线的距离公式； 掌握点到直线的距离公式的应用 数学思考 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想； 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数
3、学阅读能力； 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力 解决问题 通过问题获得数学知识，经历“发现问题提出问题解决问题”的过程； 由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法 情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣二 教学重点、难点1教学重点 点到直线的距离公式的推导思路分析； 点到直线的距离公式的应用 2教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析三教学过程教学环节教 师 活 动 学 生 活 动活 动说 明新课引入创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具
4、体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险让学生直观感受几何要素“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣现实模型： 地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离（图片欣赏）生活实例（flash动画演示）模 型直 观探 索 思 考探 索 思 考探 索 思 考回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？1 点到直线的距离公式的推导过程（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）问题1 如何求点到直线的距离？教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？方法利用三角函数解：过点作的垂线，垂足为教师：由于点和直线的位置比较
5、特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性方法利用定义解：过点作的垂线，设垂足为方法利用函数的思想解：设直线上的点，则，当时，取得等号，即点教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题强调：点在直线上，故满足直线方程；当等号成立时，指明此时点的坐标，并与方法得到的点的坐标进行比较方法利用直角三角形的面积公式教师：由于，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？教师：应该如何构造三角形呢？如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角
6、形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添作方式解：过点作的垂线，交点为点问题2如何求点到直线的距离？（类比问题1的四种解法，让学生独立思考问题2课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程）（以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解）方法利用三角函数方法利用函数的思想设点在直线上，则当时，取得等号，即点方法利用定义过点作的垂线，设垂足为方法利用直角三角形的面积公式过点作、轴的垂线，交点为点、探 索 思 考问题3 如何求点到直线的距离（）？教师：你能否类比问题1、2解决本问？教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？教师：对于的特殊情况，你可以怎样处理？ 方法 利用定义的算
7、法思路得到点到的距离确定直线的斜率求过点垂直于的直线的方程求与垂直的直线的斜率求与的交点求点与点的距离方法 利用直角三角形的面积公式的算法思路教师：如果类比问题1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？探 索 思 考教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材的证明方法方法 利用平面向量的算法思路教师：直线的斜率是什么？教师：若向量，你能表达的一个坐标吗？教师：设点是直线上任意一点，则的坐标是多少？教师：设的夹角为，则为多少？教师：结合图象，你能否表示出？探 索 思 考 问 题 解 决2点到直线的距离公式点到直线的距离（其中）教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题1
8、和问题2？并比较计算结果3点到直线的距离公式的应用例1 求点到下列直线的距离： 知 识 运 用分析：可能会有学生在代人公式计算时，忘掉绝对值符号教师要给予纠正，强调距离是一个非负数教材上的解法是结合图形直接得到点到直线的距离，也可能会有学生是直接代人公式计算，教师指出对于或的特殊情况，一般结合图形直接得到结论部分学生可能会对代入公式后计算得0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考此时点与直线的位置关系，指出当点落在直线上时公式仍然成立在补充的问题中所给出的直线方程不是一般式，所以在代人公式计算前，学生必须将直线方程化为一般式，以便确定系数，从而达到强调公式运用前提的目的教师：使用点到直线的距离公
9、式的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便确定系数的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要例2 已知点到直线的距离为，求的值；已知点到直线的距离为，求的值教师：如何求实数的值？解：知 识 运 用教师：这两问直线方程中参数的几何意义是什么？教师：两个小问的几何意义是什么？（教师利用几何画板进行数学实验）例3 求平行线和的距离教师：这两条平行直线间的距离是否是固定的？教师：如何求这两条平行直线间的距离？教师：可以选择哪个点？解：在直线上任取一点，例如则到直线的距离就是两平行线间的距离因此教师：是否可以在直线上取一般的点来求距离？推广
10、到一般结论：知 识 运 用例求证：两平行直线的距离为证明：设点是直线上任一点，则点到直线的距离为两平行直线的距离公式：的距离为教师：两平行线的距离公式不要求记忆在求两条平行线间的距离时，一般仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理课堂练习 求下列两条平行线的距离：学生：过点作的垂线，垂足为，垂线段的长度就是点到直线的距离点与直线上所有点的连线中，垂线段最短问题1 学生作图后，结合图象，分组讨论怎样计算方法 利用三角函数学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数来解决方法 利用定义（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）学生：利用定义解决问题
11、方法 利用函数的思想（在前面复习中强调了垂线段最短，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值的方法解决问题）学生：可以利用二次函数求最小值的方法解决问题学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要引导学生思考，取得等号时点的坐标，并与前面两种方法所得答案进行对比方法 利用直角三角形的面积公式学生：三角形面积公式学生：过点作的垂线，构造 对于问题1的四种解法，学生可能回答不完全，教师要补充完整问题2方法 利用三角函数方法 利用函数的思想方法 利用定义方法 利用直角三角形的面积公式问题3学生讨论：前面四种证明方法的都可行，但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法，相对要复杂一些方法 利用定义的算
12、法学生分析解题思路，整理出算法框图 学生的回答可能会忽略这个条件限制，教师要给予纠正并强调直线的斜率是否存在，主要取决于分母是否为0，这也是对前面知识的巩固学生：对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论方法 利用直角三角形的面积公式的算法学生：先添作辅助线，过点作轴、轴的垂线交于点，再利用直角三角形的面积公式进行计算方法 利用平面向量的算法学生： 学生容易忽略的限制条件，教师给予纠正学生： 对于法向量的理解是一个难点，同时学生得到的答案可能不统一教师引导学生从向量共线的角度加以分析，从而帮助学生理解学生：学生：当时，以上公式仍然成立学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调应该加上绝对值符号
13、师生共同总结：对于点到直线的距离公式的理解 从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的点与直线上一点的连线的最短距离； 使用点到直线的距离公式的前提条件，是把直线的方程化成一般式方程如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式；若点在直线上，则点到直线的距离为零，距离公式仍然成立；若直线方程中系数的特殊情况，距离公式仍然成立，但一般情况下可以结合图形直接得到距离师生共同讨论例1 解：根据点到直线的距离公式，得解法 因直线平行于轴，所以解法 根据点到直线的距离公式，得另解：根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，例2 由学生分析解题思路，并按要求用数学语言表述过程学生：中表示
14、直线的斜率；中表示直线在轴上的截距学生：这两个小问的几何意义分别是点到两条直线的距离相等，所以点在两条直线所成角的角平分线上；所得的两条直线互相平行且距离为2例3学生：两条平行直线间的距离处处相等；学生：将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离；学生：选择点学生：可以选择一般的点解：设直线上一点例4 师生共同总结： 应用公式的前提是应先将两直线方程化为一般形式，使对应系数化为相等（两直线平行），再代人公式计算； 两平行线间的距离可转化为其中一条直线上的一个特殊点到另一条直线的距离课堂练习学生独立完成解： 学生容易解错：请其他同学分析错误原因在复习旧知的基础上引人新课由于教材上
15、对于点到直线的距离公式的证明比较抽象，所以补充了两个由浅人深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1方法利用了类比化归的思想，为后面将两平行直线间的距离，转化为点到直线的距离奠定基础强调数形结合的思想改变问题1中几何元素：点、直线的位置，引出问题2类比问题1，让学生独立思考问题2的不同法课堂上只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程在点到直线的距离公式的推导过程中，渗透算法的思想对于方法，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程对于方法，引
16、导学生理清算法思路，再根据算法框图，指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力补充的方法，建立在学生已有的平面向量知识的基础上课堂上只要求学生理清算法思路，而对于这种方法的具体解决过程，可作为课后思考作业补充的方法为今后在立体几何中，利用这种算法思路得到点到平面的距离公式设下伏笔前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性例1中、两个问题是补充的内容，目的是强化点到直线的距离公式的应用前提条件例1主要是通过直接将已知点的坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆和前提条件在此基础上，由浅入深，补充的例2中直线方程含有参数，进一步提高思维难度在例2中，由于直线方程中的参数都具有明显
17、的几何意义，所以在解出参数的值后，要引导学生思考其几何意义补充的例题2既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课研究对称问题和直线系问题设下伏笔由例2的几何意义可以引出教材的例题3例3采用了类比化归的思想方法，同时引出例4例4教材中是以习题的形式出现的（教材）补充的课堂练习的目的是，强调运用公式的前提条件课 堂 小 结教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容课后作业 利用向量的方法证明点到直线的距离公式； 教材 13、14、16（通过小结，使学生将本节课所学的知识系统化，使学生再次巩固知识，明确方法）学生归纳总结本课主要学习了以下内容： 点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路：利用定义的算法
18、、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法； 点到直线的距离公式：点到直线（其中）的距离说明：对于的特殊情况时公式仍然适用 应用点到直线的距离公式的前提条件板书设计：4典型例题例1例2例3例45课堂练习6课堂小结7课后作业课题：点到直线的距离1 问题1 如何求点到直线的距离？方法 方法 方法 方法2 问题2 如何求点到直线的距离？3 问题3 如何求点到直线的距离（）？方法 利用定义的算法框图方法 利用直角三角形的面积公式的算法框图方法 利用平面向量的算法框图设计说明：1对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对
19、学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；2由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；3由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法实际上，在以后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式但由于这种方法有一定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式；4现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；5学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的
